1、21.2.1 配方法,第二十一章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 配方法,学习目标,1.了解配方的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. (重点） 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. （难点）,导入新课,复习引入,(1) 9x2=1 ；,(2) (x-2)2=2.,2.下列方程能用直接开平方法来解吗?,1.用直接开平方法解下列方程:,(1) x2+6x+9 =5；,(2)x2+6x+4=0.,把两题转化成(x+n)2=p(p0)的 形式，再利用开平方,讲授新课,问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.,(1) a2+2ab+b2=
2、( )2；,(2) a2-2ab+b2=( )2.,a+b,a-b,探究交流,问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.,（1）x2+4x+ = ( x + )2,（2）x2-6x+ = ( x- )2,（3）x2+8x+ = ( x+ )2,（4）,x2- x+ = ( x- )2,你发现了什么规律？,22,2,32,3,42,4,二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.,归纳总结,想一想： x2+px+( )2=(x+ )2,配方的方法,合作探究,怎样解方程: x2+6x+4=0 (1),问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？,解：,x2+6x+4=0
3、,x2+6x=-4,移项,x2+6x+9=-4+9,两边都加上9,二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.,方法归纳,在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.,问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？,不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.,方程配方的方法：,要点归纳,像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.,配方法的定义,配方法解方程的基本思路,把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解,例1 解下列方
4、程：,解：（1）移项，得,x28x=1,配方，得,x28x+42=1+42 ,( x4)2=15,由此可得,即,配方，得,由此可得,二次项系数化为1，得,解：移项，得,2x23x=1,即,移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?,配方，得,因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根,解：移项，得,二次项系数化为1，得,为什么方程两边都加12？,即,思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？,思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.,移项时需注意改变符号.,移项，二次项系数化为1； 左边配成完全平方式； 左边写成完全平方形式； 降次；
5、解一次方程.,一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.,当p0时,则 ,方程的两个根为当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. 当p0时,则方程(x+n)2=p无实数根.,规律总结,例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5 的值必定大于零.,解：k24k5=k24k41,=（k2）21,因为（k2）20，所以（k2）211.,所以k24k5的值必定大于零.,例3.若a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为直角三角形.,1. 方程2x2 - 3m
6、- x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ）A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.,练一练,C,解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3,解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4,归纳总结,配方法的应用,1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）,对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.,2.完全平方式中的配方,如：已
7、知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.,3.利用配方构成非负数和的形式,对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.,例4.读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？,解：设个位数字为x，十位数字为(x-3),x1=6, x2=5,x2-11x=-30
8、,x2-11x+5.52=-30+5.52,(x-5.5)2=0.25,x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5,x2=10(x-3)+x,这个两位数为36或25，,周瑜去世的年龄为36岁.,周瑜30岁还攻打过东吴，,1.解下列方程：,（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.,解：x2+2x+2=0，,(x+1)2=-1.,此方程无解；,解：x2-4x-12=0，,(x-2)2=16.,x1=6,x2=-2；,解：x2+2x-3=0，,(x+1)2=4.,x1=-3,x2=1.,当堂练习,2.利用配方法证明
9、：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.,解：x2x1=(x2+x+ )+ 1,所以x2x1的值必定小于零.,当 时，x2x1有最大值,3.若 ，求(xy)z 的值.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？,解：设道路的宽为xm, 根据题意得,（35-x)(26-x)=850，,整理得,x2-61x+60=0.,解得,x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.,答：道路的宽为1m.,5.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,解：对原式配方，得,由代数式的性质可知,所以，ABC为等边三角形.,课堂小结,配方法,定义,通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.,步骤,一移常数项； 二配方配上 ； 三写成（x+n)2=p (p 0);四直接开平方法解方程.,特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.,应用,求代数式的最值或证明,见学练优本课时练习,课后作业,