1、2018-2019学年北京八十中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分四个选项中符合题意的选项只有一个.1（2分）要得到抛物线y（x4）2，可将抛物线yx2（）A向上平移4个单位B向下平移4个单位C向右平移4个单位D向左平移4个单位2（2分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）ABCD3（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示则用电阻R表示电流I的函数表达式为（）ABCD4（2分）如图，点A，B，P是O上的三点，若AOB40，则APB的度数为（）A80B140C20D505（
2、2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1x20，则（）Ay2y10By1y20Cy2y10Dy1y206（2分）函数yx2+2x3（2x2）的最大值和最小值分别是（）A4和3B3和4C5和4D1和47（2分）如图，直线A与O相切于点A，AB是O直径EAC150，D是弧BC的中点，则弦AC与AD的数量关系是（）A1：2B1：C：D1：38（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周设点P运动的时间为x，线段AP的长为y表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）ABCD二、填空题（共8小题，每小题2分，满分1
3、6分）9（2分）已知二次函数yx2+bx+c的图象如图所示，则b 0，c 0，b24ac 010（2分）如图，四边形ABCD外切于圆，AB16，CD10，则四边形的周长是 11（2分）正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为 ，正六边形的面积为 12（2分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为30cm，贴纸部分的宽为20cm，则贴纸部分的面积为 cm213（2分）O是正方形ABCD的外接圆，若点P在O上且与A，B不重合，则APB的大小为度 度14（2分）如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30到正方形ABCD，则它们的公共部分的面积等于 15（2
4、分）下面是“作一个30角”的尺规作图过程已知：平面内一点A求作：A，使得A30作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与O交于点D，作射线ADDAB即为所求的角请回答：该尺规作图的依据是 16（2分）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成如，求方程x22x20的实数根的近似解，观察函数yx22x2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）因为抛物线yx22x2是一条连续不断的
5、曲线，所以抛物线yx22x2在2x3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x22x20在2、3之间有根进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于32.50.5重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值用以上方法求得方程x22x20的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 三、解答题（共12小题，满分68分）17（5分）如图，O中，C75，求A的度数18（5分）函数yx24x+3（1）求其
6、图象与x轴交点A、B的坐标（A在B左边）；（2）在坐标系中画出函数图象；（3）若函数图形的顶点为C，求ABC的面积19（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y2x的图象与反比例函数y的图象的一个交点为A（1，n）（1）求反比例函数y上的表达式；（2）若两函数图象的另一交点为B，直接写出B的坐标20（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，1）以点C为中心，ABC逆时针旋转90；（1）画出旋转后的图形，并写出点B的坐标；（2）求点A经过的路径的长（结果保留）21（5分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出
7、的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度22（5分）已知：如图，RtABC中，ACB90，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点求证：直线EF是半圆O的切线23（6分）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由24（6分）如图，AB是O的直径，弦EFAB于点C，过点F作O的切线交AB的延长线于点D（1）已知A，求D的大小（用含的式子表示）；（2）取BE的中点M，连接MF，请
8、补全图形；若A30，MF，求O的半径25（6分）如图，ABC内接于O，直径DEAB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM （1）求证：AMBM；（2）若AMBM，DE8，N15，求BC的长26（6分）如图，在ABC中，ABC90，C40，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50至AD，连接BD已知AB2cm，设BD为x cm，BD为y cm小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.
