1、2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）直线xy10的倾斜角大小（）ABCD2（4分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7450，则a5（）A45B90C180D3003（4分）若a0b，则下列不等式恒成立的是（）AB|a|bCa2b2D4（4分）函数的值域为（）A2，+）B（，22，+）C（，2DR5（4分）直线3x+4y+50被圆x2+y24截得的弦长为（）A1B2CD6（4分）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（）A300B298C296D2947（4分）设Sn是等
2、差数列an的前n项和，若，则（）AB1C1D28（4分）已知abc，2a+b+c0，则的取值范围是（）ABCD9（4分）若圆C：（xa）2+（ya1）2a2与两条直线yx和yx都有公共点，则实数a的取值范围是（）ABCD10（4分）若函数f（x）x|x2a|a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A（，1）（1，+）B（1，1）C（1，0）（0，1）D（，1）（0，1）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为 ；直线ax+y+10与直线l垂直，则a 12（6分）直线l1：2mx+（m2）y+40（mR
3、）恒过定点 ；若过原点作直线l2l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为 13（6分）若实数x，y满足约束条件，则点A（x，y）构成的区域面积为 ；点B（x+y，xy）构成的区域面积为 14（6分）已知，则 ；x+2y的最小值为 15（4分）已知数列an满足，则an 16（4分）一条光线从点（2，1）射出，经x轴反射后与圆（x3）2+（y4）21相切，则反射光线所在直线的斜率为 17（4分）已知首项为a1，公比为q的等比数列an满足q4+a4+a3+a2+10，则首项a1的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分18已知直线l经过点P（1，2）（1）若直线l在两坐标轴上的
4、截距相等，求直线l的方程；（2）若A（1，1），B（3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程19已知x，y满足约束条件（1）求目标函数zx3y的最值；（2）当目标函数zax+by（a0，b0）在该约束条件下取得最大值5时，求a2+b2的最小值20已知过点P（0，1）的直线与圆C：x2+y2+6x2y+60相交于A，B两点（1）若|AB|2，求直线AB的方程；（2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程21已知等差数列an满足a23，a59，数列bn满足b12，（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cnan（bn1），求数列cn的前n项和Sn22已知正项数列an的前n项和为Sn，对于任
5、意的nN*，都有（1）求a1，a2；（2）求数列an的通项公式；（3）令问是否存在正数m，使得对一切正整数n都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1（4分）直线xy10的倾斜角大小（）ABCD【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解：设直线xy10的倾斜角为，0，），则tan，故选：B【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（4分）在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7450，则a5（）A45B
6、90C180D300【分析】利用等差数列的性质即可得出【解答】解：在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7450，则5a5450，解得a590，故选：B【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（4分）若a0b，则下列不等式恒成立的是（）AB|a|bCa2b2D【分析】本题可采用排除法，代特殊值法进行判断【解答】解：由题意，可知：对于A：a0b，0，故选项A正确；对于B：a0b，若a1，b2，则|a|b，故选项B不正确；对于C：a0b，若a1，b2，则a2b2，故选项C不正确；对于D：a0b，0，故选项D不正确故选：A【点评】本题主要考查不等式的基本性质，排
7、除法、特殊值法的应用本题属基础题4（4分）函数的值域为（）A2，+）B（，22，+）C（，2DR【分析】根据双勾函数f（x）的单调性得到最值即可【解答】解：由，知f（x）在（，1）上单调递增，在（1，0）上单调递减，f（x）maxf（1）2，f（x）2，f（x）的值域为（，2故选：C【点评】本题考查了双勾函数的性质，属基础题5（4分）直线3x+4y+50被圆x2+y24截得的弦长为（）A1B2CD【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由弦长公式计算可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y24的圆心为（0，0），半径r2，圆心到直线3x+4y+50的距离d1，则弦长l22；
8、故选：D【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题6（4分）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（）A300B298C296D294【分析】由等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，解得a1+a9912，从而偶数项之和为：，由此能求出结果【解答】解：等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，（a1+a99）300，解得a1+a9912偶数项之和为：294故选：D【点评】本题考查等差数列的偶数项之和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7（4分）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（）AB1C1D
