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2017-2018学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知等差数列an,a12,a34,则公差d()A2B1C1D22(5分)如图,在ABC中,M是BC的中点,则()A(+)B+CD3(5分)已知向量(2,1),(m,2),若,则实数m的值为()A4B1C1D44(5分)设a,bR,且ab,则()Aa3b3Ba2b2C|a|b|D15(5分)已知kR,若一元二次不等式kx2+2x+10的解集是全体实数,则()A0k1Bk1Ck0Dk16(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分

2、别为a,b,c,下列结论不正确的是()Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosAsinC7(5分)已知Sn为数列an的前n项和,()A若an+1ann,则an是等差数列B若an+12anan+2,则an是等比数列C若Sn,则an是等差数列D若Snqn(q0且q1),则an是等比数列8(5分)已知xR,yR+,且(x+y)y1,则x+2y的最小值是()A2B1C1D29(5分)平面向量,满足|1,1,3,|4,当|+|取得最小值时,()A0B2C3D610(5分)已知a,b是实数,对任意xR,都有|asinx+b|1成立,则|a+3b|

3、+|a3b|的最大值为()A3B4C6D8二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)11(5分)不等式x23x0的解集是   12(5分)若等比数列an满足a12,a416,则a3   13(5分)我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求面积的公式,在他的著作数书九章中的求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实一为从隅,开平方得积”即为“三斜求积”公式:S(其中abc)若ABC的三条边长为1,4,则ABC的面积是   14(5分)在ABC中,A60,AB3,BC,则sinB   15(5分

4、)已知数列an满足a12,且an+1an+,则an   16(5分)在直角ABC中,C90,AB2,E为AB的中点,D为线段AB上一动点,满足,则|的取值范围为   三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,a12,且a5+a631(1)求d;(2)求S1018(12分)已知,为单位向量,(1)求与的夹角;(2)求|2+|19(12分)如图,在圆内接ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足acosC+ccosA2bcosB(1)求B的大小;(2)若点D是劣弧上一点,a

5、2,c3,cosCAD,求线段AD长20(12分)已知f(x)|ax1|(aR),g(x)1|x|(1)若a2,解不等式f(x)1;(2)若关于x的不等式f(x)g(x)的解集为R,求a的取值范围21(24分)已知数列an和bn满足b12,b24,2an+1an+an+2,且a1b1+a2b2+anbn(2n3)2n+1+6(nN*)(1)求an与bn;(2)数列cn满足cnbn2bn,(i)求数列cn的前n项和Sn;(ii)设Tn,证明:T1+T2+T3+Tn2017-2018学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小

6、题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知等差数列an,a12,a34,则公差d()A2B1C1D2【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解:数列an是等差数列,a12,a34,a3a1+2d,即42+2d,解得d1故选:C【点评】本题考查了等差数列的通项公式,属于基础题2(5分)如图,在ABC中,M是BC的中点,则()A(+)B+CD【分析】在ABC中,M是BC的中点,故,进而得到答案【解答】解:在ABC中,M是BC的中点,即(),即(+)故选:A【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理,向量线性运算,难度不大,属于基础题3(5分)已知向量(2,1),(m,2)

7、,若,则实数m的值为()A4B1C1D4【分析】根据两向量垂直时数量积为0,列方程求出的值【解答】解:向量(2,1),(m,2),若,则0,2m+20,解得m1故选:B【点评】本题考查了平面向量垂直的坐标运算问题,是基础题4(5分)设a,bR,且ab,则()Aa3b3Ba2b2C|a|b|D1【分析】代入特殊值,判断即可【解答】解:不妨令a1,b2,显然A符合,B,C,D均不符合,故选:A【点评】本题考查了不等式的性质,考查特殊值法的应用,是一道基础题5(5分)已知kR,若一元二次不等式kx2+2x+10的解集是全体实数,则()A0k1Bk1Ck0Dk1【分析】根据题意,由一元二次函数的性质分

8、析可得,解可得k的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,若一元二次不等式kx2+2x+10的解集是全体实数,则二次不等式kx2+2x+10恒成立,则有,解可得k1,即k的取值范围为:k1,故选:B【点评】本题考查二次函数的性质,涉及函数恒成立问题,属于基础题6(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论不正确的是()Aa2b2+c22bccosABasinBbsinACabcosC+ccosBDacosB+bcosAsinC【分析】利用正弦定理、余弦定理直接求解【解答】解:由在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知:在A中,由余弦定理得:a2b2+c22b

