1、精准培优专练2020届高三好教育精准培优专练培优点二 函数零点一、运用零点存在性定理判断函数零点所在区间例1：函数的零点所在的区间为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可知原函数是上的增函数，故根据零点存在定理得到零点存在于上，故选B二、函数零点个数的判定例2：已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间上解的个数是（ ）ABCD【答案】B【解析】函数是上的偶函数，可得，又，可得，故可得，即，即函数的周期是，又时，要研究方程在区间上解的个数，可将问题转化为与在区间有几个交点画出两函数图象如下，由图知两函数图象有个交点故选B三、求函数零点例3：已知定义在上的奇函数满足，当时，则函数在区间上所有零点
2、之和（ ）ABCD【答案】D【解析】根据奇函数满足，可知其周期为，函数的一条对称轴为，可由向右平移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：根据图像可知函数与的图象均关于点对称，且函数与的图象在区间上有四个交点，所以函数在区间上所有零点之和为，故选D四、根据函数零点情况求参数的取值范围例4：函数，方程有个不相等实根，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意画出函数的图象：设，有两个不同的根，故当时，将代入方程得到，此时关于的方程的根是，故不符合题意；当时，当时，关于的方程有唯一实数解，当时，关于的方程有三个实数解，故方程有个不相等实根，符合题意要求，所以，故答案为C五、二分法例5
3、：在用二分法求函数在区间上的唯一零点的过程中，取区间上的中点，若，则函数在区间上的唯一零点（ ）A在区间内B在区间内C在区间或内D等于【答案】D【解析】根据用二分法求方程的近似解的方程和步骤，函数在区间上的唯一零点故选D对点增分集训一、选择题1函数的零点一定位于区间（ ）ABCD【答案】B【解析】易知函数在其定义域上是增函数，因为，所以函数的零点一定位于区间内故选B2函数的零点所在的区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以函数零点所在的区间是，故选B3函数在上的所有零点之和等于（ ）ABCD【答案】D【解析】由，得，分别作出函数与的图象，由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于对称
4、由图可知，函数在上的所有零点之和等于故选D4已知是定义在上且以为周期的奇函数，当时，则函数在区间上的零点个数是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以在上必有当时，由，得，即，解得因为函数是周期为的奇函数，所以，此时在区间上有个零点，此时在区间上有四个零点，当时，所以，即，此时在区间上有两个零点，所以共有个零点故选D5用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）ABCD【答案】C【解析】二分法求函数的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号，而图中函数在零点的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出故选C6定义域为的偶函数满足对，有，且当时，若函数至少有个零点，则的
5、取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】令，图象关于直线对称，画出函数与函数的图象如下，由图可知，要使至少要有个零点，即函数与的图像至少要有个交点，则有，且点在函数的下方，即，故选B7已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】函数在上的所有零点之和，即在上的所有实数根之和，即在上的所有实数根之和令，因为可知函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，作出两个函数的大致图象，如图所示，由图象知，两个函数的图象有个交点，且个交点的横坐标之和为，故选B8已知函数，关于的方程有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，由，解得，当时，函数
6、为增函数；时，函数为减函数，当时，函数取得极大值也是最大值为方程化为，解得或画出函数的图象如图：根据图象可知的取值范围是时，方程有个解故选C9已知定义域为的偶函数满足对任意的，有，且当时，若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由于函数为偶函数，当时，即，故，所以函数是周期为的周期函数，且为偶函数令，得到，也即函数图象与函数的图象有三个交点，画出两个函数图象如下图所示：由图可知，要使两个函数图象有三个交点，则需直线的斜率在两条切线的斜率之间当时，将代入并化简得，其判别式，解得或（舍）同理，当时，将代入化简后，同样令判别式为零，求得或（舍）所以实数的范围是，故选
7、B10已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）A当时，有个零点；当时，有个零点B当时，有个零点；当时，有个零点C无论为何值，均有个零点D无论为何值，均有个零点【答案】B【解析】分四种情况讨论：时，此时的零点为；时，则时，有一个零点，时，没有零点；若，时，则时，可得，有一个零点，若时，则，没有零点；若，时，则时，即可得，有一个零点，时，没有零点综上可知，当时，有个零点；当时，有个零点故选B11已知函数，则方程的实根个数不可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】画出函数图象，如图所示：当时，；当时，观察图象，当时，则或，此时对应的有四个解，即方程有个根，当时，则或或，对应的的有个解，即
8、方程有个根，同理可得当，分析，结合的取值情况，可知方程的根不可能为，故选D12已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】，当时，；当时，令，则，所以函数在上单调递减，由函数在区间内有唯一零点，得，或，即或，又，所以或所以，满足的可行域如图或图中的阴影部分所示，则表示点与点所在直线的斜率，当，满足不等式组时，的最大值在点处取得，为，的取值范围为；当，满足不等式组时，的最小值在点处取得，根据，得，所以最小值为，的取值范围为，综上所述，可得的取值范围为故选A二、填空题13已知函数是定义域为的奇函数，且当时，则函数有 个零点【答案】【解析】由题意知，所以当时，令，即，令
9、，因为，所以当时，与的图象有个交点，即时，有个零点，又函数是定义域为的奇函数，所以函数有个零点14对于函数与，若存在，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范围是 【答案】【解析】易知函数为增函数，且，所以函数只有一个零点，则取，由，知由与互为“零点密切函数”知函数在区间内有零点，即方程在内有解，所以，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，又当时，当时，所以，所以实数的取值范围是15已知函数和在的图象如图，给出下列四个命题：方程有且仅有个根；方程有且仅有个根；方程有且仅有个根；方程有且仅有个根，其中正确命题是 【答案】【解析】函数有三个零点，其中，当时有两个解，当时有两个解，当时有两个解，所以方程有且仅有个根，正确函数有两个零点，其中，当时有一个解，当时有一个解，所以方程有且仅有个根，错误同理可知正确16已知，若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 【答案】【解析】令，则方程可化为方程，作出函数的大致图象如图所示，结合图象分析可知，若关于的方程有四个不同的实数解，则关于的方程在上有两个不同的实数解可化为，记，则在上有两个不同的零点，所以，即，所以实数的取值范围为17