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2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分1(4分)直线xy10的倾斜角大小()ABCD2(4分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7450,则a5()A45B90C180D3003(4分)若a0b,则下列不等式恒成立的是()AB|a|bCa2b2D4(4分)函数的值域为()A2,+)B(,22,+)C(,2DR5(4分)直线3x+4y+50被圆x2+y24截得的弦长为()A1B2CD6(4分)已知等差数列共有99项,其中奇数项之和为300,则偶数项之和为()A300B298C296D2947(4分)设Sn是等

2、差数列an的前n项和,若,则()AB1C1D28(4分)已知abc,2a+b+c0,则的取值范围是()ABCD9(4分)若圆C:(xa)2+(ya1)2a2与两条直线yx和yx都有公共点,则实数a的取值范围是()ABCD10(4分)若函数f(x)x|x2a|a有三个不同的零点,则实数a的取值范围为()A(,1)(1,+)B(1,1)C(1,0)(0,1)D(,1)(0,1)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)倾斜角为120,在y轴上的截距为1的直线l的方程为 ;直线ax+y+10与直线l垂直,则a 12(6分)直线l1:2mx+(m2)y+40(mR

3、)恒过定点 ;若过原点作直线l2l1,则当直线l1与l2的距离最大时,直线l2的方程为 13(6分)若实数x,y满足约束条件,则点A(x,y)构成的区域面积为 ;点B(x+y,xy)构成的区域面积为 14(6分)已知,则 ;x+2y的最小值为 15(4分)已知数列an满足,则an 16(4分)一条光线从点(2,1)射出,经x轴反射后与圆(x3)2+(y4)21相切,则反射光线所在直线的斜率为 17(4分)已知首项为a1,公比为q的等比数列an满足q4+a4+a3+a2+10,则首项a1的取值范围是 三、解答题:本大题共5小题,共74分18已知直线l经过点P(1,2)(1)若直线l在两坐标轴上的

4、截距相等,求直线l的方程;(2)若A(1,1),B(3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程19已知x,y满足约束条件(1)求目标函数zx3y的最值;(2)当目标函数zax+by(a0,b0)在该约束条件下取得最大值5时,求a2+b2的最小值20已知过点P(0,1)的直线与圆C:x2+y2+6x2y+60相交于A,B两点(1)若|AB|2,求直线AB的方程;(2)设线段AB的中点为M,求点M的轨迹方程21已知等差数列an满足a23,a59,数列bn满足b12,(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若cnan(bn1),求数列cn的前n项和Sn22已知正项数列an的前n项和为Sn,对于任

5、意的nN*,都有(1)求a1,a2;(2)求数列an的通项公式;(3)令问是否存在正数m,使得对一切正整数n都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分1(4分)直线xy10的倾斜角大小()ABCD【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解:设直线xy10的倾斜角为,0,),则tan,故选:B【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题2(4分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7450,则a5()A45B

6、90C180D300【分析】利用等差数列的性质即可得出【解答】解:在等差数列an中,a3+a4+a5+a6+a7450,则5a5450,解得a590,故选:B【点评】本题考查了等差数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题3(4分)若a0b,则下列不等式恒成立的是()AB|a|bCa2b2D【分析】本题可采用排除法,代特殊值法进行判断【解答】解:由题意,可知:对于A:a0b,0,故选项A正确;对于B:a0b,若a1,b2,则|a|b,故选项B不正确;对于C:a0b,若a1,b2,则a2b2,故选项C不正确;对于D:a0b,0,故选项D不正确故选:A【点评】本题主要考查不等式的基本性质,排

7、除法、特殊值法的应用本题属基础题4(4分)函数的值域为()A2,+)B(,22,+)C(,2DR【分析】根据双勾函数f(x)的单调性得到最值即可【解答】解:由,知f(x)在(,1)上单调递增,在(1,0)上单调递减,f(x)maxf(1)2,f(x)2,f(x)的值域为(,2故选:C【点评】本题考查了双勾函数的性质,属基础题5(4分)直线3x+4y+50被圆x2+y24截得的弦长为()A1B2CD【分析】根据题意,分析圆的圆心与半径,求出圆心到直线的距离,由弦长公式计算可得答案【解答】解:根据题意,圆x2+y24的圆心为(0,0),半径r2,圆心到直线3x+4y+50的距离d1,则弦长l22;

