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2018-2019学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高一(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1(5分)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a3,b,c2为,那么B()A300B450C600D12002(5分)在ABC中,若,则()ABCD23(5分)直线xy3的倾斜角为()ABCD4(5分)若直线x+(1+m)y20和直线mx+2y+40平行,则m的值为()A1B2C1或2D5(5分)如图,在正方体AC1中,异面直线AC与A1B所成的角为()A90B60C45D306(5分)已知点P与点Q(1,2)关于直线x+y10对称,则点P的坐标为()A(

2、3,0)B(3,2)C(3,0)D(1,2)7(5分)如图所示,某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2,继续前进m至D点,测得顶端A的仰角为4,测等于()A5B10C15D208(5分)三棱锥PABC中,若PA平面ABC,ACB90,那么在三棱锥的侧面和底面中,直角三角形的个数为()A4个B3个C2个D1个9(5分)若直线ax+by+c0通过第一,二,三象限,则()Aab0,bc0Bab0,bc0Cab0,bc0Dab0,bc010(5分)四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PAAB2,则该四棱锥的外

3、接球的半径为()ABCD11(5分)如图,等边ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是()A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AEFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直12(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b22019c2,+()ABCD二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.13(5分)在ABC中,已知a1,b,A30,则B等于   14(5分)已知两条直线l1:4x+2y30,l2:2x+y+10,则ll与l2的距离为  

4、; 15(5分)底面边长为a的正四面体的体积为   16(5分)在锐角ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,则的取值范围为   三、解答题:共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17(10分)(1)求经过直线3x+4y20与直线xy+40的交点P,且垂直于直线x2y10的直线方程;(2)求过点P(1,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程18(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinCasinC+bsinB(1)求B;(2)若A,b2,求a和c19(12分)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,B

5、C上(如图1),且BEBF,将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A(如图2)(1)求证:ADEF;(2)当BFBC时,求点A到平面DEF的距离20(12分)在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1BC,A1AC60,AA1ACBC1,A1B(1)求证:平面A1BC平面ACC1A1;(2)如果D为AB的中点,求证:BC1平面A1CD21(12分)在路边安装路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯OA成120角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适当直角坐标系,解决以下问题:(1)当h10米,AB米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程;(2)h(5

6、)米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,求灯杆AB的长为多少米?22(12分)如图所示,点M,N分别在菱形ABCD的边AD,CD上,AB2,设ABM,MBN的面积为S,设Sf()(1)求f()的解析式,并求的范围;(2)求S的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1(5分)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a3,b,c2为,那么B()A300B450C600D1200【分析】余弦定理可得,cosB,代入即可求解cosB,进而可求B【解答】解:由余弦定理可得,co

7、sB0B,B故选:C【点评】本题主要考查了 余弦定理在求解三角形中的应用,属于基础是试题2(5分)在ABC中,若,则()ABCD2【分析】由A的度数求出sinA的值,利用正弦定理表示出比例式,再由a的值及求出的sinA,算出比例式的比值,根据比例的性质即可得到所求式子的值【解答】解:由A60,a3,根据正弦定理得:2,可得:a2sinA,b2sinB,c2sinC,则 2故选:D【点评】此题考查了正弦定理,特殊角的三角函数值,以及比例的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于基础题3(5分)直线xy3的倾斜角为()ABCD【分析】由方程易得直线的斜率,进而由正切函数和倾斜角的范围可得答案【解

8、答】解:由题意化直线的方程为斜截式yx可得直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则tan,可得故选:A【点评】本题考查直线的倾斜角,找出直线的斜率是解决问题的关键4(5分)若直线x+(1+m)y20和直线mx+2y+40平行,则m的值为()A1B2C1或2D【分析】由两直线平行的充要条件,列出方程求解即可【解答】解:直线x+(1+m)y20和直线mx+2y+40平行,可得,得:m1,故选:A【点评】本题主要考查两直线的位置关系5(5分)如图,在正方体AC1中,异面直线AC与A1B所成的角为()A90B60C45D30【分析】由A1BD1C,得ACD1是异面直线AC与A1B所成的角(或的所成角的补角)

