1、21.3 实际问题与一元二次方程,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第3课时 几何图形与一元二次方程,学习目标,1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）,导入新课,问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.,(30-2x)(20-x)=678,问题引入,讲授新课,引例：要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm
2、正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何 设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm),27cm,21cm,合作探究,分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .,9 7,9 7,27cm,21cm,解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：,9 7,27cm,21cm,解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得,解方程得,故上下边衬的宽度为:,故左右边衬的宽度为:,方程的哪个根合乎实际意义? 为什么?,试一试：如果换一种设未知数的
3、方法，是否可以更简单地解决上面的问题？,解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得,27cm,21cm,解得,故上下边衬的宽度为:,故左右边衬的宽度为:,例1：如图所示，在ABC中，C=90， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9 cm？,根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,解：若设出发x s后可使PCQ的面积为9cm,整理，得,解得 x1= x2=3,答：点P，Q出发3s后
4、可使PCQ的面积为9cm.,主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;,方法点拨,20,32,x,x,解：设道路的宽为x米,例2：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540,求道路的宽为多少？,典例精析,还有其他解法吗？,20,32,x,x,解：设道路的宽为 x 米,20-x,32-x,(32-x)(20-x)=540,整理，得x2-52x+100=0,解得 x1=2,x2=50,当x=50时，32-x=-18
5、,不合题意，舍去.,取x=2,答：道路的宽为2米.,方法二：,在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540,求 这种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为 x 米,(32-x)(20-x)=540,可列方程为,变式一,20,32,x,x,x,20-x,在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为 x 米,(32-2x)(20-x)=540,可列方程为,变式二,32-2x,20,32,x,x,x,x,20,32,2x,2x,32-
6、2x,20-2x,在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？,解：设道路的宽为 x 米,(32-2x)(20-2x)=540,可列方程为,变式三,在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽为多少？,变式四,小路所占面积是矩形面积的四分之一,剩余面积是矩形面积的四分之三,解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，于是可列方程,(30-4x)(20-6x)= 2030,20,30,3x,2x,30
7、-4x,20-6x,3x,2x,6x,4x,30-4x,20-6x,我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.,方法点拨,视频：平移求面积动态展示,解：设AB长是x m.(100-4x)x=400 x2-25x+100=0x1=5，x2=20x=20,100-4x=2025 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.,例3：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少
8、米？,变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？,住房墙,1m,解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，,由题意得 x(25-2x+1)=80,化简，得 x2-13x+40=0,解得 x1=5 , x2=8,当x=5时，26-2x=1612 (舍去）,当x=8时，26-2x=1012,故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.,则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.,1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条
9、金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） Ax2+130x-1400=0 Bx2+65x-350=0 Cx2-130x-1400=0 Dx2-65x-350=0,B,当堂练习,2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽,解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm,5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0 解得 x1=25 x2=-10(舍去） 所以 2x=50,答：铁板的长50cm,宽为25cm.,3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为23 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？,解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm(20-6x)(30-4x)=4006x2-65x+50=0,课堂小结,几何图形与一元二次方程问题,几何图形,常见几何图形面积是等量关系.,类 型,课本封面问题,彩条/小路宽度问题,常采用图形平移能聚零为整方便列方程,见学练优本课时练习,课后作业,