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2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)期中数学试卷一、填空题:请把答案填写在答题卷相应的位置上.1(3分)直线的倾斜角为   2(3分)若扇形的弧长为,圆心角为,则此扇形的半径是   m3(3分)正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是   4(3分)两平行直线2x+y0与4x+2y10之间的距离为   5(3分)过点(1,)且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为   6(3分)若将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,则所得圆柱的侧面积为   cm27(3分)已知三个不同的

2、点O(0,0),A(sin,sin),B(8,5)在同一条直线上,则cos的值是   8(3分)将函数f(x)cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(0)的值为   9(3分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a1,B,当ABC的面积等于时,b   10(3分)已知,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有如下四个命题:若l,l,则;     若l,则l;若l,l,则;     若l,则l其中真命题为   (填所有真命题的序号)11(3分)点(5,2)到直线(

3、m1)x+(2m1)ym5的距离的最大值为   12(3分)如图,在边长为2的正方体中,M为楼AB的中点,则二面角B1CMB的正切值是   13(3分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB2,CC13,点D为侧棱BB1上的一个动点,当AD+DC1最小时,三棱锥DABC1的体积为   14(3分)已知关于x的方程sinxcos2x+1a0(aR)在区间0,3上共有n(nN*)个互不相同的实数根x1,x2,xn,当x1+x2+xn取得最小值时,实数a的取值集合为   二、解答题:请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15如图,在斜三

4、棱柱ABCA1B1C1中,CACB,D,E分别是AB,B1C的中点(1)求证:DE平面ACC1A1;(2)若DEAB,求证:ABB1C16已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(sinA+sinB)(ab)(sinCsinB)c(1)求A的值;(2)若c,cosB,求a的值17已知函数f(x)2sin2x+2sinxcosx+a(其中aR),且f(0)(1)求a的值,并求f(x)在,上的值域;(2)若f(x)在0,上有且只有一个零点,0,求的取值范围18如图,平面PAB平面ABCD,四边形ABCD是边长为4的正方形,APB90,M是CD的中点(1)在图中作出并指明平面P

5、AM和平面PBC的交线l;(2)求证:APBC;(3)当AP2时,求PC与平面ABCD所成角的正切值19国家边防安全条例规定:当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时,就会被警告如图,设A,B是海岸线上距离s海里的两个观察站,满足s,一艘外轮在P点满足BAP,ABP(1),满足什么关系时,就该向外轮发出警告令其退出我国海域?(2)当+时,间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域?20已知直线l1:mxy+m0,l2:x+mym(m+1)0,l3:(m+1)xy+(m+1)0,记l1l2A,l2l3B,l3l1C(1)当m2时,求原点关于直线l1的对称点坐标;(2)在ABC中,求BC边上中

6、线长的最小值;(3)求ABC面积的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市常熟市高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:请把答案填写在答题卷相应的位置上.1(3分)直线的倾斜角为【分析】由题意可得直线的方程可化简为:yx,进而得到直线的斜率k,再根据直线的斜率与倾斜角之间的关系得到答案【解答】解:由题意可得:将 可化为yx,可得直线的斜率k,所以故答案为:【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系,解决此类问题的方法一般是首先将直线的方程化为斜截式方程,得到直线的斜率,进而根据直线的斜率与倾斜角之间的关系得到答案2(3分)若扇形的弧长为,圆心角为,则此扇形的半径是2m【分

7、析】根据扇形弧长的计算公式可以求得扇形的半径,从而可以解答本题【解答】解:设扇形的弧长为l,圆心角大小为(rad),半径为r,则lr,即:r,解得,r2故答案为:2【点评】本题考查弧长的计算,解题的关键是明确弧长的计算公式3(3分)正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是【分析】由题意画出图形,求解三角形可得异面直线AA1和BD1所成角的余弦值【解答】解:如图,连接B1D1,AA1BB1,B1BD1为异面直线AA1和BD1所成角,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则,即异面直线AA1和BD1所成角的余弦值是故答案为:【点评】本题考查异面直线所成角的求法

8、,考查数形结合的解题思想方法,是基础题4(3分)两平行直线2x+y0与4x+2y10之间的距离为【分析】将两平行直线的x与y的系数化为相同,再用平行直线的距离公式可得【解答】解:由4x+2y10得2x+y0,由两平行直线的距离公式可得故答案为:【点评】本题考查了两条平行直线的距离,属基础题5(3分)过点(1,)且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为x+4y20【分析】根据题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为,即可得直线的方程为+1,即+ay1,将点的坐标代入直线方程,计算可得a的值,即可得答案【解答】解:根据题意,设直线在x轴上的截距为a,则其在y轴上的截距为,(a0),则直

9、线的方程为+1,即+ay1,又由直线经过点(1,),则有+1,解可得a2,则直线的方程为+2y1,即x+4y20;故答案为:x+4y20【点评】本题考查直线的截距式方程,关键是设出直线的方程,属于基础题6(3分)若将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,则所得圆柱的侧面积为8cm2【分析】根据题意知圆柱的底面圆半径r和母线长l,再计算圆柱的侧面积【解答】解:将边长为2cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得圆柱的底面圆半径为r2cm,母线长为l2cm则圆柱的侧面积为S侧2rl2228(cm2)故答案为:8【点评】本题考查了圆柱的侧面积计算问题,是基础题7(3分)已知三个不