9、,由此能求出异面直线AC与A1B所成的角【解答】解:A1BD1C,ACD1是异面直线AC与A1B所成的角(或的所成角的补角),ACCD1AD1,ACD160,异面直线AC与A1B所成的角为60故选:B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题6(5分)已知点P与点Q(1,2)关于直线x+y10对称,则点P的坐标为()A(3,0)B(3,2)C(3,0)D(1,2)【分析】根据题意,设P的坐标为(a,b),分析可得,解得a、b的值,即可得答案【解答】解:设P的坐标为(a,b),则PQ的中点坐标为(,),若点P与Q(1

10、,2)关于x+y10对称,则,解得:a3,b0,则点P的坐标为(3,0)故选:A【点评】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,涉及直线与直线的位置关系,属于基础题7(5分)如图所示,某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2,继续前进m至D点,测得顶端A的仰角为4,测等于()A5B10C15D20【分析】由题意及仰角的定义,利用数形结合的思想,利用图形中角与角的联系,求出即可【解答】解:由已知BC30米,CD10米,ABE,ACE2,ADE4,在RtABE中,BEAEcot,在RtACE中,CEAEcot2,BCBE

11、CEAE(cotcot2),同理可得:CDAE(cot2cot4),即,而cotcot2同理可得cot2cot42cos2cos2,结合题意可知,230,15故选:C【点评】本题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题,考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角,及二倍角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题8(5分)三棱锥PABC中,若PA平面ABC,ACB90,那么在三棱锥的侧面和底面中,直角三角形的个数为()A4个B3个C2个D1个【分析】直接利用线面垂直和面面垂直之间的应用求出结果【解答】解:根据题意:三棱锥PABC中,若PA平面ABC,ACB90,则:整理得几何体为:由于PA平面

12、ABC,所以:APAB,PAAC则:PABC,且BCAC,则:BC平面PAC,所以:ABC,PAC,PAB,PBC都为直角三角形故选:A【点评】本题考查的知识要点:线面垂直和面面垂直之间的转换,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型9(5分)若直线ax+by+c0通过第一,二,三象限,则()Aab0,bc0Bab0,bc0Cab0,bc0Dab0,bc0【分析】由题意推出直线的斜率的范围,直线在y轴上的截距的范围,即可得到选项【解答】解:直线ax+by+c0通过第一,二,三象限,所以直线的斜率:,直线的截距:所以ab0,bc0故选:D【点评】本题是基础题,考查直线的图象特征,直线的斜率

13、与截距的关系,考查逻辑推理能力10(5分)四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PAAB2,则该四棱锥的外接球的半径为()ABCD【分析】把四棱锥PABCD补成一个长方体,可知:此长方体的对角线为四棱锥PABCD的外接球的直径2R利用勾股定理即可得出【解答】解:把四棱锥PABCD补成一个长方体,可知:此长方体的对角线为四棱锥PABCD的外接球的直径2R(2R)222+22+2212,R故选:A【点评】本题考查了四棱锥的性质、长方体的外接球,考查了推理能力与计算能力,属于中档题11(5分)如图,等边ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个

14、图形,下列命题中,错误的是()A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AEFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直【分析】由斜线的射影定理可判断A正确;由面面垂直的判定定理,可判断B正确;由三棱锥的体积公式,可判断C正确;由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解:ADAE,ABC是正三角形,A在平面ABC上的射影在线段AF上,故A正确;由A知,平面AGF一定过平面BCED的垂线,恒有平面AGF平面BCED,故B正确;三棱锥AFED的底面积是定值,体积由高即A到底面的距离决定,当平面ADE平面BCED时,三棱锥AFED的体积有最大值,故C正确;