9、50.71.01.52.02.3y/cm1.71.31.1 0.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD的长度的最小值约为 cm；若BDBD，则BD的长度x的取值范围是 27（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx+m1（m0）与x轴的交点为A，B（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当m1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围28（7分）在平面直角坐标系xOy
10、中，给出如下定义：对于C及C外一点P，M，N是C上两点，当MPN最大，称MPN为点P关于C的“视角”直线l与C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于C的“视角”（1）如图，O的半径为1，已知点A（1，1），直接写出点A关于O的“视角”大小；已知直线y2，直接写出直线y2关于O的“视角”；若点B关于O的“视角”为60，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）C的半径为1，点C的坐标为（1，2），直线l：ykx+b（k0）经过点D（2+1，0），若直线l关于C的“视角”为60，求k的值；圆心C在x轴正半轴上运动，若直线yx+关于C的“视角”大于12
11、0，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分四个选项中符合题意的选项只有一个.1解：y（x4）2的顶点坐标为（4，0），yx2的顶点坐标为（0，0），将抛物线yx2向右平移4个单位，可得到抛物线y（x4）2故选：C2解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误故选：A3解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I，过（2，3），k326，I，故选：D4解：APBAOB4020故选：C5
12、解：k20，此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，x1x20，点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，y2y10，故选：C6解：yx2+2x3（2x2），y（x+1）24，抛物线的对称轴为x1，x1时y有最小值4，2x2，x2时，y5是最大值函数的最大值为5，最小值为4故选：C7解：连接OC、OD，直线AE与O切于点A，BAE90，EAC150，BAC60，AOC60，D是弧BC的中点，BADBAC30，AOD120，设OA2，ACOA2，由垂径定理可知：AD2，故选：B8解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等
13、边三角形的边长为a，则y（ax2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合故选：A二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9解：由图可知：a0，对称轴在y轴右侧，则b0，抛物线与y轴正半轴相交，则c0，抛物线与x轴只有一个交点，则b24ac0故答案为：，10解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所
14、以四边形的周长2（16+10）52故答案为：5211解：如图，连接OB，OC，过点O作OHBC于H，六边形ABCDEF是正六边形，BOC36060，OB0C，OBC是等边三角形，BCOBOC2，它的半径为2，边长为2；在RtOBH中，OHOBsin602，边心距是：；S正六边形ABCDEF6SOBC626故答案为：2；612解：Scm213解：连接OA，OB，当点P在优弧上时，四边形ABCD是O的内接正方形，AOB90，由圆周角定理得，APBAOB45，当点P在劣弧上时，APB18045135，故答案为：45或13514解：如图，作BFAD，垂足为F，WEBF，垂足为E，四边形WEFD是矩形，
15、BAB30，BAF60，FBA30，WBE60，BFABsin60，AFABcos60，WEDFADAF，EBWEcot60，EFBFBE，SBFA，SBEW，SWEFD，公共部分的面积SBFA+SBEW+SWEFD；法2：连接AW，如图所示：根据旋转的性质得：ADAB，DAB60，在RtADW和RtABW中，RtADWRtABW（HL），BAWDAWDAB30，又ADAB1，在RtADW中，tanDAW，即tan30WD，解得：WD，SADWSABWWDAD，则公共部分的面积SADW+SABW故答案为15解：如图，连接OD、OC，由作图知，OBOCCD，OCD为等边三角形，则COD60，DA
16、CCOD30，综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半16解：观察函数yx22x2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为1时，函数值大于0，因为抛物线yx22x2是一条连续不断的曲线，所以抛物线yx22x2在1x0这一段经过x轴，也就是说，当x取1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x22x20在1、0之间有根我们取1和0的平均数0.5，计算可知，对应的数值为0.75，与自变量为1的函数值异号，所以这个根在1与0.5之间，取1和0.5的平均数0.75，
17、计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为0.5的函数值异号，所以这个根在0.75与0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于0.5（0.75）0.250.3，该近似解为0.75，故答案为0.75三、解答题（共12小题，满分68分）17解：O中，C75，BC75，A1807523018解：（1）yx24x+3（x1）（x3），当y0时，x11，x23，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）；（2）yx24x+3（x2）21，该抛物线的顶点坐标为（2，1），该函数的图象有右图所示；（3）由（2）知顶点C的坐标为（2，1），点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，