9、2【分析】利用等差数列的通项公式得，由此能求出结果【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，1故选：C【点评】本题考查两个等差数列的前9项和与前13项和的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（4分）已知abc，2a+b+c0，则的取值范围是（）ABCD【分析】先将2a+b+c0变形为b2ac，再代入不等式ab，bc，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立可求的取值范围【解答】解：abc，2a+b+c0，a0，c0，b2ac，且a0，c0，abc，2aca，即3ac，解得：3，将b2ac，代入bc，可得：2acc，可得：ac，可得：1
10、，31故选：A【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是将2a+b+c0变形为b2ac，代入后消去b，进而求得a，c的关系，属于中档题9（4分）若圆C：（xa）2+（ya1）2a2与两条直线yx和yx都有公共点，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】由圆与直线yx和yx都有公共点，得圆心到两条直线yx和yx的距离小于等于半径，由此列关于a的不等式组求解【解答】解：圆C的圆心为（a，a+1），半径R|a|，（a0），若圆与两条直线yx和yx都有公共点，则圆心到两条直线yx和yx的距离小于等于半径即，即，解得：实数a的取值范围是故选：B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，考
11、查数学转化思想方法，是基础题10（4分）若函数f（x）x|x2a|a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A（，1）（1，+）B（1，1）C（1，0）（0，1）D（，1）（0，1）【分析】利用函数与方程之间的关系转化为|x2a|，利用作出两个函数的图象，利用数形结合进行转化求解即可【解答】解：由f（x）x|x2a|a0得x|x2a|a，当x0时，a0，此时f（x）x|x|只要一个零点，不满足条件故x0不是函数的零点，则由x|x2a|a得|x2a|，作出函数g（x）|x2a|和h（x），的图象如图：若a0，要使g（x）h（x）有三个交点，则只需要当0x2a时g（x）h（x）有2个交点，即（x
12、2a）有两个交点，则x22ax+a0有两个根即可，则判别式4a24a0，得a2a0，得a1或a0（舍），若a0，要使g（x）h（x）有三个交点，则只需要当2ax0时g（x）h（x）有2个交点，即x2a有两个交点，则x22axa0有两个根即可，则判别式4a2+4a0，得a2+a0，得a0（舍）或a1，综上a1或a1，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象，利用数形结合进行转化求解是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为yx+1；直线a
13、x+y+10与直线l垂直，则a【分析】倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为：yxtan120+1直线ax+y+10与直线l垂直，可得atan1201，解得a【解答】解：倾斜角为120，在y轴上的截距为1的直线l的方程为：yxtan120+1，即yx+1直线ax+y+10与直线l垂直，则atan1201，解得a故答案为：yx+1，【点评】本题考查了直线的斜截式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）直线l1：2mx+（m2）y+40（mR）恒过定点（1，2）；若过原点作直线l2l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为x2y0【分
14、析】直接由直线系方程求直线l1所过定点P；求出OP的斜率，利用两直线垂直与斜率的关系得到直线l2的斜率，则方程可求【解答】解：由2mx+（m2）y+40，得m（2x+y）2y+40，联立，解得直线l1过定点P（1，2）；直线l2过原点，当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的斜率为k，则直线l2的方程为y，即x2y0故答案为：（1，2）；x2y0【点评】本题考查恒过定点的直线问题，考查过定点的两条直线间距离的最值问题，是基础题13（6分）若实数x，y满足约束条件，则点A（x，y）构成的区域面积为；点B（x+y，xy）构成的区域面积为2【分析】画出约束条件表示的平面区域，得出点A（x，y）构成的
15、区域为PQR，求出它的面积；设M（s，t），令，由题意求得s、t的约束条件，再对应平面区域的面积【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图1所示；则点A（x，y）构成的区域为PQR，且P（0，2），Q（0，），R（1，1），所以PQR的面积为（2）1；设M（s，t），令，解得，由题意知，得作出不等式组对应的平面区域，如图2所示；则对应直角梯形MNEF，则M（，），N（，），E（2，2），F（2，0）；则四边形MNEF的面积为S（+）2，故答案为：，2【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了数形结合应用问题，是中档题14（6分）已知，则2；x+2y的最小值为6+4
16、，【分析】利用对数的运算和基本不等式求解即可【解答】解：已知，x0，y0，则：ln（x+y）ln；即：x+y，所以：则2；2x+2yxy；+1，x+2y（x+2y）（+）6+6+4，当且仅当，+1时即：x2+2，y2+”时取等号；x+2y的最小值为 6+4；故答案为：2；6+4；【点评】本题是应用题，考查的是基本不等式的应用，使用时要注意“一正，二定，三相等”考查了灵活解决问题的能力，属于基础题15（4分）已知数列an满足，则an【分析】数列an满足，n2时，a1a2an1n，相除可得；ann1时，a12，进行验证即可得出【解答】解：数列an满足，n2时，a1a2an1n，相除可得；ann1时
17、，a12，对于上式也成立an故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（4分）一条光线从点（2，1）射出，经x轴反射后与圆（x3）2+（y4）21相切，则反射光线所在直线的斜率为或【分析】由题意可知：点（2，1）在反射光线上设反射光线所在的直线方程为：y+1k（x+2），利用直线与圆的相切的性质即可得出【解答】解：由题意可知：点（2，1）在反射光线上设反射光线所在的直线方程为：y+1k（x+2），即kxy+2k10由相切的性质可得：，化为：12k225k+120，解得k或k故答案为：或【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、点
