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2017-2018学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合A2,3,Ba,5,若集合AB中有3个元素,则a()A2B3C5D2或32(5分)已知点A(2,1),B(2,3),则线段AB的垂直平分线的方程是()A2xy+20Bx+2y40C2x+y20D2xy+103(5分)函数f(x)+ln(32x)的定义域为()A1,)B(1,)C1,D(,+)4(5分)已知x,yR且xy0,则()A0Bx3y3C()x()y0Dlgx+lgy05(5分)若直线l:xy10始终平分圆M:

2、x2+y22ax+4y30的周长,则a的值为()A2B1C2D46(5分)已知函数f(x)ex()x(e2.71828),则f(x)()A是偶函数,且在R上是增函数B是奇函数,且在R上是增函数C是偶函数,且在R上是减函数D是奇函数,且在R上是减函数7(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是()AB3CD8(5分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,ABBC,ADDC2,CB,动点P从点A出发,按照ADCB路径沿边运动,设点P运动的路程为x,APB的面积为y,则函数yf(x)的图象大致是()ABCD9(5分)我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂

3、势既同,则积不容异”“势”即是高,“幂”即是面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等,如图所示,扇形AOB的半径为3,圆心角为90,若扇形AOB绕直线OB旋转一周,图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足:“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A3B6C9D2710(5分)已知函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A(0,)B(0,1C(1,)D(0,11(5分)如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,给出以下四个命题:AC平面ADF;平面AGF平面BCED;动点

4、A在平面ABC上的射影在线段AF上;异面直线AE与BD不可能垂直其中正确命题的个数是()A1B2C3D412(5分)已知点P(x,y)是直线2xy+40上一动点,直线PA,PB是圆C:x2+y2+2y0的两条切线,A,B为切点,C为圆心,则四边形PACB面积的最小值是()A2BC2D4二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,1),B(3,2,5),P是AB的中点,则点P到坐标原点的距离为   14(5分)给定集合A2,1,2,B1,2,5,6,定义一种新运算:ABx|xA或xB,且xAB,试用列举法写出AB  

5、15(5分)已知点A(3,0),B(1,2),若圆C:(x3)2+(y4)2r2(r0)与以线段AB为直径的圆相外切,则实数r的值是   16(5分)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设xR,用x表示不超过x的最大整数,则yx称为高斯函数,例如:2.13,3.13,已知函数f(x),则函数yf(x)的值域是   三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知集合Ax|(xa)(xa+1)0,Bx|(x2)(xb)0(b2),Cx|12x35(1)若AB,求b的

6、值;(2)若ACC,求a的取值范围18(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,2),B(4,3),C(1,2)(1)在ABC中,求BC边上的高线所在的直线方程;(2)求ABC的面积19(12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示销售单价/元66.577.588.5日均销售量/桶480460440420400380请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?20(12分)已知四边形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直,ADDC,ABDC,ABADDC(1)证明:B

7、C平面BDE;(2)M为线段AD上的点,且AMMD,N是线段DE上一点,且DNNE,求证:MN平面BCE21(12分)已知函数f(x)(mR)(1)当m3时,判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)当m1时,判断并证明函数f(x)在R上的单调性22(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2+ay0(a0),直线l:x7y20,且直线l与圆M相交于不同的两点A,B(1)若a4,求弦AB的长;(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2,求圆M的方程2017-2018学年河南省郑州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60

8、分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合A2,3,Ba,5,若集合AB中有3个元素,则a()A2B3C5D2或3【分析】由并集和元素的互异性可得【解答】解:集合AB中有3个元素,a2或3故选:D【点评】此题考查了并集及其运算,集合的三要素,熟练掌握并集的定义是解本题的关键2(5分)已知点A(2,1),B(2,3),则线段AB的垂直平分线的方程是()A2xy+20Bx+2y40C2x+y20D2xy+10【分析】根据经过两点直线的斜率公式,算出AB的斜率k,从而得到垂直平分线的斜率k12再利用线段的中点坐标公式算出AB的中点为(0,2),由直线的点斜式方程列式并

