1、2018-2019学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，b，c2为，那么B（）A300B450C600D12002（5分）在ABC中，若，则（）ABCD23（5分）直线xy3的倾斜角为（）ABCD4（5分）若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D5（5分）如图，在正方体AC1中，异面直线AC与A1B所成的角为（）A90B60C45D306（5分）已知点P与点Q（1，2）关于直线x+y10对称，则点P的坐标为（）A（
2、3，0）B（3，2）C（3，0）D（1，2）7（5分）如图所示，某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2，继续前进m至D点，测得顶端A的仰角为4，测等于（）A5B10C15D208（5分）三棱锥PABC中，若PA平面ABC，ACB90，那么在三棱锥的侧面和底面中，直角三角形的个数为（）A4个B3个C2个D1个9（5分）若直线ax+by+c0通过第一，二，三象限，则（）Aab0，bc0Bab0，bc0Cab0，bc0Dab0，bc010（5分）四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAB2，则该四棱锥的外
3、接球的半径为（）ABCD11（5分）如图，等边ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AEFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b22019c2，+（）ABCD二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13（5分）在ABC中，已知a1，b，A30，则B等于 14（5分）已知两条直线l1：4x+2y30，l2：2x+y+10，则ll与l2的距离为
4、; 15（5分）底面边长为a的正四面体的体积为 16（5分）在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，则的取值范围为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17（10分）（1）求经过直线3x+4y20与直线xy+40的交点P，且垂直于直线x2y10的直线方程；（2）求过点P（1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+csinCasinC+bsinB（1）求B；（2）若A，b2，求a和c19（12分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，B
5、C上（如图1），且BEBF，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A（如图2）（1）求证：ADEF；（2）当BFBC时，求点A到平面DEF的距离20（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1AC60，AA1ACBC1，A1B（1）求证：平面A1BC平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1平面A1CD21（12分）在路边安装路灯，灯柱OA的高为h米，路宽OC为23米，灯杆AB与灯OA成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直，请你建立适当直角坐标系，解决以下问题：（1）当h10米，AB米时，求灯罩轴线BD所在直线的方程；（2）h（5
6、）米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时，求灯杆AB的长为多少米？22（12分）如图所示，点M，N分别在菱形ABCD的边AD，CD上，AB2，设ABM，MBN的面积为S，设Sf（）（1）求f（）的解析式，并求的范围；（2）求S的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1（5分）已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，b，c2为，那么B（）A300B450C600D1200【分析】余弦定理可得，cosB，代入即可求解cosB，进而可求B【解答】解：由余弦定理可得，co
7、sB0B，B故选：C【点评】本题主要考查了 余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础是试题2（5分）在ABC中，若，则（）ABCD2【分析】由A的度数求出sinA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA，算出比例式的比值，根据比例的性质即可得到所求式子的值【解答】解：由A60，a3，根据正弦定理得：2，可得：a2sinA，b2sinB，c2sinC，则 2故选：D【点评】此题考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，以及比例的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题3（5分）直线xy3的倾斜角为（）ABCD【分析】由方程易得直线的斜率，进而由正切函数和倾斜角的范围可得答案【解
8、答】解：由题意化直线的方程为斜截式yx可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则tan，可得故选：A【点评】本题考查直线的倾斜角，找出直线的斜率是解决问题的关键4（5分）若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可【解答】解：直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，可得，得：m1，故选：A【点评】本题主要考查两直线的位置关系5（5分）如图，在正方体AC1中，异面直线AC与A1B所成的角为（）A90B60C45D30【分析】由A1BD1C，得ACD1是异面直线AC与A1B所成的角（或的所成角的补角）
9、，由此能求出异面直线AC与A1B所成的角【解答】解：A1BD1C，ACD1是异面直线AC与A1B所成的角（或的所成角的补角），ACCD1AD1，ACD160，异面直线AC与A1B所成的角为60故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）已知点P与点Q（1，2）关于直线x+y10对称，则点P的坐标为（）A（3，0）B（3，2）C（3，0）D（1，2）【分析】根据题意，设P的坐标为（a，b），分析可得，解得a、b的值，即可得答案【解答】解：设P的坐标为（a，b），则PQ的中点坐标为（，），若点P与Q（1