9、ccosA,故A正确;在B中,由正弦定理得:,asinBbsinA,故B正确;在C中,abcosC+ccosB,由余弦定理得:ab+c,整理,得2a22a2,故C正确;在D中,由余弦定理得:acosB+bcosAa+b+csinC,故D错误故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题7(5分)已知Sn为数列an的前n项和,()A若an+1ann,则an是等差数列B若an+12anan+2,则an是等比数列C若Sn,则an是等差数列D若Snqn(q0且q1),则an是等比数列【分析】直接利用数列的定义和性质求出结果【解答

10、】解:利用排除法:对于A:若an+1ant(常数),则an是等差数列,故错误对于B:当an+1an+2an0,即使an+12anan+2,则an不是等比数列对于D:当Snqn1(q0且q1),则an是等比数列故错误故选:C【点评】本题考查的知识要点:数列的性质的应用8(5分)已知xR,yR+,且(x+y)y1,则x+2y的最小值是()A2B1C1D2【分析】根据题意用y表示出x,代入x+2y中利用基本不等式求出它的最小值【解答】解:xR,yR+,且(x+y)y1,xy,x+2y+y22,当且仅当y1时取“”;x+2y的最小值是2故选:D【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是基础题9(5分)

11、平面向量,满足|1,1,3,|4,当|+|取得最小值时,()A0B2C3D6【分析】运用坐标法解决此问题即可【解答】解:根据题意设(1,0);(1,m);(3,n)(2,mn)4+(mn)216mn不妨设mn2则+(4,m+n)(4,2n+2)16+4n2+8n+124n2+8n+28当n时上式取最小值此时n,m3+mn30,故选:A【点评】本题考查平面向量数量积的运算10(5分)已知a,b是实数,对任意xR,都有|asinx+b|1成立,则|a+3b|+|a3b|的最大值为()A3B4C6D8【分析】利用绝对值不等式的性质以及不等式的性质可得【解答】解:对任意xR,都有|asinx+b|1成

12、立,|+b|1,|+b|1,|a+3b|+|a3b|1+12,|a+3b|+|a3b|6,故选:C【点评】本题考查了绝对值不等式的解法属中档题二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)11(5分)不等式x23x0的解集是(,0)(3,+)【分析】把不等式化为x(x3)0,求出解集即可【解答】解:不等式x23x0可化为x(x3)0,解得x0或x3,不等式的解集是(,0)(3,+)故答案为:(,0)(3,+)【点评】本题考查了解一元二次不等式的应用问题,是基础题12(5分)若等比数列an满足a12,a416,则a38【分析】由等比数列an满足a12,a416,能求出q2,由此能求出a3

13、的值【解答】解:等比数列an满足a12,a416,2q316,解得q2,a32228故答案为:8【点评】本题考查等比数列的第3项的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题13(5分)我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求面积的公式,在他的著作数书九章中的求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实一为从隅,开平方得积”即为“三斜求积”公式:S(其中abc)若ABC的三条边长为1,4,则ABC的面积是【分析】根据秦九韶三角形面积公式,把a1,b,c4代入求出ABC的面积【解答】解:根据秦九韶三角形面积公式:S(其中abc)

14、,ABC中,a1,b,c4,则ABC的面积是S故答案为:【点评】本题考查了利用秦九韶三角形面积公式计算面积的应用问题,是基础题14(5分)在ABC中,A60,AB3,BC,则sinB【分析】由已知及余弦定理可得AC23AC40,解得AC的值,进而由正弦定理可得sinB的值【解答】解:A60,AB3,BC,由余弦定理可得:139+AC22,可得:AC23AC40,解得:AC4,或1(舍去),由正弦定理可得:sinB故答案为:【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题15(5分)已知数列an满足a12,且an+1an+,则an4【分析】数列an满足a

15、12,且an+1an+,n2时,可得:anan1利用累加求和与错位相减法即可得出【解答】解:数列an满足a12,且an+1an+,n2时,可得:anan1an+2,令An+0,则+,相减可得:+,化为:An2an4故答案为:4【点评】本题考查了累加求和与错位相减法、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16(5分)在直角ABC中,C90,AB2,E为AB的中点,D为线段AB上一动点,满足,则|的取值范围为,2)【分析】首先通过直角三角形斜边中线等于斜边一半得到|1,再利用数量积转化成余弦函数问题求解【解答】解E为AB中点,CE1,|,0cosECD1,02cosECD2,|又D在A