9、化简,即可得到线段AB的垂直平分线的方程【解答】解:设线段AB的垂直平分线为l,点A(2,1),B(2,3),AB的斜率k,AB的中点坐标为(2+),(1+3),即(0,2)直线l经过AB的中点与AB垂直,直线l的斜率k121,可得l的方程为y22x,化简得2xy+20即线段AB的垂直平分线的方程是2xy+20故选:A【点评】本题给出线段AB的坐标,求线段的垂直平分线的方程着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系及其应用等知识,属于基础题3(5分)函数f(x)+ln(32x)的定义域为()A1,)B(1,)C1,D(,+)【分析】可看出,要使得函数f(x)有意义,则需满足,解出x的范围

10、即可【解答】解:要使f(x)有意义,则;解得;f(x)的定义域为故选:B【点评】考查函数定义域的概念及求法,对数的真数大于0,区间表示集合的方法4(5分)已知x,yR且xy0,则()A0Bx3y3C()x()y0Dlgx+lgy0【分析】x,yR,且xy0,可得:0,x3y3,()x()y0,lgx+lgy与0的大小关系不确定,即可判断出结论【解答】解:x,yR,且xy0,则0,x3y3,()x()y0,lgx+lgy与0的大小关系不确定故选:C【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题5(5分)若直线l:xy10始终平分圆M:x2+y22ax+4y30

11、的周长,则a的值为()A2B1C2D4【分析】把圆M化为标准方程,可得圆心坐标,再把圆心坐标代入直线l求解即可【解答】解:圆M:x2+y22ax+4y30可化为(xa)2+(y+2)2a2+7,由题意可得,直线l:xy10始终经过圆心(a,2),把圆心(a,2)代入直线l:xy10中,解得a1故选:B【点评】本题考查直线和圆的位置关系,属于基础题6(5分)已知函数f(x)ex()x(e2.71828),则f(x)()A是偶函数,且在R上是增函数B是奇函数,且在R上是增函数C是偶函数,且在R上是减函数D是奇函数,且在R上是减函数【分析】根据题意,将函数的解析式变形可得f(x)exex,则有f(x

12、)exex(exex)f(x),则可得函数的奇偶性,求出函数的导数,结合函数的导数与函数的单调性分析可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)ex()xexex,则f(x)exex(exex)f(x),则函数f(x)为奇函数,f(x)ex+ex0,则函数f(x)为增函数;故选:B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断,注意单调性的判断方法,属于基础题7(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是()AB3CD【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图,计算四个侧面的面积进行比较【解答】解:作出三棱锥PABC的直观图如图所示,过A作ADBC,垂足为D,连结PD由三视图可知PA平

13、面ABC,BDAD1,CDPA2,BC3,PDAC,ABBCPDSABC,SABP,SACP,SBCP三棱锥PABC的四个面中,侧面PBC的面积最大故选:C【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图,面积计算,作出直观图是解题关键,属于中档题8(5分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,ABBC,ADDC2,CB,动点P从点A出发,按照ADCB路径沿边运动,设点P运动的路程为x,APB的面积为y,则函数yf(x)的图象大致是()ABCD【分析】结合P点的运动轨迹以及二次函数,三角形的面积公式判断即可;【解答】解:P点在AD上时,APB是底边AB不变,高在增加,图象成一次函数形式递增;排除C,D,

14、P点在DC上时,APB是底边AB不变,高不变,图象是水平一条直线;P在CB上时,AB不变,高在减小,图象是递减的一次函数,故选:D【点评】本题考查了数形结合思想,考查二次函数以及三角形的面积问题,是一道基础题9(5分)我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”“势”即是高,“幂”即是面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等,如图所示,扇形AOB的半径为3,圆心角为90,若扇形AOB绕直线OB旋转一周,图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足:“幂势同”,则该不规则几何体的体积为()A3B6C9D

15、27【分析】阴影部分旋转后所得几何体是以OA3为半径的半球减去以OA3为底面图半径,以OB3为高的圆锥体的体积,由此能求出不规则几何体的体积【解答】解:阴影部分旋转后所得几何体是以OA3为半径的半球减去以OA3为底面图半径,以OB3为高的圆锥体的体积,图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足:“幂势同”,则该不规则几何体的体积为:V9故选:C【点评】本题考查不规则几何体的体积的求法,考查祖暅原理、球、圆锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题10(5分)已知函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A(0,)B(0,1C(1,)D(0,【分析】根据分段函数

