1、2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1（5分）满足1A1，2，3的集合A的个数是（）A2B3C4D82（5分）已知幂函数f（x）x的图象过点（4，2），若f（m）3，则实数m的值为（）ABC9D93（5分）的值是（）ABCD4（5分）已知直线l1：x+2y10，l2：2x+ny+50，l3：mx+3y+10，若l1l2且l1l3，则m+n的值为（）A10B10C2D25（5分）已知，则（）AB1CD26（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD1与A
2、1C所成的角的大小是（）A30B60C90D1207（5分）已知tan2，则sin2+sincos2cos2（）ABCD8（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则9（5分）已知函数，则（）A1Blg2C2D010（5分）若存在正数x使成立，则a的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）11（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）
3、ABCD12（5分）已知f（x）是定义在R上的单调函数，满足ff（x）ex1，且f（a）f（b）e，若，则a与b的关系是（）Aab3Bba3Cba4Dab4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13（5分）函数yln（1x）的定义域为 14（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为 15（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y24有且仅有三个点到直线l：2x5y+c0的距离为1，则实数c的取值集合是 16（5分）已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）f（b）f（c），则a
4、bc的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知点A（4，0），B（2，0），动点P满足|PA|2|PB|（1）若点P为曲线C，求此曲线的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与（1）中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程18（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点（）求证：ACPB；（）求证：PB平面AEC19（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机x（x
5、40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润20（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA13，D是CB延长线上一点，且BDBC（1）求二面角B1ADB的正切值；（2）求三棱锥C1ABB1的体积21（12分）已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y6）2r2（r0）关于直线xy+60对称（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
6、试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由22（12分）已知f（x）|x24|+x2+kx（1）若k2，求方程f（x）0的解；（2）若关于x的方程f（x）0在区间（0，4）上有两个不相等的实根x1、x2：求实数k的取值范围；证明：2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1（5分）满足1A1，2，3的集合A的个数是（）A2B3C4D8【分析】根据条件1A1，2，3即可看出集合A必须含有元素1，可能含有元素2，3，从而得出满足条件的A为1，1，2，1，3，1，2，
7、3，共4个【解答】解：满足1A1，2，3的集合A为：1，1，2，1，3，1，2，3，共4个故选：C【点评】考查子集的定义，元素与集合的关系，列举法的定义2（5分）已知幂函数f（x）x的图象过点（4，2），若f（m）3，则实数m的值为（）ABC9D9【分析】由函数f（x）x的图象过点（4，2），先求出幂函数f（x），再由f（m）3，能求出m的值【解答】解：幂函数f（x）x的图象过点（4，2），4a2，解得a，f（x），f（m）3，m9故选：D【点评】本题考查幂函数的解析式的求法及应用，解题时要认真审题，注意待定系数法的灵活运用，是基础题3（5分）的值是（）ABCD【分析】原式三个因式中的角度变形
8、后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果【解答】解：原式sin（+）cos（）tan（）sin（cos）（tan）（）（）故选：A【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键4（5分）已知直线l1：x+2y10，l2：2x+ny+50，l3：mx+3y+10，若l1l2且l1l3，则m+n的值为（）A10B10C2D2【分析】由l1l2且l1l3，可得n40，m+60，解得n，m即可得出【解答】解：l1l2且l1l3，n40，m+60，解得n4，m6则m+n462故选：C【点评】本题考查了直线位置关系与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）已知，则（）
9、AB1CD2【分析】先条件两边取常用对数，再利用对数的运算性质，即可求得结论【解答】解：alg2blg5，2lg2+2lg52lg102故选：D【点评】本题考查对数的运算，解题的关键是条件两边取常用对数，属于基础题6（5分）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C所成的角的大小是（）A30B60C90D120【分析】在正方体ABCDA1B1C1D1中，推出AD1平面A1DC，由此能求出结果【解答】解：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，连结A1D，A1DDC，A1DAD1，AD1平面A1DC，异面直线AD1与A1C所成的角的大小是90故选：C【点评】本题考查异面
10、直线所成的角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养7（5分）已知tan2，则sin2+sincos2cos2（）ABCD【分析】利用sin2+cos21，令原式除以sin2+cos2，从而把原式转化成关于tan的式子，把tan2代入即可【解答】解：sin2+sincos2cos2故选：D【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用本题利用了sin2+cos21巧妙的完成弦切互化8（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则【分析】由，m，n，可推得mn，mn，或m，