15、当(AE)2+EF2(AF)2时,面直线AE与BD垂直,故错误故选:D【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用,考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念,考查了空间想象能力12(5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b22019c2,+()ABCD【分析】首先由商的关系切化弦,再由和角公式与诱导公式简化,最后角化边得结果【解答】解:原式+故选:A【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理、由和角公式与诱导公式的应用,属于基础题二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.13(5分)在ABC中,已知a1,b,A30,则B等于60或120【分析】A

16、BC中由条件利用正弦定理求得sinB的值,确定出B的度数【解答】解:在ABC中,a1,b,A30,由正弦定理得到:,即:,解得sinB0B180,B60或B120故答案是:60或120【点评】本题主要考查解三角形,利用正弦定理是解决本题的关键,比较基础14(5分)已知两条直线l1:4x+2y30,l2:2x+y+10,则ll与l2的距离为【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的,再利用两条平行直线间的距离公式d,求出他们之间的距离【解答】解:两条直线l1:4x+2y30,l2:2x+y+10,即两条直线l1:4x+2y30,l2:4x+2y+20,它们之间的距离为d,故答案为:【点评】本题

17、主要考查两条平行直线间的距离公式d 应用,注意未知数的系数必需相同,属于基础题15(5分)底面边长为a的正四面体的体积为a3【分析】求出正四面体的底面面积以及高,即可求解正四面体的体积【解答】解:作正四面体的高SO,垂足为O,则O为等边三角形ABC的中心,ABa,ADa,AOADa,SOa,正四面体的体积VSABCSOa3故答案为:【点评】本题考查几何体的体积的求法,求解正四面体的高是解题的关键,属于中档题16(5分)在锐角ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,则的取值范围为(,)【分析】由余弦定理进行化简,求出A的大小,利用正弦定理,结合三角函数恒等变换的应用可求bc2sin(B)

18、,由已知可求范围B,利用正弦函数的性质可求其取值范围【解答】解:2cb2acosB2a,2c2bca2+c2b2,即b2+c2a2bc,则cosA,则A,若a,由正弦定理得2,得:b2sinB,c2sinC2sin(B),则bc2sinB2sin(B)2sinB2cosB+sinBsinBcosB2sin(B),ABC是锐角三角形,得:B,则:B,sin(B),即 2sin(B),即 bc的取值范围是(,)故答案为:(,)【点评】本题主要考查正弦定理,余弦定理以及三角函数恒等变换的应用,考查了正弦函数的图象和性质,考查了计算能力和转化思想,属于中档题三、解答题:共70分.解答应写出文字说明证明

19、过程或演算步骤.17(10分)(1)求经过直线3x+4y20与直线xy+40的交点P,且垂直于直线x2y10的直线方程;(2)求过点P(1,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程【分析】(1)联立直线方程求出点的坐标,再求出所求直线的斜率,代入直线方程点斜式得答案;(2)当直线过原点时,直线方程为y3x;当直线不过原点时,设直线方程为x+ya,把点的坐标代入求得a,则直线方程可求【解答】解:(1)联立,解得,两直线的焦点坐标为(2,2),直线x2y10斜率为,则所求直线的斜率为2直线方程为y22(x+2),即2x+y+20;(2)当直线过原点时,直线方程为y3x;当直线不过原点时,设直线方

20、程为x+ya,则1+3a,即a2是求直线方程为x+y2所求直线方程为3x+y0或x+y20【点评】本题考查直线方程的求法,体现了分类讨论的数学思想方法,是基础题18(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinCasinC+bsinB(1)求B;(2)若A,b2,求a和c【分析】(1)根据正弦定理得a2+c2ac+b2,由余弦定理得cosB,即可求出B;(2)利用正弦定理可求a和c【解答】解:(1)由已知,根据正弦定理得a2+c2ac+b2,由余弦定理得cosB,所以B()由A,得sinA由B,得C,所以a1+,c【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查学生

