1、2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高一（下）期末数学试卷一、单选题1（5分）若直线的倾斜角为60，则直线的斜率为（）ABCD2（5分）已知数列an是等差数列，a4+a7+a1015，则其前13项的和是（）A45B65C91D1953（5分）已知x1，则yx的最小值为（）A1B2C2D34（5分）sin15cos15（）ABCD5（5分）已知正方形ABCD的边长为1，则等于（）ABCD6（5分）在ABC中，若acosBbcosA，则ABC为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形7（5分）已知tan（+）3，tan（）5，则tan2（）ABCD8（5分）设点G为ABC
2、的重心，且，则ABC面积的最大值是（）A2BCD19（5分）已知等差数列前n项和为Sn且S130，S120，则此数列中绝对值最小的项为（）A第5项B第6项C第7项D第8项10（5分）函数yloga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+10上，其中m0，n0，则的最小值为（）ABCD二、填空题11（5分） 12（5分）已知关于x的不等式的解集是则a 13（5分）已知等比数列an的前n项和，则a2+r 14（5分）设整数x，y满足约束条件，则目标函数z3x+4y的最小值为 15（5分）在ABC中，面积，则角C的大
3、小为 16（5分）若正数x，y满足xy+2x+y8，则x+y的最小值等于 17（5分）在ABC中，D是边BC上一点，且，点列Pn（nN*）在线段AC上，且满足，若a11，则数列an的通项an 三、解答题18（12分）已知向量，（）分别求，的值；（）当为何值时，与垂直？19（12分）已知，且（）求sin2的值；（）若，求sin的值20（12分）已知ABC的内角分别为A，B，C，其对应边分别是a，b，c，且满足bcosC+ccosB2acosB（）求角B的大小；（）若，求a+2c的最大值21（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S5
4、50，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn22（12分）设0，数列an满足a1，（n2）（）当2时，求证：数列为等差数列并求an；（）证明：对于一切正整数n，2017-2018学年浙江省绍兴市上虞区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1（5分）若直线的倾斜角为60，则直线的斜率为（）ABCD【分析】直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论【解答】解：因为直线的斜率k和倾斜角的关系是：ktan倾斜角为60时，对应的斜率ktan60故选：A【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率之间的关系以及计算能力，属
5、于基础题目做这一类型题目的关键是熟悉公式2（5分）已知数列an是等差数列，a4+a7+a1015，则其前13项的和是（）A45B65C91D195【分析】由a4+a7+a1015求得a75，再由等差数列的前n项和公式求解【解答】解：由a4+a7+a1015，得3a715，即a75，故选：B【点评】本题考查数列的等差中项的性质应用，等差数列求和，属于基础题3（5分）已知x1，则yx的最小值为（）A1B2C2D3【分析】由于x1所以x10，将函数解析式上减去1再加上1，凑成两部分的乘积为定值，利用基本不等式求出函数的最小值【解答】解：x1，当且仅当，即x2时取等号故选：D【点评】本题考查利用基本不
6、等式求函数的最值需要满足的条件是：一正、二定、三相等4（5分）sin15cos15（）ABCD【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之【解答】解：因为sin22sincos，所以sin15cos15sin30故选：A【点评】本题考查正弦的倍角公式5（5分）已知正方形ABCD的边长为1，则等于（）ABCD【分析】结合向量的加法原则即可得，然后计算长度即可【解答】解：设AB的中点为E，则，+，而|，|故选：D【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题6（5分）在ABC中，若acosBbcosA，则ABC为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或
7、直角三角形D等腰直角三角形【分析】使用正弦定理将边化角，根据比例式得出tanAtanB【解答】解：在ABC中，acosBbcosA，sinAcosBsinBcosA，即tanAtanBABABC是等腰三角形故选：A【点评】本题考查了正弦定理得应用，属于基础题7（5分）已知tan（+）3，tan（）5，则tan2（）ABCD【分析】由2（+）（），然后根据正切的和差公式求解即可【解答】解：tan（+）3，tan（）5，tan2tan（+）（）故选：C【点评】本题考查三角函数的求值计算，根据题意进行凑角2（+）（）是解题关键属于中档题8（5分）设点G为ABC的重心，且，则ABC面积的最大值是（）A