8、故选:D【点评】本题考查直线与圆相交的性质,涉及弦长的计算,属于基础题6(4分)已知等差数列共有99项,其中奇数项之和为300,则偶数项之和为()A300B298C296D294【分析】由等差数列共有99项,其中奇数项之和为300,解得a1+a9912,从而偶数项之和为:,由此能求出结果【解答】解:等差数列共有99项,其中奇数项之和为300,(a1+a99)300,解得a1+a9912偶数项之和为:294故选:D【点评】本题考查等差数列的偶数项之和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题7(4分)设Sn是等差数列an的前n项和,若,则()AB1C1D

9、2【分析】利用等差数列的通项公式得,由此能求出结果【解答】解:Sn是等差数列an的前n项和,1故选:C【点评】本题考查两个等差数列的前9项和与前13项和的比值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题8(4分)已知abc,2a+b+c0,则的取值范围是()ABCD【分析】先将2a+b+c0变形为b2ac,再代入不等式ab,bc,解这两个不等式,即可求得a与c的比值关系,联立可求的取值范围【解答】解:abc,2a+b+c0,a0,c0,b2ac,且a0,c0,abc,2aca,即3ac,解得:3,将b2ac,代入bc,可得:2acc,可得:ac,可得:1

10、,31故选:A【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用,解决问题的关键是将2a+b+c0变形为b2ac,代入后消去b,进而求得a,c的关系,属于中档题9(4分)若圆C:(xa)2+(ya1)2a2与两条直线yx和yx都有公共点,则实数a的取值范围是()ABCD【分析】由圆与直线yx和yx都有公共点,得圆心到两条直线yx和yx的距离小于等于半径,由此列关于a的不等式组求解【解答】解:圆C的圆心为(a,a+1),半径R|a|,(a0),若圆与两条直线yx和yx都有公共点,则圆心到两条直线yx和yx的距离小于等于半径即,即,解得:实数a的取值范围是故选:B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,考

11、查数学转化思想方法,是基础题10(4分)若函数f(x)x|x2a|a有三个不同的零点,则实数a的取值范围为()A(,1)(1,+)B(1,1)C(1,0)(0,1)D(,1)(0,1)【分析】利用函数与方程之间的关系转化为|x2a|,利用作出两个函数的图象,利用数形结合进行转化求解即可【解答】解:由f(x)x|x2a|a0得x|x2a|a,当x0时,a0,此时f(x)x|x|只要一个零点,不满足条件故x0不是函数的零点,则由x|x2a|a得|x2a|,作出函数g(x)|x2a|和h(x),的图象如图:若a0,要使g(x)h(x)有三个交点,则只需要当0x2a时g(x)h(x)有2个交点,即(x

12、2a)有两个交点,则x22ax+a0有两个根即可,则判别式4a24a0,得a2a0,得a1或a0(舍),若a0,要使g(x)h(x)有三个交点,则只需要当2ax0时g(x)h(x)有2个交点,即x2a有两个交点,则x22axa0有两个根即可,则判别式4a2+4a0,得a2+a0,得a0(舍)或a1,综上a1或a1,故选:A【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件转化为两个函数图象,利用数形结合进行转化求解是解决本题的关键综合性较强,有一定的难度二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)倾斜角为120,在y轴上的截距为1的直线l的方程为yx+1;直线a

13、x+y+10与直线l垂直,则a【分析】倾斜角为120,在y轴上的截距为1的直线l的方程为:yxtan120+1直线ax+y+10与直线l垂直,可得atan1201,解得a【解答】解:倾斜角为120,在y轴上的截距为1的直线l的方程为:yxtan120+1,即yx+1直线ax+y+10与直线l垂直,则atan1201,解得a故答案为:yx+1,【点评】本题考查了直线的斜截式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题12(6分)直线l1:2mx+(m2)y+40(mR)恒过定点(1,2);若过原点作直线l2l1,则当直线l1与l2的距离最大时,直线l2的方程为x2y0【分

