1、一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知全集UZ，A1，0，1，2，Bx|x2x，则AUB为（）A1，2B1，0C0，1D1，22（3分）已知函数f（x）的图象在R上是连续不间断的，且f（a）f（b）0，则下列说法正确的是（）Af（x）在区间（a，b）上一定有零点Bf（x）在区间（a，b）上不一定有零点Cf（x）在（a，b）上零点的个数为奇数Df（x）在（a，b）上没有零点3（3分）f（x），则fff（3）等于（）A0BC2D94（3分）已知集合ABR，xA，yB，f：xyax+b，若4和10的原象分别对应是6和9
2、，则19在f作用下的象为（）A18B30CD285（3分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）ABCf（x）1，g（x）x0D6（3分）函数f（x）log4x与f（x）4x的图象（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线yx对称7（3分）方程lgx+x20一定有解的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）8（3分）方程xlog341，则4x+4x为（）A0BC3D9（3分）在同一坐标系中，函数yax+a与yax的图象大致是（）ABCD10（3分）已知函数f（x）lg（1x）的值域为（，1，则函数f（x）的定义域为（）A9，+）B0，+）C（9，1）D9，1）11
3、（3分）Ax|x2+x60，Bx|mx+10且ABA，则m的取值范围（）ABCD12（3分）某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知lg20.3010，lg30.4771）（）A6B7C8D913（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+）为减函数，若f（2）0，则不等式（x1）f（x1）0的解集为（）A（3，1）B（3，1）（2，+）C（3，0）（1，3）D（1，1）（1，3）14（3分）若函数f（x）x2+a|x2|在（0，+）上单调递增，则a的范围为（）A4，2
4、B4，0C4，2）D2，2）15（3分）对于函数，设f2（x）ff（x），f3（x）ff2（x），fn+1（x）ffn（x）（nN*，且n2），令集合Mx|f2017（x）log2|x|，则集合M为（）A空集B一元素集C二元素集D四元素集二、填空题：本大题共5小题，每题3分，满分15分，把答案填写在题中的横线上16（3分）已知幂函数的图象经过点（2，8），则它的解析式是 17（3分）求值 18（3分）已知函数f（x）4x2kx8在5，20上具有单调性，则实数k的取值范围为 19（3分）若函数（a0，且a1）在x1，1上的最大值为23，则a的值为 &nb
5、sp; 20（3分）若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间a，bD（其中ab），使得当xa，b时，f（x）的取值范围恰为a，b，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）x2+k是（，0）上的正函数，则实数k的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，（1）画出函数f（x）的图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间，并写出函数的值域22（8分）已知函数的定义域是集合A，函数g（x）lgx2（2a+1）x+a2+a的定义域是集合B（1）求集合
6、A、B；（2）若ABA，求实数a的取值范围23（8分）对于函数f（x）a（aR）（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？证明你的结论24（8分）电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系，如图所示（实线部分）（注：图中MNCD）试问：（1）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠25（8分）对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数对任意的x0，1，总有f（x）0；当x
7、10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立已知函数g（x）x2与h（x）2xb是定义在0，1上的函数（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知全集UZ，A1，0，1，2，Bx|x2x，则AUB为（）A1，2B1，0C0，1D1，2【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解【解答】解：由
8、题设解得B0，1，UBxZ|x0且x1，AUB1，2，故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，属容易题2（3分）已知函数f（x）的图象在R上是连续不间断的，且f（a）f（b）0，则下列说法正确的是（）Af（x）在区间（a，b）上一定有零点Bf（x）在区间（a，b）上不一定有零点Cf（x）在（a，b）上零点的个数为奇数Df（x）在（a，b）上没有零点【分析】f（x）在区间（a，b）上有可能有零点，也可能没有零点【解答】解：函数f（x）的图象在R上是连续不间断的，且f（a）f（b）0，f（x）在区间（a，b）上有可能有零点，也可能没有零点，即f（x）在区间（a，b）上不一定有零点故选：B【点评】本
