1、高中物理系列模型之情景模型：7.电场磁场中的一类周期性运动模型一模型界定由于电场或磁场的周期性变化、或是由于电场与磁场在空间上的有界分布，引起带电粒子在空间运动时在运动形式的周期性重现，其解通常需由自然数n来表达的一类问题二模型破解（I）在电场或磁场随时间发生周期性变化而引起带电粒子在空间运动的周期性时:通常需要先分析带电粒子在一个周期内的运动情况，再综合考虑粒子在整个空间中的运动以及题目对粒子运动要求例1.如图甲所示，在真空中半径为r的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向与纸面垂直，在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离也为r，板长为2r，两板的中心线O1O2与磁场区域的圆心O在
2、同一直线上，两板左端与O1也在同一直线上。今有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，以速率从圆周上的P点沿垂直于半径OO1，并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O1点飞出磁场时，给M、N板加上如图乙所示电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板边缘飞出，不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力，求： 例题图（1）磁场的磁感应强度B的大小和方向； （2）交变电压的周期T和电压U0的值； （3）若t=T2时，将粒子从MN板右侧沿板的中心线O2O1仍以速率射入MN板之间，请画出粒子经过磁场中的运动轨迹，并求出粒子从磁场中射出的点到P点的距离。例答图例2.如图甲所示，匀强磁场方向垂直直角坐标系
3、xoy向里，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，在t0时刻一个带负电的粒子（重力不计）经电压为U的电场加速后，由原点O沿y轴正方向射入磁场中例题图(1)若粒子比荷，求带电粒子从原点出发到再次回到原点所用时间t；(2)若粒子比荷，求带电粒子在010t0时间内运动轨迹的长度s；(3)若粒子比荷，同时在xoy平面内加上匀强电场，电场方向与y轴正方向相同，电场强度E随时间t的变化规律如图丙所示，运动一段时间后带电粒子能够回到原点O，试确定匀强电场E的可能取值三模型演练1.平行金属，板长1.4米，两板相距30厘米，两板间匀强磁场的B为1.310-3特斯拉，两板间所加电压随时间变化关系如甲图所示。当
4、t=0时，有一个a粒子从左侧两板中央以V=4103米/秒的速度垂直于磁场方向射入，如乙图所示。不计a粒子的重力，求：该粒子能否穿过金属板间区域?若不能，打在何处?若能，则需多长时间? (已知a粒子电量q=3.210-19库，质量m=6.6410-27千克)甲乙练图 2.如图甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E=40N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向t=0时刻，一质量m=810-4kg、电荷量q=+210-4C的微粒在O点具有竖直向下的速度v=0.12m/s，O是挡板M
5、N上一点，直线OO与挡板MN垂直，取g=10m/s2求：MNOOv练2图甲BE练2图乙Ot/sB/T0.8-0.85152535102030（1）微粒再次经过直线OO时与O点的距离；（2）微粒在运动过程中离开直线OO的最大高度；（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间的距离应满足的条件3.在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图甲所示磁场的磁感应强度B随时间t的变化情况如图乙所示该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点在t0时刻，有一个质量为m、电荷量为q的小球(可看做质点)，从M点开始沿着水平直线以速度v0做匀速直线运动，t0时刻
6、恰好到达N点经观测发现，小球在t2t0至t3t0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点求：甲 乙练3图(1)电场强度E的大小(2)小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)（II）在由于电场或磁场在空间的有界分布而引起带电粒子在空间上的运动周期性时:需要先分析粒子在空间完成一个周期运动后，再分析题目要求与粒子周期性运动之间的关联（i）在电场或磁场的边界是直线边界时，通常需要从粒子在一个周期内运动的距离与整个运动之间的空间联系上来考虑例3.如图所示的直角坐标系中，在直线的y轴区域内存在两个
7、大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场的方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上到区域内，连续分布着电荷量为+q，质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。例3题图（1）求匀强电场的电场强度E：（2）求AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？例4.如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里在x轴上有一点P，离原点的距离