16、的值域为R,具有连续性,由ylog2x是增函数,可得yax4a+3也是增函数,故得2a4a+3log22,可得答案【解答】解:函数f(x)的值域为R,由ylog2x是增函数,yax4a+3也是增函数,故得a0,解得:a2,函数f(x)的值域为R,2a4a+3log22,解得:a1实数a的取值范围是(0,1故选:B【点评】本题考察了分段函数的性质的运用能力和计算能力属于中档题11(5分)如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,给出以下四个命题:AC平面ADF;平面AGF平面BCED;动点A在平面ABC上的射影在线段AF上;异面直线AE与

17、BD不可能垂直其中正确命题的个数是()A1B2C3D4【分析】由题意,判断AC平面ADF,正确;判断平面AGF平面BCED,正确;判断A在平面ABC上的射影在线段AF上,正确;(AE)2+EF2(AF)2时异面直线AE与BD垂直,错误【解答】解:由题意知,ACDF,AC平面ADF,DF平面ADF,AC平面ADF,正确;平面AGF过平面BCED的垂线,恒有平面AGF平面BCED,正确;ADAE,ABC是正三角形,A在平面ABC上的射影在线段AF上,正确;当(AE)2+EF2(AF)2时,异面直线AE与BD垂直,错误;综上,正确的命题序号是故选:C【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定

18、理的应用问题,也考查了空间想象能力,是基础题12(5分)已知点P(x,y)是直线2xy+40上一动点,直线PA,PB是圆C:x2+y2+2y0的两条切线,A,B为切点,C为圆心,则四边形PACB面积的最小值是()A2BC2D4【分析】当PC与直线2xy+40垂直时,PA最小,故而四边形PACB的面积最小【解答】解:由x2+y2+2y0,得x2+(y+1)21,则圆C的半径为r1,圆心为C(0,1),PA,又P在直线2xy+40上,PC的最小值为C到直线2xy+40的距离d,PA的最小值为2,四边形PACB的面积的最小值为2122故选:A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了点到直线的距离

19、公式的应用,属于中档题二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,1),B(3,2,5),P是AB的中点,则点P到坐标原点的距离为【分析】根据中点坐标公式求出点P的坐标,再求P到坐标原点的距离【解答】解:空间直角坐标系中,A(1,2,1),B(3,2,5),P是AB的中点,则点P(2,0,3)P到坐标原点的距离为|OP|故答案为:【点评】本题考查了中点坐标公式与两点间的距离公式应用问题,是基础题14(5分)给定集合A2,1,2,B1,2,5,6,定义一种新运算:ABx|xA或xB,且xAB,试用列举法写出AB2,5,6【分析】根据题意求

20、出AB,再用列举法写出AB【解答】解:集合A2,1,2,B1,2,5,6,AB1,2,用列举法写出AB2,5,6故答案为:2,5,6【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题15(5分)已知点A(3,0),B(1,2),若圆C:(x3)2+(y4)2r2(r0)与以线段AB为直径的圆相外切,则实数r的值是5【分析】根据题意,设AB的中点为M,求出M的坐标以及|AB|的值,分析可得以线段AB为直径的圆的圆心为M,半径R|AB|,由圆与圆的位置关系可得r+Rr+5,计算可得r的值,即可得答案【解答】解:根据题意,设AB的中点为M,点A(3,0),B(1,2),则M的坐标为(1,1),|AB|

21、2,以线段AB为直径的圆的圆心为M,半径R|AB|,若圆C:(x3)2+(y4)2r2(r0)与以线段AB为直径的圆相外切,则有r+Rr+5,则r5;故答案为:5【点评】本题考查圆与圆的位置关系,注意分析以线段AB为直径的圆的圆心与半径,属于基础题16(5分)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设xR,用x表示不超过x的最大整数,则yx称为高斯函数,例如:2.13,3.13,已知函数f(x),则函数yf(x)的值域是1,0,1【分析】分离常数法化简f(x),根据新定义即可求得函数yf(x)的值域【解答】解:f(x)(,)当x(,0)

22、时,yf(x)1;当x0,1)时,yf(x)0;当x1,)时,yf(x)1函数yf(x)的值域是1,0,1故答案为:1,0,1【点评】本题考查了新定义的理解和应用,训练了分离常数法求函数的值域,是中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知集合Ax|(xa)(xa+1)0,Bx|(x2)(xb)0(b2),Cx|12x35(1)若AB,求b的值;(2)若ACC,求a的取值范围【分析】(1)先求出Aa,a1,B2,b,从而由AB得出或,这样即可求出b;(2)先求出Cx|2x4,由ACC即可得到AC,从而得出,解出a的取值范围即可【解答】