8、2BCD1【分析】根据重心分线段的比例关系和基本不等式的知识可得面积的最大值【解答】解：在三角形ABC中，设G为重心，BG为2b，GC为2a，由题意三角形面积为6ab，又a2+b2；故6ab3（a2+b2）（均值不等式逆用）故选：B【点评】考查三角形重心的结论，向量垂直结论，三角形面积公式，基本不等式求最值，对面积表达式的求解是解题关键，属于较难题9（5分）已知等差数列前n项和为Sn且S130，S120，则此数列中绝对值最小的项为（）A第5项B第6项C第7项D第8项【分析】由等差数列的性质可得a6+a70，a70，进而得出|a6|a7|a6+a70，可得答案【解答】解：S1313a70，S12
9、6（a6+a7）0a6+a70，a70，|a6|a7|a6+a70，|a6|a7|数列an中绝对值最小的项是a7故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a70，a70，属中档题10（5分）函数yloga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+10上，其中m0，n0，则的最小值为（）ABCD【分析】首先利用对数的图象经过定点，进一步确定直线的方程，再利用函数的关系式的变换和均值不等式求出结果【解答】解：函数yloga（x+2）1（a0，a1）的图象恒过定点A，则：令x+21，解得：x1，故当x1时y1，则：A（1，1）点A在
10、直线mx+ny+10上，则：m+n1，所以：m+n+12故：（）（m+1+n）故选：A【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，考查对数函数的性质，基本不等式求最值的应用，属于中档题二、填空题11（5分）【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值【解答】解：cos2sin2cos（2）cos故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键12（5分）已知关于x的不等式的解集是则a2【分析】把a0代入不等式中得到解集不是原题的解集，故a不为0，所以把不等式转化为a（x+1）（x）大
11、于0，根据已知解集的特点即可求出a的值【解答】解：由不等式判断可得a0，所以原不等式等价于，由解集特点可得a0且，则a2故答案为：2【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题13（5分）已知等比数列an的前n项和，则a2+r5【分析】根据题意先表示出前三项，然后根据等比中项求出r，再计算a2+r即可【解答】解：Sn3n+r，S1a13+r，S2a1+a29+r，a26，S3a1+a2+a327+r，a318，q3，r1，a2+r5故答案为：5【点评】考查等比数列的基本定义和基本性质，属于基础题14（5分）设整数x，y满足约束条件，则目标函数z3x+4y的最小值为16
12、【分析】由约束条件作出可行域，令z3x+4y，可知当直线过可行域内的整点（4，1）时z有最小值，把点的坐标代入得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，但点（3，1）不在可行域中，令z3x+4y，可知当直线过可行域内的整点（4，1）时，z有最小值为16故答案为：16【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，注意整点得选取是关键，是中档题15（5分）在ABC中，面积，则角C的大小为45【分析】根据三角形的面积公式表示出ABC的面积S，让S等于已知的面积，化简后表示出sinC的关系式，利用余弦定理得到此关系式等于cosC，进而得到sinC与cosC的值相等，即tan
13、C的值为1，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数【解答】解：由三角形的面积公式得：SabsinC，而，所以absinC，即sinCcosC，则sinCcosC，即tanC1，又C（0，180），则C45故答案为：45【点评】本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S，与已知的S相等，化简得到tanC的值要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值16（5分）若正数x，y满足xy+2x+y8，则x+y的最小值等于23【分析】由题意解出t，代入要求的式子化简可得x+yx+1+3，由基本不等式可得【解答】解：正数x，y满足xy+2x+y8，y，（0x4），x+y
14、x+x+1+1x+1+32323当且仅当x+1即x1时取等号，故答案为：23【点评】本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题17（5分）在ABC中，D是边BC上一点，且，点列Pn（nN*）在线段AC上，且满足，若a11，则数列an的通项an（2）n1【分析】令n1，则a2+a1，即a2，又点列Pn（nN*）在线段AC上，故，均共线，可得an为等比数列，然后写通项公式即可【解答】解：由题可知a2+a1，a11，即a2，又，故点D在线段CB的延长线上，且与平行，又点列Pn（nN*）在线段AC上，所以a2+a1，a3+a2，所以，故数列an为等比数列，又，