8、为a.现有一带电量q的粒子，质量为m，从y轴上某点由静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？(重力作用忽略不计)例4题图模型演练4.如图所示，和为平行的虚线，上方和下方都是垂直纸面向里的磁感应强度相同的匀强磁场，两点都在上。带电粒子从点以初速与成斜向上射出，经过偏转后正好过点，经过点时速度方向也斜向上，不计重力。下列说法中正确的是练4图、带电粒子经过点时的速度一定跟在点的速度相同；、若将带电粒子在点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过点；、若将带电粒子在点时的初速度方向改为与成角斜向上，它就不一定经过点；、粒子一定带正电荷；练4题答图5.在如图所示的坐标系中，的区域内存在
9、着沿轴正方向、场强为E的匀强电场，的区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点以沿轴正方向的初速度射出，恰好能通过轴上的点。己知带电粒子的质量为，带电量为。、均大于0。不计重力的影响。练5图 (1)若粒子只在电场作用下直接到达D点，求粒子初速度的大小； (2)若粒子在第二次经过轴时到达D点，求粒子初速度的大小 (3)若粒子在从电场进入磁场时到达D点，求粒子初速度的大小；6.如图所示的直角坐标系中，第、象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，在x=2L与y轴之间第、象限内存在大小相等，方向相反的匀强电场，场强方向如图所示。在A（2L，L）到C（2L，0）的连线上连续分布
10、着电量为q、质量为m的粒子。从t=0时刻起，这些带电粒子依次以相同的速度沿x轴正方向射出。从A点射入的粒子刚好沿如图所示的运动轨迹从y轴上的A（0，L）沿x轴正方向穿过y轴。不计粒子的重力及它们间的相互作用，不考虑粒子间的碰撞。练6图（1）求电场强度E的大小（2）在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向穿过y轴（3）若从A点射入的粒子，恰能垂直返回x2L的线上，求匀强磁场的磁感应强度B (ii)在折线边界上,粒子通过转角处时,最常见的一种方式是以转角为运动轨迹圆心的转动.例3如图所示，边长为L的等边三角形ABC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度
11、大小为B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也为B.把粒子源放在顶点A处，它将沿A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带正电的粒子（粒子重力不计）.则下列说法正确的是k.5.uCABv0例3题图A.若v0=，则粒子第一次到达B点所用的时间为B.若v0=，则粒子第一次到达B点所用的时间为C.若v0=，则粒子第一次到达C点所用的时间为D.若v0=，则粒子第一次到达C点所用的时间为模型演练7.如图所示，边长为L的等边三角形ABC为两有界匀强磁场的理想边界，三角形内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，三角形外的磁场（足够大）方向垂直纸面向里，磁感应强度大小也
12、为B.把粒子源放在顶点A处，它将沿A的角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为v0的带正电的粒子（粒子重力不计）.s.若，则粒子第一次到达C点所用的时间为多少？CABv0练7题图8.如图所示，空间某竖直平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B.折线的顶角A=900,P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点沿PQ方向射出，不计粒子的重力(1)若在PQ间加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使粒子以速度v0从P点沿直线运动到Q点，求场强的大小和方向(2)撒去电场，为使粒子从P点射出后，途经折线的顶点
13、A到达Q点，则初速度v应满足什么条件？并求出粒子从P点经A点到达Q点所用时间的最小值（iii）在磁场边界是圆形边界且粒子穿过边界时速度沿磁场半径方向:通常需要从粒子在每相邻两次通过磁场边界时转过的圆弧所对应的磁场圆心角与整个运动的联系上来考虑注意磁场半径与轨迹半径、转过的圆心角与转过圆弧对应的磁场圆心角之间的差异.边界两侧磁场方向相反时,粒子沿径向穿过边界,若粒子运动经过n段圆弧能回到原出发点,粒子与磁场圆心连线可转过k(k=1,2,3,)圈: (一)若界面两侧磁感应强度大小相等,则边界内外的每段圆弧的半径相等,每段圆弧对应的磁场圆心角相等.粒子在边界内转过的是一劣弧,在边界外转过的是一优弧,
14、边界内外两相邻的圆弧恰好可合成一个完整的圆周,即边界内外两相邻圆弧对应的运动轨迹圆心角之和恰好等于,由于可知,即(n=2k+1,2k+2,2k+3,)每段圆弧对应转过的圆心角与的关系:粒子转过的是一段优弧时;粒子转过的是一段劣弧时.粒子转动半径R与区域半径r的关系:例4.在某平面上有一半径为R的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为B，方向如图所示。现在圆形区域的边界上的A点有一个电量为，质量为的带电粒子以沿半径且垂直于磁场方向向圆外的速度经过该圆形边界，已知该粒子只受到磁场对它的作用力。 例4题图 （1）若粒子在其与圆心O连线
15、旋转一周时恰好能回到A点，试粒子运动速度V的可能值。 （2）在粒子恰能回到A点的情况下，求该粒子回到A点所需的最短时间。模型演练9.如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力。求：（1）微粒在磁场中运动的周期；（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大
16、值。NOMPQBB(二)若界面两侧磁感应强度大小不等,则边界两侧的粒子运动轨迹圆弧半径不等,对应的磁场圆心角不等，磁感应强度小即轨迹半径大的区域内转过的圆弧对应的磁场圆心也大粒子在边界内转过的仍是一劣弧,在边界外转过的仍是一优弧,但边界内外两相邻圆弧对应的运动轨迹圆心角之和不等于将每相邻的边界内外的两个圆弧分为一组，若恰好经过n组回到出发点时有：；否则有：每段圆弧对应转过的圆心角与的关系仍有:粒子转过的是一段优弧时;粒子转过的是一段劣弧时.粒子转动半径R与区域半径r的关系:(III)磁场边界是弹性材料时，因粒子与器壁的碰撞而引起的周期性运动例5.如图所示，粒子源S可以不断地产生质量为m、电荷量