23、解:(1)Aa,a1,B2,b;若AB则,或;b1,或3;(2)Cx|2x4;ACC;AC;3a4;a的取值范围是(3,4)【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念,集合相等的概念,并集及子集的概念18(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,2),B(4,3),C(1,2)(1)在ABC中,求BC边上的高线所在的直线方程;(2)求ABC的面积【分析】(1)求出直线BC的斜率,从而得到BC边上的高线斜率,由此能求出BC边上的高线所在的直线方程(2)求出|BC|和直线BC的方程,再求出A到直线BC的距离,由此能求出ABC的面积【解答】解:(1)直线BC的斜率kB

24、C1BC边上的高线斜率k1,BC边上的高线方程为:y2(x+3),BC边上的高线所在的直线方程为x+y+10(2)B(4,3),C(1,2),|BC|5,由B(4,3),C(1,2)得直线BC的方程为:xy10A到直线BC的距离d3,ABC的面积S15【点评】本题考查直线方程、三角形面积的求法,考查直线的斜率、直线垂直、直线方程、两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想,是基础题19(12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示销售单价/元66.577.588.5日均销售

25、量/桶480460440420400380请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?【分析】根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶,设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,求出x的范围,利用y(52040x)x20040x2+520x200,0x13,求出函数的最值即可【解答】解:根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶,设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为48040(x1+52040x,由于x0,且5204x0,即0x13,于是,可得y(52040x)x20040x2+520x200,0x13,易知,当x65时,

26、y有最大值,所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润【点评】本题考查函数与方程的综合应用,实际问题的解决方法,二次函数的简单性质的应用,考查计算能力20(12分)已知四边形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直,ADDC,ABDC,ABADDC(1)证明:BC平面BDE;(2)M为线段AD上的点,且AMMD,N是线段DE上一点,且DNNE,求证:MN平面BCE【分析】()推导EDDC,ED平面ABCD,EDBC取DC的中点G,连接BG,推导出四边形ABGD为平行四边形,求出DBBC,由此能证明BC平面BDE()取DC的中点G,连接AG,在DC上取点P,使,连接NP,推导出PN

27、面BCE,连接MP,推导出MPAG由此能证明MN平面BCE【解答】证明:()平面ABCD平面CDEF,平面ABCD平面CDEFCD,在正方形CDEF中,EDDC,ED平面ABCD,EDBC取DC的中点G,连接BG,DGDC,在四边形ABCD中,ABDC,AB,四边形ABGD为平行四边形,ABAD,BGDC,点B在以DC为直径的圆上,DBBC,又EDBDD,BC平面BDE()如图,取DC的中点G,连接AG,在DC上取点P,使,连接NP,PNEC,PN面BCE,连接MP,G为DC中点,MPAG又ABCG,ABCG,ABCG为平行四边形,AGBC,MPBC,MP面BCE,又MPNPP,平面MNP平面

28、BCEMN平面MNP,MN平面BCE【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题21(12分)已知函数f(x)(mR)(1)当m3时,判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)当m1时,判断并证明函数f(x)在R上的单调性【分析】(1)根据题意,当m3时,f(x),求出f(x)的解析式,分析f(x)与f(x)的关系,即可得结论;(2)根据题意,设x1x2,用作差法分析f(x1)f(x2)0,结合函数单调性的定义分析可得结论【解答】解:(1)当m3时,f(x),f(x)为R上的奇函数证明如下:f(x),其定义域为R,则f(x)f(x),故函数f

29、(x)为奇函数;(2)当m1时,函数f(x)在R上单调递减,证明如下:f(x)1+,设x1x2,则f(x1)f(x2)(1+)(1+),又由x1x2,则0,则有f(x1)f(x2)0,即函数f(x)为R上的减函数【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断,注意先分析函数的定义域,属于基础题22(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2+ay0(a0),直线l:x7y20,且直线l与圆M相交于不同的两点A,B(1)若a4,求弦AB的长;(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2,求圆M的方程【分析】(1)通过求圆心到直线距离,利用垂径定理即可得弦长;(2)直线l与圆联立得50y2+(28+a)y+40,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理代入求解即可【解答】解:(1)由题意知,a4时圆心M坐标为(0,2),半径为2,圆心到直线距离d,弦|AB|;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得50y2+(28+a)y+40(28+a)216500,则,于是a2圆的方程为x2+y2+2y0【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式以及韦达定理的应用,是中档题