14、析】直接由直线系方程求直线l1所过定点P;求出OP的斜率,利用两直线垂直与斜率的关系得到直线l2的斜率,则方程可求【解答】解:由2mx+(m2)y+40,得m(2x+y)2y+40,联立,解得直线l1过定点P(1,2);直线l2过原点,当直线l1与l2的距离最大时,直线l2的斜率为k,则直线l2的方程为y,即x2y0故答案为:(1,2);x2y0【点评】本题考查恒过定点的直线问题,考查过定点的两条直线间距离的最值问题,是基础题13(6分)若实数x,y满足约束条件,则点A(x,y)构成的区域面积为;点B(x+y,xy)构成的区域面积为2【分析】画出约束条件表示的平面区域,得出点A(x,y)构成的

15、区域为PQR,求出它的面积;设M(s,t),令,由题意求得s、t的约束条件,再对应平面区域的面积【解答】解:画出约束条件表示的平面区域,如图1所示;则点A(x,y)构成的区域为PQR,且P(0,2),Q(0,),R(1,1),所以PQR的面积为(2)1;设M(s,t),令,解得,由题意知,得作出不等式组对应的平面区域,如图2所示;则对应直角梯形MNEF,则M(,),N(,),E(2,2),F(2,0);则四边形MNEF的面积为S(+)2,故答案为:,2【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题,也考查了数形结合应用问题,是中档题14(6分)已知,则2;x+2y的最小值为6+4

16、,【分析】利用对数的运算和基本不等式求解即可【解答】解:已知,x0,y0,则:ln(x+y)ln;即:x+y,所以:则2;2x+2yxy;+1,x+2y(x+2y)(+)6+6+4,当且仅当,+1时即:x2+2,y2+”时取等号;x+2y的最小值为 6+4;故答案为:2;6+4;【点评】本题是应用题,考查的是基本不等式的应用,使用时要注意“一正,二定,三相等”考查了灵活解决问题的能力,属于基础题15(4分)已知数列an满足,则an【分析】数列an满足,n2时,a1a2an1n,相除可得;ann1时,a12,进行验证即可得出【解答】解:数列an满足,n2时,a1a2an1n,相除可得;ann1时

17、,a12,对于上式也成立an故答案为:【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16(4分)一条光线从点(2,1)射出,经x轴反射后与圆(x3)2+(y4)21相切,则反射光线所在直线的斜率为或【分析】由题意可知:点(2,1)在反射光线上设反射光线所在的直线方程为:y+1k(x+2),利用直线与圆的相切的性质即可得出【解答】解:由题意可知:点(2,1)在反射光线上设反射光线所在的直线方程为:y+1k(x+2),即kxy+2k10由相切的性质可得:,化为:12k225k+120,解得k或k故答案为:或【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、点

18、到直线的距离公式、光线反射的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题17(4分)已知首项为a1,公比为q的等比数列an满足q4+a4+a3+a2+10,则首项a1的取值范围是(,22,+)【分析】由q4+a4+a3+a2+10,可得:a1(q3+q2+q)(q4+1),a1,令q+t(,22,+),可得:a1t+1+f(t),利用函数的单调性即可得出【解答】解:q4+a4+a3+a2+10,a1(q3+q2+q)(q4+1),a1,令q+t(,22,+),可得:a1t+1+f(t),f(t)在t(,2上单调递减,f(t)f(2)2f(t)在t2,+)上单调递减,f(t)f(2)2首项a1的取

19、值范围是(,22,+),故答案为:(,22,+)【点评】本题考查了等比数列的通项公式、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,共74分18已知直线l经过点P(1,2)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若A(1,1),B(3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程【分析】(1)讨论直线是否过原点,利用截距相等进行求解即可(2)根据点到直线的距离相等,分直线平行和直线过A,B的中点两种情况进行求解即可【解答】解:(1)若直线过原点,则设为ykx,则k2,此时直线方程为y2x,当直线不过原点,设方程为+1,即x+ya,此时a1+23

20、,则方程为x+y3,综上直线方程为y2x或x+y3(2)若A,B两点在直线l同侧,则ABl,AB的斜率k1,即l的斜率为1,则l的方程为y2x1,即yx+1,若A,B两点在直线的两侧,即l过A,B的中点C(2,0),则k2,则l的方程为y02(x2),即y2x+4,综上l的方程为y2x+4或yx+1【点评】本题主要考查直线方程的求解,结合直线截距相等以及点到直线距离相等,进行分类讨论是解决本题的关键19已知x,y满足约束条件(1)求目标函数zx3y的最值;(2)当目标函数zax+by(a0,b0)在该约束条件下取得最大值5时,求a2+b2的最小值【分析】(1)作出不等式组对应的平面区域,利用目