11、n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【解答】解：选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题9（5分）已知函数，则（）A1Blg2C2D0【分析】推导出ln（lg2）+ln（+lg2）+2ln1+2，由此能求出结果【解答】解：函数，ln（lg2）+ln（）+2ln
12、（lg2）+ln（+lg2）+2ln1+22故选：C【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题10（5分）若存在正数x使成立，则a的取值范围是（）A（，+）B（2，+）C（0，+）D（1，+）【分析】根据题意，分析可得x（）xa，设f（x）x（）x，求出其导数，分析可得函数f（x）在R上为增函数以及f（0）的值，进而可得在（0，+）上，f（x）f（0）1恒成立；据此可得若存在正数x使成立，即x（）xa有正实数解，分析可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，x（）xa，设f（x）x（）x，其导数为f（x）1（）x
13、ln（）1+（）xln20，则函数f（x）在R上为增函数，且f（0）0（）01，则在（0，+）上，f（x）f（0）1恒成立；若存在正数x使成立，即x（）xa有正实数解，必有a1；即a的取值范围为（1，+）；故选：D【点评】本题考查函数的单调性以及函数最值问题，涉及不等式有解问题，属于综合题11（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD【分析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为R1，然后利用球
14、体半径，截面圆半径和球心到截面圆圆心的距离形成勾股定理求出R的值，然后再利用球体体积公式可得出答案【解答】解：设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为r2cm，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，球心到截面圆圆心的距离为（R1）cm，由勾股定理可得R2（R1）2+22，解得，因此，球的体积为故选：A【点评】本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题12（5分）已知f（x）是定义在R上的单调函数，满足ff（x）ex1，且f（a）f（b）e，若，则a与b的关系是（）Aab3Bba3Cba4Dab4【分析】根据题意，
15、由函数单调性的性质可得f（x）ex为常数，设f（x）ext，则f（x）ex+t，又由ff（x）ex1，即f（t）1，则有et+t1，分析可得t的值，即可得函数的解析式，据此分析可得eaebe1e，即ab1，又由，则有+，结合a、b的关系计算可得，即lga3lgb，结合对数的运算性质分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的单调函数，满足ff（x）ex1，则f（x）ex为常数，设f（x）ext，则f（x）ex+t，又由ff（x）ex1，即f（t）1，则有et+t1，解可得t0，则f（x）ex，若f（a）f（b）e，即eaebe1e，则ab1，若，必有0ab，则有+，又由0ab1，则
16、1，解可得，即lga3lgb，变形可得：ab3，故选：A【点评】本题考查函数的单调性的应用以及对数的运算性质，涉及函数解析式的计算，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13（5分）函数yln（1x）的定义域为0，1）【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数函数的真数大于0建立不等式关系，然后解之即可求出函数的定义域【解答】解：要使原函数有意义，则解得：0x1所以原函数的定义域0，1）故答案为0，1）【点评】本题主要考查了对数函数的定义域及其求法，以及偶次根式的定义域，属于基础题14（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）则该几何体
17、的体积为6+【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是组合体，下面为长方体，上面为圆锥，且长方体的长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，代入体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下面为长方体，上面为圆锥，且长方体的长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，则该几何体的体积V故答案为：6+【点评】本题考查由三视图求面积和体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题15（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y24有且仅有三个点到直线l：2x5y+c0的距离为1，则实数c的取值集合是【分析】由题意画出图形，把圆x2+y25上有且仅
18、有三个点到直线12x5y+c0的距离为1转化为原点到直线12x5y+c0的距离为1，再由点到直线的距离公式得答案【解答】解：如图，由圆的方程x2+y24，可得圆心坐标为（0，0），圆半径r2，由题意可知，原点到直线2x5y+c0的距离为1由点到直线的距离公式可得：，c故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础的计算题16（5分）已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）f（b）f（c），则abc的取值范围是（8，10）【分析】画出函数的图象，根据a，b，c互不相等，且f（a）f（b）f（c），我们令abc，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc
19、的取值范围【解答】解：函数函数，图象如图所示：若a，b，c互不相等，且f（a）f（b）f（c），令abc，则ab1，8c10，故8abc10，故答案为：（8，10）【点评】本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知点A（4，0），B（2，0），动点P满足|PA|2|PB|（1）若点P为曲线C，求此曲线的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与（1）中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程【分析】（1）设P（x，y
20、），由点A（4，0），B（2，0），动点P满足|PA|2|PB|，列方程级求出曲线C的方程（2）设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距为a，当a0时，直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当a0时，直线方程为x+ya，把x+ya代入曲线C的方程x2+y28x0，得2x2（2a+8）x+a20，由直线l与曲线C只有一个公共点，能求出直线l的方程【解答】解：（1）设P（x，y），点A（4，0），B（2，0），动点P满足|PA|2|PB|2，整理得：x2+y28x0曲线C方程为x2+y28x0（2）设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距为a，当a0时，直线l过（0，0），设直线方程为ykx把ykx代