17、为+q的粒子，粒子从小孔O1漂进(不计初速)一个水平方向的加速电场，再经小孔02进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，其电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，方向如图虚线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B2(方向图中未画出)。现有n块折成直角的相同硬质塑料板abc(不带电，宽度很窄，厚度不计)紧靠在一起，恰好放置在PQ、MN之间(截面图如图)，ab=bc=L，=450。现使粒子能沿水平虚线0203进入PQ、MN之间的区域。假设粒子的重力、空气阻力均不计，粒子与板相碰后，速率不变，方向变化遵守光的反射定律。求： (1)加速电压U (2)粒子在B2磁场中运动的总时间t；
18、(3)粒子在PQ、MN之间运动的平均速度大小v。例6.如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），在C点正下方紧靠N板的A点，无初速经电场加速后从C点进入磁场，与圆筒发生两次碰撞后从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：A=BCMNEd,R例6题图筒内磁场的磁感应强度大小；带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间。例7.如图所示，光滑绝缘壁围成的正方形匀强磁场区域，边长为a磁场的方向垂直于正方形平面
19、向里，磁感应强度的大小为B有一个质量为m、电量为q的带正电的粒子，从下边界正中央的A孔垂直于下边界射入磁场中设粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰撞时间例7题图（1）若粒子在磁场中运动的半径等于，则粒子射入磁场的速度为多大?经多长时间粒子又从A孔射出?（2）若粒子在磁场中运动的半径等于，判断粒子能否再从A孔射出如能，求出经多长时间粒子从A孔射出；如不能，说出理由（3）若粒子在磁场中运动的半径小于a且仍能从A孔垂直边界射出，粒子射入的速度应为多大?在磁场中的运动时间是多长？模型演练10.如图所示，在空间中固定放置一绝缘材料制成的边长为L的刚性等边三边形框架DEF，DE边上S点（）处有
20、一发射带正电的粒子源，发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE边向下.发射的电量皆为q，质量皆为m,但速度v有各种不同的值整个空间充满磁感应强度大小为B，方向垂直截面向里的均匀磁场。设粒子与DEF边框碰撞时没有能量损失和电量传递。求：练10图（1）带电粒子速度的大小为v时，做匀速圆周运动的半径(2) 带电粒子速度的大小取那些数值时，可使S点发出的粒子最终又垂直于DE边回到S点? (3)这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少?11.如图所示，ABCDEF是一边长为L的正六边形盒，各边均为绝缘板，盒外有方向垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B在盒内有两个与AF边平行的金属板M、
21、N，且金属板N靠近盒子的中心O点，金属板M和盒子AF边的中点均开有小孔，两小孔与O点在同一直线上现在O点静止放置一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计粒子的重力）练11图（1）如果在金属板N、M间加上电压UNM=U0时，粒子从AF边小孔射出后直接打在A点，试求电压U0的大小（2）如果改变金属板N、M间所加电压，试判断粒子从AF边小孔射出后能否直接打在C点若不能，说明理由；若能，请求出此时电压UNM的大小（3）如果给金属板N、M间加一合适的电压，粒子从AF边小孔射出后恰好能以最短时间回到该小孔（粒子打在盒子各边时都不损失动能），试求最短时间与相应的速度v12.如图所示，一半径为R的绝缘圆筒中有
22、沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m，带电荷量为q的正粒子(不计重力)以速度为v从筒壁的A孔沿半径方向进入筒内，设粒子和筒壁的碰撞无电荷量和能量的损失，那么要使粒子与筒壁连续碰撞，绕筒壁一周后恰好又从A孔射出，问：练12图(1)磁感应强度B的大小必须满足什么条件？(2)粒子在筒中运动的时间为多少？13.如图所示，半径分别为、的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心O处固定一个半径很小(可忽略不计)的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差为，两圆之间的空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿轴正方向以很小的初速度逸出，粒子质量为，电荷量为，(不计粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度)求：（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大?（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此磁感应强度的最小值（3）若磁感应强度取（2）中最小值，且，要使粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋?并求粒子在磁场中运动的时间(设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回)14