21、标函数的几何意义利用平移法进行求解即可(2)利用目标函数的几何意义,确定取得最大值时的最优解,结合点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解:(1)作出不等式组对应的平面区域如图:由zx3y得yx,平移直线yx,由图象知当直线yx经过点A时,直线的截距最大,此时z最小,当直线经过点O时,直线的截距最小,此时z最大,由得,即A(1,2),则z的最小值为z132165,z的最大值为z0(2)由zax+by(a0,b0)得yx+,a0,b0,斜率k0,有得,即B(2,1),由图象知当yx+经过A或B时,目标函数的截距最大,此时z5,即2a+b5或a+2b5,即2a+b50或a+2b50,则a2+b2的

22、几何意义是O到直线的距离的平方,则d,即a2+b2的最小值为d25【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键综合性较强20已知过点P(0,1)的直线与圆C:x2+y2+6x2y+60相交于A,B两点(1)若|AB|2,求直线AB的方程;(2)设线段AB的中点为M,求点M的轨迹方程【分析】(1)当|AB|2时,圆心到直线的距离为,利用圆心到直线的距离,建立方程求k,则直线AB的方程可求;(2)利用,设M(x,y) 则x(x+3)+(y1)(y1)x2+y2+3x2y+10,再求出x的范围,点M的轨迹方程可求【解答】解:(1)圆C:x2+y2+6x2y

23、+60化标准方程为(x+3)2+(y1)24,圆心坐标为(3,1),半径r2当|AB|2,则圆心到直线的距离为设直线AB的方程为y1k(x0),即kxy+10,解得kAB的方程为或;(2)由圆的性质知:PMCM,设M(x,y),则(x,y1),则x(x+3)+(y1)(y1)x2+y2+3x2y+10联立,解得x点M的轨迹方程为:x2+y2+3x2y+10(x)【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题21已知等差数列an满足a23,a59,数列bn满足b12,(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若cnan(bn1),求数列cn的前n项和S

24、n【分析】(1)直接利用已知条件和构造新数列法求出数列的通项公式(2)利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解:(1)等差数列an满足a23,a59,则:d,所以:ana2+2(n2)2n1数列bn满足b12,则:bn+12bn1,所以:bn+112(bn1),故:(常数)所以:数列bn1是以211为首项,2为公比的等比数列,所以:,故:(2)由于:an2n1,所以:cnan(bn1)(2n1)2n1,故:,2,得:【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型22已知正项数列an的前n项和为Sn,对

25、于任意的nN*,都有(1)求a1,a2;(2)求数列an的通项公式;(3)令问是否存在正数m,使得对一切正整数n都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由【分析】(1)可令n1,2,假设可得所求值;(2)两次运用“两式相减”得到an+132Sn+1an+1,和an+1an1,进而得到等差数列,求出通项公式;(3)求得Snn(n+1),假设存在正数m,使得对一切正整数n都成立,由不等式的放缩法和不等式恒成立问题解法,即可得到所求范围【解答】解:(1)任意的nN*,都有可得a13S12a12,可得a11;a13+a23S22(1+a2)2,解得a22;(2)a13+a23+a33+an

26、3Sn2,所以a13+a23+a33+an3+an+13Sn+12,两式相减得an+13Sn+12Sn2(Sn+1Sn)(Sn+1+Sn),所以an+12Sn+1+Sn2Sn+1an+1,因此an22Snan,两式相减得,an+12an22Sn+12Snan+1+anan+1+an,(an+1an)(an+1+an)an+1+an,正项数列an,可得an+1an1,所以数列an为等差数列,首项为1,公差为1,所以ann;(3)Snn(n+1),假设存在正数m,使得对一切正整数n都成立,可设Tn(1+b1)(1+b2)(1+bn)2,设cn,则1,即cn递增,即有,由m恒成立,即有0m,则存在正数m(0,使得对一切正整数n都成立,【点评】本题主要考查数列通项公式的求解和数列不等式恒成立问题解法,涉及等差数列的定义以及不等式的放缩,考查化简运算能力和推理能力,属于难题