16、B 上,|2,【点评】此题考查了数量积和余弦函数最值问题,难度适中三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,a12,且a5+a631(1)求d;(2)求S10【分析】(1)直接根据等差数列的通项公式即可求出,(2)直接根据求和公式即可求出【解答】解:(1)a12,且a5+a631,2+4d+2+5d31,d3,(2)S10102+155【点评】本题考查了等差数列的性质和求和公式,属于基础题18(12分)已知,为单位向量,(1)求与的夹角;(2)求|2+|【分析】(1)|coscos,由此能求出与的夹

17、角(2)|2+|,由此能求出结果【解答】解:(1),为单位向量,|coscos,与的夹角60(2)|2+|【点评】本题考查向量的夹角的求法,考查向量的模的求法,考查向量的数量积公式、向量和模等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题19(12分)如图,在圆内接ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足acosC+ccosA2bcosB(1)求B的大小;(2)若点D是劣弧上一点,a2,c3,cosCAD,求线段AD长【分析】(1)由acosC+ccosA2bcosB利用余弦定理得:aba2+c2b2,由此能求出B(2)拴导出AC,sinCADADC18060120,由正

18、弦定理得:再由余弦定理能求出AD【解答】解:(1)acosC+ccosA2bcosB+c2bc,整理,得:aba2+c2b2,cosB,B60(2)点D是劣弧上一点,a2,c3,cosCAD,AC,sinCAD,ADC18060120,由正弦定理得:CD,cosCAD,解得AD2+【点评】本题考查满足条件的三角形的角和边长的求法,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,是中档题20(12分)已知f(x)|ax1|(aR),g(x)1|x|(1)若a2,解不等式f(x)1;(2)若关于x的不等式f(x)g(x)的解集为R,求a的取值范围【分析】(1)a2时,f(x)|2

19、x1|,不等式f(x)1,即|2x1|1,化为:12x11,解得不等式的解集(2)不等式f(x)g(x)即|ax1|1|x|,y|ax1|经过定点(0,1)对a分类讨论:a0时,a0时,数形结合方法即可得出【解答】解:(1)a2时,f(x)|2x1|,不等式f(x)1,即|2x1|1,化为:12x11,解得:0x1不等式的解集为:x|0x1(2)不等式f(x)g(x)即|ax1|1|x|,y|ax1|经过定点(0,1)对a分类讨论:a0时,化为:|x|0,满足题意a0时,关于x的不等式|ax1|1|x|的解集为R,则1,或1解得1a1,且a0综上可得a的取值范围是1,1【点评】本题考查了绝对值

20、不等式的解法、数形结合方法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题21(24分)已知数列an和bn满足b12,b24,2an+1an+an+2,且a1b1+a2b2+anbn(2n3)2n+1+6(nN*)(1)求an与bn;(2)数列cn满足cnbn2bn,(i)求数列cn的前n项和Sn;(ii)设Tn,证明:T1+T2+T3+Tn【分析】(1)直接利用递推关系式和等差数列的定义和通项公式,以及将n换为n1,作差求出数列的通项公式;(2)求得cnbn2bn4n2n,(i)利用分组求和,结合等比数列的求和公式,可得Sn;(ii)求得Tn(),利用裂项相消法求和,结合不等式的性质即可

21、得证【解答】解:(1)数列an满足a1b1+a2b2+anbn(2n3)2n+1+6(nN*),可得a1b1642,即有a11,由a1b1+a2b26+814,b12,b24,可得a23,由2an+1an+an+2,可得an为等差数列,公差为a2a12,即有an1+2(n1)2n1;可得b1+3b2+(2n1)bn(2n3)2n+1+6,将n换为n1可得b1+3b2+(2n3)bn1(2n5)2n+6,得(2n1)bn(4n6)2n(2n5)2n,整理得(2n1)bn(2n1)2n,所以bn2n,当n1时,首项符合通项,故bn2n;(2)数列cn满足cnbn2bn4n2n,(i)数列cn的前n项和Sn(4+16+4n)(2+4+2n)(2n1)(2n+11);(ii)证明:Tn(),所以:T1+T2+T3+Tn(1+)(1)【点评】本题考查数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查运算能力和转化能力,属于中档题