10、，2）关于x+y10对称，则，解得：a3，b0，则点P的坐标为（3，0）故选：A【点评】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题7（5分）如图所示，某同学在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2，继续前进m至D点，测得顶端A的仰角为4，测等于（）A5B10C15D20【分析】由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出即可【解答】解：由已知BC30米，CD10米，ABE，ACE2，ADE4，在RtABE中，BEAEcot，在RtACE中，CEAEcot2，BCBE
11、CEAE（cotcot2），同理可得：CDAE（cot2cot4），即，而cotcot2同理可得cot2cot42cos2cos2，结合题意可知，230，15故选：C【点评】本题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题8（5分）三棱锥PABC中，若PA平面ABC，ACB90，那么在三棱锥的侧面和底面中，直角三角形的个数为（）A4个B3个C2个D1个【分析】直接利用线面垂直和面面垂直之间的应用求出结果【解答】解：根据题意：三棱锥PABC中，若PA平面ABC，ACB90，则：整理得几何体为：由于PA平面
12、ABC，所以：APAB，PAAC则：PABC，且BCAC，则：BC平面PAC，所以：ABC，PAC，PAB，PBC都为直角三角形故选：A【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和面面垂直之间的转换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型9（5分）若直线ax+by+c0通过第一，二，三象限，则（）Aab0，bc0Bab0，bc0Cab0，bc0Dab0，bc0【分析】由题意推出直线的斜率的范围，直线在y轴上的截距的范围，即可得到选项【解答】解：直线ax+by+c0通过第一，二，三象限，所以直线的斜率：，直线的截距：所以ab0，bc0故选：D【点评】本题是基础题，考查直线的图象特征，直线的斜率
13、与截距的关系，考查逻辑推理能力10（5分）四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAAB2，则该四棱锥的外接球的半径为（）ABCD【分析】把四棱锥PABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥PABCD的外接球的直径2R利用勾股定理即可得出【解答】解：把四棱锥PABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥PABCD的外接球的直径2R（2R）222+22+2212，R故选：A【点评】本题考查了四棱锥的性质、长方体的外接球，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）如图，等边ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个
14、图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AEFD的体积有最大值D异面直线AE与BD不可能垂直【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：ADAE，ABC是正三角形，A在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面AGF一定过平面BCED的垂线，恒有平面AGF平面BCED，故B正确；三棱锥AFED的底面积是定值，体积由高即A到底面的距离决定，当平面ADE平面BCED时，三棱锥AFED的体积有最大值，故C正确；
15、当（AE）2+EF2（AF）2时，面直线AE与BD垂直，故错误故选：D【点评】本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b22019c2，+（）ABCD【分析】首先由商的关系切化弦，再由和角公式与诱导公式简化，最后角化边得结果【解答】解：原式+故选：A【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理、由和角公式与诱导公式的应用，属于基础题二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13（5分）在ABC中，已知a1，b，A30，则B等于60或120【分析】A
16、BC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，确定出B的度数【解答】解：在ABC中，a1，b，A30，由正弦定理得到：，即：，解得sinB0B180，B60或B120故答案是：60或120【点评】本题主要考查解三角形，利用正弦定理是解决本题的关键，比较基础14（5分）已知两条直线l1：4x+2y30，l2：2x+y+10，则ll与l2的距离为【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d，求出他们之间的距离【解答】解：两条直线l1：4x+2y30，l2：2x+y+10，即两条直线l1：4x+2y30，l2：4x+2y+20，它们之间的距离为d，故答案为：【点评】本题
17、主要考查两条平行直线间的距离公式d 应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题15（5分）底面边长为a的正四面体的体积为a3【分析】求出正四面体的底面面积以及高，即可求解正四面体的体积【解答】解：作正四面体的高SO，垂足为O，则O为等边三角形ABC的中心，ABa，ADa，AOADa，SOa，正四面体的体积VSABCSOa3故答案为：【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解正四面体的高是解题的关键，属于中档题16（5分）在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，则的取值范围为（，）【分析】由余弦定理进行化简，求出A的大小，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换的应用可求bc2sin（B）