9、题考查函数在给定区间上是否有零点的判断与求法，考查导数、极限、连续等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（3分）f（x），则fff（3）等于（）A0BC2D9【分析】应从内到外逐层求解，计算时要充分考虑自变量的范围根据不同的范围代不同的解析式【解答】解：由题可知：30，f（3）0，ff（3）f（0）0，fff（3）f（）2故选：C【点评】本题考查的是分段函数求值问题在解答的过程当中充分体现了复合函数的思想、问题转化的思想4（3分）已知集合ABR，xA，yB，f：xyax+b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为（）A18B30CD28【分析】根据映射的
10、定义及条件若4和10的原象分别对应是6和9，解出a和b，然后再求解；【解答】解：集合ABR，xA，yB，f：xyax+b，解得，a2，b8，y2x8，当x19时，y219830，故选：B【点评】此题主要考查映射与函数的定义及其应用，理解象与原象的定义，不要弄混淆了，此题是一道好题5（3分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）ABCf（x）1，g（x）x0D【分析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同，从而得出正确选项【解答】解：A、的定义域为R，的定义域为x0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；B、，相同的定义域，
11、值域与对应法则，故它们是同一函数；C、f（x）1的定义域为R，g（x）x0的定义域为x0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；D、的定义域为x2；g（x）x2的定义域为R，两函数的定义域不同，故不是同一函数，则选项B中的两函数表示同一函数故选：B【点评】本题考查判断两个函数是否是同一函数，在开始学习函数的概念时，这是经常出现的一个问题，注意要从三个方面来分析：定义域、对应法则、值域，只有三要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数，这是判定两个函数为同一函数的标准6（3分）函数f（x）log4x与f（x）4x的图象（）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线yx对称【分析】先判断函
12、数f（x）log4x与f（x）4x互为反函数，然后根据互为反函数的两个函数图象关于直线yx对称，从而得到结论【解答】解：函数f（x）log4x与f（x）4x互为反函数函数f（x）log4x与f（x）4x的图象关于直线yx对称故选：D【点评】本题考查反函数的求法，互为反函数的2个函数图象间的关系，属于基础题7（3分）方程lgx+x20一定有解的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】设f（x）lgx+x2，根据f（1）f（2）0，以及函数零点的判定定理可得f（x）在（1，2）内必有零点【解答】解：设f（x）lgx+x2，f（1）10，f（2）lg20，f（1）f（2）0
13、，根据函数零点的判定定理可得f（x）在（1，2）内必有零点，故选：B【点评】本题主要考查函数的 零点的判定定理的应用，属于基础题8（3分）方程xlog341，则4x+4x为（）A0BC3D【分析】由已知可解得x的值，然后代入4x+4x计算可得答案【解答】解：xlog341，xlog43则4x+4x故选：B【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题9（3分）在同一坐标系中，函数yax+a与yax的图象大致是（）ABCD【分析】一方面，函数yax横过点（0，1）且在a1时递增，在0a1时递减；另一方面再结合函数yax+a与y轴的交点为（0，a）作出判断【解答】解：函数yax横过点（0，1）且在a1
14、时递增，在0a1时递减，而函数yax+a与y轴的交点为（0，a），因此，A中、由yax的图象递增得知a1，由函数yax+a与y轴的交点（0，a）得知a1，矛盾；C中、由yax的图象递减得知0a1，由函数yax+a与y轴的交点（0，a）得知a1，矛盾；D中、由yax的图象递减得知0a1，函数yax+a递减得知a0，矛盾；故选：B【点评】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查一次函数yax+a与指数函数yax之间的对应关系，考查数形结合的分析能力，属于基础题10（3分）已知函数f（x）lg（1x）的值域为（，1，则函数f（x）的定义域为（）A9，+）B0，+）C（9，1）D9，1）【分析】由于函数
15、f（x）lg（1x）在（，1）上递减，由于函数的值域为（，1，则lg（1x）1，即有01x10，解得即可得到定义域【解答】解：函数f（x）lg（1x）在（，1）上递减，由于函数的值域为（，1，则lg（1x）1，则有01x10，解得，9x1则定义域为9，1），故选：D【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题11（3分）Ax|x2+x60，Bx|mx+10且ABA，则m的取值范围（）ABCD【分析】根据已知中Ax|x2+x60，Bx|mx+10且ABA，我们分m0，m0两种情况进行讨论，分别求出满足条件的m的值，即可得到答案【解答】解：Ax|x2+x
16、603，2，ABA，则BA若m0，则B，满足要求；若m0，则Bx|x则m，或m综上m的取值范围组成的集合为故选：C【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中本题易忽略m0的情况，而错选A12（3分）某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知lg20.3010，lg30.4771）（）A6B7C8D9【分析】根据题意，设至少需要过滤n次，则，进而可建立不等式，由此可得结论【解答】解：设至少需要过滤n次，则，即，所以，即，又nN，所以n8，所以至少过滤8次才能使产品达到市场