15、故点D在线段CB的延长线上，且与平行，可得a22，故公比为2，所以通项an（2）n1，故答案为：（2）n1【点评】本题考查向量加减运算和共线关系，能正确得出公比是解题关键，此题难度较大，对向量的共线要灵活运用，同时对等比数列通项公式要熟悉，属于中档题三、解答题18（12分）已知向量，（）分别求，的值；（）当为何值时，与垂直？【分析】（）根据题意结合向量坐标运算，求出和 的坐标，从而求得，的值（）利用两个向量垂直的性质，求得当为何值时，与垂直【解答】解：（）向量，（2，1），（0，1），1（）（1+，），与垂直，（）（1+，）（1，1）1+0，解得，即时，与垂直【点评】本题主要考查两个向量坐标形
16、式的运算，求向量的模，两个向量垂直的性质，属于基础题19（12分）已知，且（）求sin2的值；（）若，求sin的值【分析】（）由题意利用同角三角函数关系求得cos的值，二倍角公式，求得sin2的值（）由题意利用同角三角函数关系求得cos（+）的值，再利用两角差的正弦公式求得 sinsin（+）的值【解答】解：（1）已知，且，cos，sin22sincos（）若，+（，），+（，），cos（+）sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin（）（）【点评】本题主要考查考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于+的凑，是解第二问的关键，属于中档题20（12分）已知ABC的内角分别
17、为A，B，C，其对应边分别是a，b，c，且满足bcosC+ccosB2acosB（）求角B的大小；（）若，求a+2c的最大值【分析】（1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2）先由正弦定理得出a2sinA，csinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可【解答】解：（）bcosC+ccosB2acosB由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB，即sin（B+C）sinA2sinAcosB，则cosB，即B（）由正弦定理得：2，a2sinA，csinC，则a+2c2sinA+4sinC2sinA+4sin（A）2（2sinA+cos
18、A）2sin（A+），（其中tan，（0，），所以当A时，a+2c的最大值是2【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于中档题21（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S550，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn【分析】（I）将已知等式用等差数列an的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列an的通项公式（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出bn，根据数列bn通项的特点，选择错位相
19、减法求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）依题意得解得，ana1+（n1）d3+2（n1）2n+1，即an2n+1（），bnan3n1（2n+1）3n1Tn3+53+732+（2n+1）3n13Tn33+532+733+（2n1）3n1+（2n+1）3n2Tn3+23+232+23n1（2n+1）3nTnn3n【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法22（12分）设0，数列an满足a1，（n2）（）当2时，求证：数列为等差数列并求an；（）证明：对于一切正整数n，【分析】（
20、1）由2，可得an，变形即可证明数列为等差数列利用通项公式即可得出an（2）当2时，由（n2）得：+，变形为：+（+），利用等比数列的通项公式可得，an对于一切正整数n，要证明即证明：+1即证：2n+1nn（2n+1+n+1）利用乘法公式展开，再利用基本不等式的性质即可证明【解答】证明：（1）2，an，从而故数列是以为首项，为公差的等差数列，解得an2（2）当2时，由（n2）得：+，变形为：+（+），数列+是以+为首项，为公比的等比数列，+（+），（+），an对于一切正整数n，要证明即证明：+1即证：2n+1nn（2n+1+n+1）（2n+1+n+1）（2n+1+n+1）（n1+2n2+2n2+2n1）2n+1n+2n+1n+2n+1n（1+1+1）n2n+1n原不等式成立【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，对本题的原式的化简变形得到等差，等比是解题关键，而对于不等式的证明则通常转化为最值问题求解，本题的难点在于对式子的化简变形计算要求较高，属于难题