18、到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（4分）已知首项为a1，公比为q的等比数列an满足q4+a4+a3+a2+10，则首项a1的取值范围是（，22，+）【分析】由q4+a4+a3+a2+10，可得：a1（q3+q2+q）（q4+1），a1，令q+t（，22，+），可得：a1t+1+f（t），利用函数的单调性即可得出【解答】解：q4+a4+a3+a2+10，a1（q3+q2+q）（q4+1），a1，令q+t（，22，+），可得：a1t+1+f（t），f（t）在t（，2上单调递减，f（t）f（2）2f（t）在t2，+）上单调递减，f（t）f（2）2首项a1的取
19、值范围是（，22，+），故答案为：（，22，+）【点评】本题考查了等比数列的通项公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分18已知直线l经过点P（1，2）（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若A（1，1），B（3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程【分析】（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A，B的中点两种情况进行求解即可【解答】解：（1）若直线过原点，则设为ykx，则k2，此时直线方程为y2x，当直线不过原点，设方程为+1，即x+ya，此时a1+23
20、，则方程为x+y3，综上直线方程为y2x或x+y3（2）若A，B两点在直线l同侧，则ABl，AB的斜率k1，即l的斜率为1，则l的方程为y2x1，即yx+1，若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C（2，0），则k2，则l的方程为y02（x2），即y2x+4，综上l的方程为y2x+4或yx+1【点评】本题主要考查直线方程的求解，结合直线截距相等以及点到直线距离相等，进行分类讨论是解决本题的关键19已知x，y满足约束条件（1）求目标函数zx3y的最值；（2）当目标函数zax+by（a0，b0）在该约束条件下取得最大值5时，求a2+b2的最小值【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，利用目
21、标函数的几何意义利用平移法进行求解即可（2）利用目标函数的几何意义，确定取得最大值时的最优解，结合点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由zx3y得yx，平移直线yx，由图象知当直线yx经过点A时，直线的截距最大，此时z最小，当直线经过点O时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，2），则z的最小值为z132165，z的最大值为z0（2）由zax+by（a0，b0）得yx+，a0，b0，斜率k0，有得，即B（2，1），由图象知当yx+经过A或B时，目标函数的截距最大，此时z5，即2a+b5或a+2b5，即2a+b50或a+2b50，则a2+b2的
22、几何意义是O到直线的距离的平方，则d，即a2+b2的最小值为d25【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强20已知过点P（0，1）的直线与圆C：x2+y2+6x2y+60相交于A，B两点（1）若|AB|2，求直线AB的方程；（2）设线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程【分析】（1）当|AB|2时，圆心到直线的距离为，利用圆心到直线的距离，建立方程求k，则直线AB的方程可求；（2）利用，设M（x，y） 则x（x+3）+（y1）（y1）x2+y2+3x2y+10，再求出x的范围，点M的轨迹方程可求【解答】解：（1）圆C：x2+y2+6x2y
23、+60化标准方程为（x+3）2+（y1）24，圆心坐标为（3，1），半径r2当|AB|2，则圆心到直线的距离为设直线AB的方程为y1k（x0），即kxy+10，解得kAB的方程为或；（2）由圆的性质知：PMCM，设M（x，y），则（x，y1），则x（x+3）+（y1）（y1）x2+y2+3x2y+10联立，解得x点M的轨迹方程为：x2+y2+3x2y+10（x）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21已知等差数列an满足a23，a59，数列bn满足b12，（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cnan（bn1），求数列cn的前n项和S
24、n【分析】（1）直接利用已知条件和构造新数列法求出数列的通项公式（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）等差数列an满足a23，a59，则：d，所以：ana2+2（n2）2n1数列bn满足b12，则：bn+12bn1，所以：bn+112（bn1），故：（常数）所以：数列bn1是以211为首项，2为公比的等比数列，所以：，故：（2）由于：an2n1，所以：cnan（bn1）（2n1）2n1，故：，2，得：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型22已知正项数列an的前n项和为Sn，对
25、于任意的nN*，都有（1）求a1，a2；（2）求数列an的通项公式；（3）令问是否存在正数m，使得对一切正整数n都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）可令n1，2，假设可得所求值；（2）两次运用“两式相减”得到an+132Sn+1an+1，和an+1an1，进而得到等差数列，求出通项公式；（3）求得Snn（n+1），假设存在正数m，使得对一切正整数n都成立，由不等式的放缩法和不等式恒成立问题解法，即可得到所求范围【解答】解：（1）任意的nN*，都有可得a13S12a12，可得a11；a13+a23S22（1+a2）2，解得a22；（2）a13+a23+a33+an
26、3Sn2，所以a13+a23+a33+an3+an+13Sn+12，两式相减得an+13Sn+12Sn2（Sn+1Sn）（Sn+1+Sn），所以an+12Sn+1+Sn2Sn+1an+1，因此an22Snan，两式相减得，an+12an22Sn+12Snan+1+anan+1+an，（an+1an）（an+1+an）an+1+an，正项数列an，可得an+1an1，所以数列an为等差数列，首项为1，公差为1，所以ann；（3）Snn（n+1），假设存在正数m，使得对一切正整数n都成立，可设Tn（1+b1）（1+b2）（1+bn）2，设cn，则1，即cn递增，即有，由m恒成立，即有0m，则存在正数m（0，使得对一切正整数n都成立，【点评】本题主要考查数列通项公式的求解和数列不等式恒成立问题解法，涉及等差数列的定义以及不等式的放缩，考查化简运算能力和推理能力，属于难题