17、要求故选：C【点评】本题考查数列的应用，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题13（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+）为减函数，若f（2）0，则不等式（x1）f（x1）0的解集为（）A（3，1）B（3，1）（2，+）C（3，0）（1，3）D（1，1）（1，3）【分析】利用函数的单调性与奇偶性做出函数图象，然后按x1得符号进行分类讨论【解答】解：由做出函数的大致图象如图：（1）当x10时，即x1时，f（x1）0，0x12或x12，解得1x3（2）当x10时，即x1时，f（x1）0，2x10或x12，解得1x1综上所述：x的取值范围是（1，1）（1，3）故选：D【
18、点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性，是基础题14（3分）若函数f（x）x2+a|x2|在（0，+）上单调递增，则a的范围为（）A4，2B4，0C4，2）D2，2）【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可【解答】解：f（x）x2+a|x2|，要使f（x）在0，+）上单调递增，则：，解得4a0；实数a的取值范围是4，0故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分段函数问题，是一道中档题15（3分）对于函数，设f2（x）ff（x），f3（x）ff2（x），fn+1（x）ffn（x）（nN*，且n2），令集合Mx|f2017（x）lo
19、g2|x|，则集合M为（）A空集B一元素集C二元素集D四元素集【分析】根据函数解析式，利用递推关系得到函数是周期为4的周期函数，结合函数与方程之间的关系转化两个函数图象的交点问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：，f2（x）ff（x），f3（x）ff2（x），f4（x），f5（x）f（x），函数fn（x）是周期为4的周期函数，则f2017（x）f2016+1（x）f（x），由f2017（x）log2|x|得log2|x|，即log2|x|，则log2|x|1+，作出两个函数ylog2|x|和y1+的图象如图：由图象知两个图象有1个交点，即方程f2017（x）log2|x|有一个根，则集合M
20、为一元素集，故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键综合性较强难度较大二、填空题：本大题共5小题，每题3分，满分15分，把答案填写在题中的横线上16（3分）已知幂函数的图象经过点（2，8），则它的解析式是f（x）x3【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式【解答】解：设幂函数为f（x）xa，因为幂函数图象过点（2，8），所以82a，解得a3，所以幂函数的解析式为f（x）x3故答案为：f（x）x3【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目17（3分）求值【分析】直接由有理指数幂的运算性质化简即可
21、【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，是基础题18（3分）已知函数f（x）4x2kx8在5，20上具有单调性，则实数k的取值范围为k|k40，或k160【分析】已知函数f（x）4x2kx8，求出其对称轴x，要求f（x）在5，20上具有单调性，只要对称轴x5，或x20，即可，从而求出k的范围；【解答】解：函数f（x）4x2kx8的对称轴为：x，函数f（x）4x2kx8在5，20上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x5，或x205或，k40，或k160k（，40160，+），故答案为：k|k40，或k160【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上
22、移动得出，f（x）在（5，20）上具有单调性的条件，此题是一道基础题19（3分）若函数（a0，且a1）在x1，1上的最大值为23，则a的值为4或【分析】由题意，设，t0，则yt2+2t1，其图象为开口向上且对称轴为t1的抛物线，所以二次函数yt2+2t1在1，+）上是增函数对a进行讨论可得答案【解答】解：设，t0，则yt2+2t1，其图象为开口向上且对称轴为t1的抛物线，所以二次函数yt2+2t1在1，+）上是增函数若a1，则在1，1上单调递减，所以ta时y取最大值，a4或a6（舍去）；若0a1，则在1，1上递增，所以时，y取得最大值，或（舍去）综上可得：a4或故答案为：4或【点评】本题主要考
23、查函数最值的求解，根据指数的单调性讨论以及一元二次函数的性质是解决本题的关键20（3分）若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间a，bD（其中ab），使得当xa，b时，f（x）的取值范围恰为a，b，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）x2+k是（，0）上的正函数，则实数k的取值范围是（1，）【分析】根据函数f（x）x2+k是（，0）上的正函数，则f（a）b，f（b）a，建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+k+10在区间（1，）内有实数解进行求解【解答】解：因为函数f（x）x2+k是（，0）上的正函数，所以ab0，所以当xa，b时，函数单调递减，则
24、f（a）b，f（b）a，即a2+kb，b2+ka，两式相减得a2b2ba，即b（a+1），代入a2+kb得a2+a+k+10，由ab0，且b（a+1），a（a+1）0，解得1a故关于a的方程a2+a+k+10在区间（1，）内有实数解，记h（a）a2+a+k+1，则 h（1）0，h（）0，即11+k+10且+k+10，解得k1且k即1k故答案为：（1，）【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题和易错题三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21（8分）已知函数f（x）是定义