21、的计算能力,属于中档题19(12分)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上(如图1),且BEBF,将AED,DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A(如图2)(1)求证:ADEF;(2)当BFBC时,求点A到平面DEF的距离【分析】(1)推导出AEAD,AFAD,从而AD平面AEF,由此能证明ADEF(2)设点A到平面DEF的距离为d,由VADEFVDAEF,能求出点A到平面DEF的距离【解答】证明:(1)由ABCD是正方形及折叠方式,得:AEAD,AFAD,AEAFA,AD平面AEF,EF平面AEF,ADEF解:(2),DEDF,设点A到平面DEF的距离为

22、d,VADEFVDAEF,解得d点A到平面DEF的距离为【点评】本题考查线线的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题20(12分)在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1BC,A1AC60,AA1ACBC1,A1B(1)求证:平面A1BC平面ACC1A1;(2)如果D为AB的中点,求证:BC1平面A1CD【分析】(1)利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明;(2)利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明【解答】证明:(1)在,A1C1,在

23、A1BC中,BC1,A1C1,A1CB90,BCA1C,又AA1BC,AA1A1CA1,BC平面ACC1A1,BC平面A1BC,平面A1BC平面ACC1A1(2)连接A1C交AC1于O,连接DO,则由D为AB中点,O为AC1中点得,ODBC1,OD平面A1DC,BC1平面A1DC,BC1平面A1DC【点评】熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键21(12分)在路边安装路灯,灯柱OA的高为h米,路宽OC为23米,灯杆AB与灯OA成120角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直,请你建立适

24、当直角坐标系,解决以下问题:(1)当h10米,AB米时,求灯罩轴线BD所在直线的方程;(2)h(5)米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时,求灯杆AB的长为多少米?【分析】(1)求出B点坐标和AB的斜率,得出直线BD的斜率,利用点斜式方程得出直线BD的方程;(2)用AB表示出B点坐标,根据BD的斜率列方程得出AB的值【解答】解:(1)以灯柱底端O点为原点,灯柱OA所在直线为y轴,路宽OC所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,则A点的坐标为(0,10),C点的坐标为(23,0),因为灯杆AB与灯柱OA成120角,所以AB的倾斜角为30,则B点的坐标为(2.5cos30,10+2.5sin3

25、0),即(1.25,11.25)因为BDAB,所以kBD,此时BD的方程为y11.25(x1.25),即x+y150(2)设路面中线与路宽OC的交点为D,则点D的坐标为(,0)此时B(,5+),直线BD的斜率k,解得AB答:(1)当h10米时,灯罩轴线所在的直线方程为x+y150,(2)当h(5)米且灯罩轴线正好通过道路路面的中线时AB米【点评】本题考查了直线的方程,直线垂直与斜率的关系,属于中档题22(12分)如图所示,点M,N分别在菱形ABCD的边AD,CD上,AB2,设ABM,MBN的面积为S,设Sf()(1)求f()的解析式,并求的范围;(2)求S的取值范围【分析】(1)由已知可求MB

26、N,在MAB中,设MBA,可求,且AB2,由正弦定理得MB,在NBC中,可求BNC,由正弦定理得BN,在RTMBN中,利用三角形的面积公式,两角和的正弦函数公式可求SMBN3,(2)由已知可求2,利用正弦函数的性质可求sin(2),进而可求SBMN的取值范围【解答】解:(1)在菱形ABCD中,所以MBN,在MAB中,MAB,设MBA,则,且AB2,由正弦定理,得MB,在NBC中,NBC,则BNC,由正弦定理,得BN,在RTMBN中,SMBNBMBN()3,(2)由于,所以2,即sin(2),所以sin(2)+,1+,所以SBMN126,【点评】本题考查了解三角形的应用问题,也考查了利用三角函数求最值的应用问题,考查了计算能力和转化思想,是中档题