18、0），AB2，ABC的面积是：119解：（1）点A（1，n）在一次函数y2x的图象上，代入得：n（2）（1）2，点A的坐标为（1，2），点A在反比例函数的图象上，k（1）22反比例函数的解析式为（2）解方程组，得，一次函数y2x的图象与反比例函数的图象的另一个交点B的坐标是（1，2）20解：（1）如图所示，ABC即为所求；（2）AC5，ACA90，点A经过的路径的长为21解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：ya（x1）2+3（0x3），代入（3，0）求得：a将a值
19、代入得到抛物线的解析式为：y（x1）2+3（0x3），令x0，则y2.25故水管长为2.25m22证明：连接OF，CFAC是直径，AFC90，BFC90，又E是BC的中点，EFEC，EFCECF，OCOF，OFCFCO，ACBFCO+ECF90，EFC+OFC90，即EFO90，OFEF，EF是O的切线23解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，四边形ABCD是菱形，ABADCDBC，ACBD，点E是AB的中点，OEAB，同理：OFBC，OGCD，OHAD，OEOFOGOH，点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上24解：（1）连接OE，OF，如图，
20、EFAB，AB是O的直径，DOFDOEDOE2A，A，DOF2，FD为O的切线，OFFDOFD90D+DOF90，D902；（2）连接OM，如图，AB为O的直径，O为AB中点，AEB90M为BE的中点，OMAE，A30，MOBA30DOF2A60，MOF90，设O的半径为r，在RtOMB中，BMOBr，OMBMr，在RtOMF中，OM2+OF2MF2即（r）2+r2（）2，解得r2，即O的半径为225（1）证明：直径DEAB于点F，AFBF，AMBM；（2）连接AO，BO，如图，由（1）可得 AMBM，AMBM，MAFMBF45，CMNBMF45，AOBO，DEAB，AOFBOF，N15，AC
21、MCMN+N60，即ACB60，ACBAOFACB60DE8，AO4在RtAOF中，由，得AF，在RtAMF中，AMBM在RtACM中，由，得CM，BCCM+BM+26解：（1）如图1，在AC上取一点E使AEAB2，由旋转知，ADAD，DAD50BAC，DAEDAB，在DAE和DAB中，DAEDAB（SAS），DEBDy，在RtABC中，AB2，C40，BAC50，AC3.13，BC2.40CEACAE3.1321.13，过点E作EFBC于F，在RtCEF中，EFCEsinC1.13sin400.72，CFCEcosC1.13cos401.130.780.88，当x1时，BD1，DFBCBDC
22、F2.4010.880.52，在RtDEF中，根据勾股定理得，yDE0.9，故答案为：0.9（2）函数图象如图2所示（3）方法1、由图象和表格知，线段BD的长度的最小值约为0.7cm，BDBD，yx，由图象知，0x0.9，故答案为：0.7，0x0.9（3）方法2、由（1）知，BC2.4，CF0.88，EF0.72，DFBCBDCF2.40x0.881.52x，根据勾股定理得，y，0x2.40，x1.52时，y最小0.720.7，当BDBD时，DEyx在RtDEF中，根据勾股定理得，DE2DF2+EF2，x2（1.52x）2+（0，72）2，x0.9BDBD，则BD的长度x的取值范围是0x0.9
23、故答案为：0.7，0x0.927解：（1）ymx22mx+m1m（x1）21，抛物线顶点坐标（1，1）（2）m1，抛物线为yx22x，令y0，得x0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），线段AB上整点的个数为3个如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，点A在（1，0）与（2，0）之间（包括（1，0），当抛物线经过（1，0）时，m，当抛物线经过点（2，0）时，m，m的取值范围为m28解：（1）如图1中，过点A作O的切线，切点分别为E、FA（1，1），O的半径为1，四边形AEOF是正方形，点A关于O的“视角”为EAF90，设直线y2与y轴的交点为P，
24、过点P作O的切线，切点分别为M、N在RtPOM中，PO2OM，OPM30，同理OPA30，MPN60，直线y2关于O的“视角”为60，故答案分别为90，60由可知，点P关于O的“视角”为60，B（0，2），根据对称性点B得到坐标还可以为（2，0）或（2，0）或（0，2）（本题答案不唯一）（2）解：如图1中，直线l：ykx+b（k0）经过点D（2+1，0），（2+1）k+b0，b2kk，直线l：ykx+2kk，对于C外的点P，点P关于C的“视角”为60，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上又直线l关于C的“视角”为60，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点CP直线l则直线l是以C为圆心，2为
25、半径的圆的一条切线，如图1所示作CHx轴于点H，点H的坐标为（1，0），DHCDH30，PDH60，可求得点P的坐标（+1，3）3（+1）k+2kk，k如图2中，当C与直线yx+相切时，设切点为P，连接PC则PCAP，直线yx+与x轴的交点为A（1，0），与y轴的交点为（0，），tanBAO，BAO60，PCAP，在RtAPC中，PC1，ACPCcos30，OC1，如图3中，设直线yx+关于C的“视角”为120，作CPAB于P，PE、PF是C的切线，E、F是切点，则CPE60，PCCEsin60，在RtAPC中，ACPCsin60，OC1，直线yx+关于C的“视角”大于120时，圆心C的横坐标xC的取值范围1xC