25、在R上的偶函数，当x0时，（1）画出函数f（x）的图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间，并写出函数的值域【分析】（1）由偶函数的图象关于y轴对称可知，要画出函数f（x）的图象，只须作出f（x）当x0时的图象，然后关于y轴对称即可；（2）观察图象，结合函数单调性和值域的定义，写出f（x）的单调区间及值域【解答】解：（1）函数f（x）的图象如图所示 （2）由图象得，f（x）的单调区间为：（，0）上是增函数，（0，+）上是减函数，值域为（0，1【点评】本题考查了偶函数的性质：图象关于y轴对称和数形结合思想，函数的图象可直观反映其性质，利用函数的图象可以解答函数的值域（最值），单调性
26、，奇偶性等问题，也可用来解答不等式的有关题目22（8分）已知函数的定义域是集合A，函数g（x）lgx2（2a+1）x+a2+a的定义域是集合B（1）求集合A、B；（2）若ABA，求实数a的取值范围【分析】（1）由函数的定义域能求出集合A，由函数g（x）lgx2（2a+1）x+a2+a的定义域能求出集合B（2）由Ax|x1或x2，Bx|xa或xa+1，ABA，得AB，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域是集合A，Ax|0x|x1或x2，函数g（x）lgx2（2a+1）x+a2+a的定义域是集合B，Bx|x2（2a+1）x+a2+a0x|xa或xa+1（2）Ax|x1或x2，B
27、x|xa或xa+1由ABA，得AB，解得1a1，实数a的取值范围是（1，1【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的定义域、子集等基础知识，是基础题23（8分）对于函数f（x）a（aR）（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？证明你的结论【分析】（1）函数f（x）为R上的增函数任取x1，x2R，且任意x1x2，作差判断f（x1）f（x2）的符号，进而可得答案；（2）存在实数a1，使函数f（x）为奇函数，代入利用奇偶性的定义，可得答案【解答】（12分）（1）函数f（x）为R上的增函数（1分）证明如下：函数f（x）的定义域为R，对任意x1，
28、x2R，（3分）因为y2x是R上的增函数，x1x2，所以0，（5分）所以f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2），函数f（x）为R上的增函数 （6分）（2）xR，若f（x）是奇函数，则f（0）0，a1所以存在实数a1，使函数f（x）为奇函数 （8分）证明如下：当a1时，对任意xR，f（x）f（x），即f（x）为奇函数（12分）【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档24（8分）电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系，如图
29、所示（实线部分）（注：图中MNCD）试问：（1）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠【分析】（1）要求通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元，关键是要根据函数图象求出函数的解析式，再当通话时间代入解析式进行求解（2）由（1）中的结论，我们不难求出方案B在500分钟后，对应函数图象的斜率，即每分钟收费的多少（3）由图可知，方案A与方案B的图象有交点，在交点的左侧，A方案更优惠，在交点的右侧，B方案更优惠，故我们只要求出交战的横坐标，即可得到通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠【
30、解答】解：（1）由图知M（60，98），N（500，230），C（500，168），MNCD设两种方案应付话费与通话时间的函数关系分别为fA（x）、fB（x），则，通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元（2）（元）方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元（3）由图知，当0x60时，fA（x）fB（x），当x500时，fA（x）fB（x），当60x500时，由fA（x）fB（x），得，即当通话时间在内时，方案B较A优惠【点评】已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函
31、数的解析式25（8分）对定义在0，1上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数对任意的x0，1，总有f（x）0；当x10，x20，x1+x21时，总有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立已知函数g（x）x2与h（x）2xb是定义在0，1上的函数（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合【分析】（1）根据G函数的定义，验证函数g（x）是否满足条件即可（2）若函数h（x）是G函数根据条件结合函数的单调性进行判断求解即可【解答】解：（1）是，理由如下：当x0，1时，总有g（x）x20，满足，当x10，x20，x1+x21时，g（x1+x2）（x1+x2）2x12+x22+2x1x2x12+x22g（x1）+g（x2），满足（4分）（2）h（x）2xb为增函数，h（x）h（0）1b0，b1，由h（x1+x2）h（x1）+h（x2），b+b，即b1（1）（1），x10，x20，x1+x21，011，011，x1，x2不同时等于10（1）（1）1；01（1）（1）1，当x1x20时，1（1）（1）的最大值为1；b1，则b1，综合上述：b1（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据抽象函数图象判断条件是否成立是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力