21、入曲线C的方程x2+y28x0，得：（k2+1）x28x0，644（k2+1）064，直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当a0时，直线方程为x+ya，把x+ya代入曲线C的方程x2+y28x0，得：2x2（2a+8）x+a20，直线l与曲线C只有一个公共点，（2a+8）28a20，解得a4，直线l的方程为x+y4+40或x+y440【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题18（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点（）
22、求证：ACPB；（）求证：PB平面AEC【分析】（）由已知得ACAB，ACPA，从而AC平面PAB，由此能证明ACPB（）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EOPB，由此能证明PB平面AEC【解答】（）证明：在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，ACAB，ACPA，又ABPAA，AC平面PAB，PB平面PAB，ACPB（）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，ABCD是平行四边形，O是BD的中点，又E是PD的中点，EOPB，又PB不包含于平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，是中档题，
23、解题时要注意空间思维能力的培养19（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机x（x40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【分析】（1）当x100时，WxR（x）（400+160x），化简即可求出；（2）利用基本不等式即可求出【解答】解：（1）WxR（x）（160x+400）x（）（160x+400）74000160x40073600160x，（2）由（1）可得W73
24、600160x736002736001600057600，当且仅当当且仅当160，即x50时取等号，所以当x50时，y取得最大值57600万元【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法属于中档题20（12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA13，D是CB延长线上一点，且BDBC（1）求二面角B1ADB的正切值；（2）求三棱锥C1ABB1的体积【分析】（1）取BC中点O，B1C1中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1ADB的正切值（2）三棱锥C1ABB1的体积，由此能求出结果
25、【解答】解：（1）取BC中点O，B1C1中点E，连结OE，OA，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA13，D是CB延长线上一点，且BDBC以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，B1（，3，0），A（0，0，），D（，0，0），B（，0，0），（，0，），（，3，），平面ABD的法向量（0，1，0），设平面ADB1的法向量（x，y，z），则，取z，得（1，1，），设二面角B1ADB的平面角为，则cos，sin，tan2，二面角B1ADB的正切值为2（2）三棱锥C1ABB1的体积：【点评】本题考查二面角的正切值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线
26、线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21（12分）已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y6）2r2（r0）关于直线xy+60对称（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由【分析】（1）由已知中圆C过点P（2，2），且圆M：（x+6）2+（y6）2r2（r0）关于直线xy+60对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；（2）由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：y2k（x2），PB：y2k（
27、x2），求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（6，6）关于直线xy+60对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r设C（m，n），由且，解得：m0，n0故原C的方程为x2+y2r2再把点P（2，2）代入圆C的方程，求得r故圆的方程为：x2+y28；（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y2k（x2），PB：y2k（x2）由，得（1+k2）x2+4k（1k）x
28、+4（1k）280，P的横坐标x2一定是该方程的解，同理，xB由于AB的斜率kAB1kOP（OP的斜率），直线AB和OP一定平行【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，关于直线对称的圆的方程，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键，考查运算能力，属于中档题22（12分）已知f（x）|x24|+x2+kx（1）若k2，求方程f（x）0的解；（2）若关于x的方程f（x）0在区间（0，4）上有两个不相等的实根x1、x2：求实数k的取值范围；证明：【分析】（1）当k2时，根据绝对值的应用，直接进行求解即可（2）讨论两个根x1、x2的范围，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行转化求解【
29、解答】解：（1）当k2时，f（x）|x24|+x2+2x，当|x|2时，f（x）2x2+2x4，由f（x）2x2+2x40，得x2+x20，得x1舍或x2；当|x|2时，f（x）2x+4，由2x+40得x2（舍）；故当k2时，方程f（x）0的解是x2（2）不妨设0x1x24，f（x）|x24|+x2+kx，若x1、x22，4），与x1x22矛盾，若x1、x2（0，2），与ykx+4是单调函数矛盾则0x12x24；则kx1+40 ，2x22+kx240 ，由，得：k2，由，得：k2x2+（7，2；k的取值范围是（7，2）；联立、消去k得：2x22x240，即2x1x224x24x10，即x1x222x2+2x1，则+，2x242，即+2【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断根的范围，以及利用一元二次方程与一次方程的性质进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度