18、，由已知可求范围B，利用正弦函数的性质可求其取值范围【解答】解：2cb2acosB2a，2c2bca2+c2b2，即b2+c2a2bc，则cosA，则A，若a，由正弦定理得2，得：b2sinB，c2sinC2sin（B），则bc2sinB2sin（B）2sinB2cosB+sinBsinBcosB2sin（B），ABC是锐角三角形，得：B，则：B，sin（B），即 2sin（B），即 bc的取值范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明
19、过程或演算步骤.17（10分）（1）求经过直线3x+4y20与直线xy+40的交点P，且垂直于直线x2y10的直线方程；（2）求过点P（1，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程【分析】（1）联立直线方程求出点的坐标，再求出所求直线的斜率，代入直线方程点斜式得答案；（2）当直线过原点时，直线方程为y3x；当直线不过原点时，设直线方程为x+ya，把点的坐标代入求得a，则直线方程可求【解答】解：（1）联立，解得，两直线的焦点坐标为（2，2），直线x2y10斜率为，则所求直线的斜率为2直线方程为y22（x+2），即2x+y+20；（2）当直线过原点时，直线方程为y3x；当直线不过原点时，设直线方
20、程为x+ya，则1+3a，即a2是求直线方程为x+y2所求直线方程为3x+y0或x+y20【点评】本题考查直线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+csinCasinC+bsinB（1）求B；（2）若A，b2，求a和c【分析】（1）根据正弦定理得a2+c2ac+b2，由余弦定理得cosB，即可求出B；（2）利用正弦定理可求a和c【解答】解：（1）由已知，根据正弦定理得a2+c2ac+b2，由余弦定理得cosB，所以B（）由A，得sinA由B，得C，所以a1+，c【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生
21、的计算能力，属于中档题19（12分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上（如图1），且BEBF，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A（如图2）（1）求证：ADEF；（2）当BFBC时，求点A到平面DEF的距离【分析】（1）推导出AEAD，AFAD，从而AD平面AEF，由此能证明ADEF（2）设点A到平面DEF的距离为d，由VADEFVDAEF，能求出点A到平面DEF的距离【解答】证明：（1）由ABCD是正方形及折叠方式，得：AEAD，AFAD，AEAFA，AD平面AEF，EF平面AEF，ADEF解：（2），DEDF，设点A到平面DEF的距离为
22、d，VADEFVDAEF，解得d点A到平面DEF的距离为【点评】本题考查线线的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1AC60，AA1ACBC1，A1B（1）求证：平面A1BC平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1平面A1CD【分析】（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明【解答】证明：（1）在，A1C1，在
23、A1BC中，BC1，A1C1，A1CB90，BCA1C，又AA1BC，AA1A1CA1，BC平面ACC1A1，BC平面A1BC，平面A1BC平面ACC1A1（2）连接A1C交AC1于O，连接DO，则由D为AB中点，O为AC1中点得，ODBC1，OD平面A1DC，BC1平面A1DC，BC1平面A1DC【点评】熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键21（12分）在路边安装路灯，灯柱OA的高为h米，路宽OC为23米，灯杆AB与灯OA成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直，请你建立适
24、当直角坐标系，解决以下问题：（1）当h10米，AB米时，求灯罩轴线BD所在直线的方程；（2）h（5）米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时，求灯杆AB的长为多少米？【分析】（1）求出B点坐标和AB的斜率，得出直线BD的斜率，利用点斜式方程得出直线BD的方程；（2）用AB表示出B点坐标，根据BD的斜率列方程得出AB的值【解答】解：（1）以灯柱底端O点为原点，灯柱OA所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A点的坐标为（0，10），C点的坐标为（23，0），因为灯杆AB与灯柱OA成120角，所以AB的倾斜角为30，则B点的坐标为（2.5cos30，10+2.5sin3
25、0），即（1.25，11.25）因为BDAB，所以kBD，此时BD的方程为y11.25（x1.25），即x+y150（2）设路面中线与路宽OC的交点为D，则点D的坐标为（，0）此时B（，5+），直线BD的斜率k，解得AB答：（1）当h10米时，灯罩轴线所在的直线方程为x+y150，（2）当h（5）米且灯罩轴线正好通过道路路面的中线时AB米【点评】本题考查了直线的方程，直线垂直与斜率的关系，属于中档题22（12分）如图所示，点M，N分别在菱形ABCD的边AD，CD上，AB2，设ABM，MBN的面积为S，设Sf（）（1）求f（）的解析式，并求的范围；（2）求S的取值范围【分析】（1）由已知可求MB
26、N，在MAB中，设MBA，可求，且AB2，由正弦定理得MB，在NBC中，可求BNC，由正弦定理得BN，在RTMBN中，利用三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式可求SMBN3，（2）由已知可求2，利用正弦函数的性质可求sin（2），进而可求SBMN的取值范围【解答】解：（1）在菱形ABCD中，所以MBN，在MAB中，MAB，设MBA，则，且AB2，由正弦定理，得MB，在NBC中，NBC，则BNC，由正弦定理，得BN，在RTMBN中，SMBNBMBN（）3，（2）由于，所以2，即sin（2），所以sin（2）+，1+，所以SBMN126，【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了利用三角函数求最值的应用问题，考查了计算能力和转化思想，是中档题