10、同的点O(0,0),A(sin,sin),B(8,5)在同一条直线上,则cos的值是【分析】根据题意,由三点共线可得KOAKOB,即,变形可得cos,由二倍角公式分析可得答案【解答】解:根据题意,三个不同的点O(0,0),A(sin,sin),B(8,5)在同一条直线上,则KOAKOB,即,变形可得cos,则cos2cos21,故答案为:【点评】本题考查三点共线的问题,涉及直线的斜率计算,属于基础题8(3分)将函数f(x)cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(0)的值为【分析】将f(x)平移后得到g(x)cos(2x+),然后求出g(0)即可【解答】解:将

11、函数f(x)cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得,g(x)cos2(x+)cos(2x+),g(0)cos,故答案为:【点评】本题考查了三角函数的平移变换和三角函数求值问题,属基础题9(3分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a1,B,当ABC的面积等于时,b【分析】由acsinB,可求c4,由余弦定理可求b的值【解答】解:由题意,可得:acsinB,即 1c,c4,由余弦定理,得b2a2+c22accos1+16413,b故答案为:【点评】该题考查余弦定理及其应用,考查三角形面积公式,考查学生的运算能力,属于基础题10(3分)已知,是两个不同的平面,l,m是两条不同

12、的直线,有如下四个命题:若l,l,则;     若l,则l;若l,l,则;     若l,则l其中真命题为(填所有真命题的序号)【分析】,根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确;,根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误;,根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确;,根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误【解答】解:对于,当l,l时,根据线面垂直的性质和面面平行的定义知,正确;对于,l,时,有l或l,错误;对于,l,l时,根据线面平行的性质与面面垂直的定义知,正确;对于,l,时,有l或l或l或l与相交,错误综上,以上真命题为故答案为:

13、【点评】本题考查了利用符号语言表示的线面、面面垂直与平行的应用问题,是基础题11(3分)点(5,2)到直线(m1)x+(2m1)ym5的距离的最大值为【分析】利用直线系方程求出动直线所过定点,再由两点间的距离公式求解【解答】解:化直线(m1)x+(2m1)ym5为m(x+2y1)xy+50,联立,解得直线(m1)x+(2m1)ym5过定点(9,4),点(5,2)到直线(m1)x+(2m1)ym5的距离的最大值为故答案为:【点评】本题考查直线系方程的应用,考查两点间的距离公式,是基础题12(3分)如图,在边长为2的正方体中,M为楼AB的中点,则二面角B1CMB的正切值是【分析】以D为原点,DA为

14、x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B1CMB的正切值【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),M(2,1,0),(2,1,0),(2,0,2),设平面CMB1的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,2,1),平面CBM的法向量(0,0,1),设二面角B1CMB的平面角为,则cos,tan二面角B1CMB的正切值为故答案为:【点评】本题考查二面角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题13

15、(3分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB2,CC13,点D为侧棱BB1上的一个动点,当AD+DC1最小时,三棱锥DABC1的体积为【分析】将正三棱柱ABCA1B1C1展开成矩形ACC1A1,连结AC1,交BB1于D,此时AD+DC1最小,当AD+DC1最小时,BD,此时三棱锥DABC1的体积,由此能求出结果【解答】解:将正三棱柱ABCA1B1C1展开成矩形ACC1A1,如图,连结AC1,交BB1于D,此时AD+DC1最小,ABBC2,BB1CC13,ABC60,点D为侧棱BB1上的动点,当AD+DC1最小时,BD,点C1到平面ABD的距离d,此时三棱锥DABC1的体积:2故答案为:【点评】

16、题考查几何体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题14(3分)已知关于x的方程sinxcos2x+1a0(aR)在区间0,3上共有n(nN*)个互不相同的实数根x1,x2,xn,当x1+x2+xn取得最小值时,实数a的取值集合为,2【分析】本题可根据两个函数之间的对应关系由a反向去思考根的所有和的情况,再根据根的和的最小值可推出a的取值集合【解答】解:由题意,asin2x+sinx令tsinx,则af(t)t2+t(t+)2x0,3,sinx1,1,即t1,1af(t

17、)函数图象如下:tsinx函数图象如下:联系两个函数图象,对a分类谈论如下,当a2时,则t1,即sinx1,则此时有两个根:x1,x2x1+x23当0a2时,0t1,即0sinx1且sinx只有一个值则此时有四个根x1,x2,x3,x4且,x1+x2+x3+x46当a0时,则t1,或t0即sinx1,或sinx0则此时有五个根:x1,x20,x3,x42,x53x1+x2+x3+x4+x5当a0时,一个a对应两个t值:t1,t2且1t1t20则有sinx1t1,sinx2t1及sinx3t2,sinx4t2很明显x1+x2+x3+x46当a时,t,sinx,则此时有两个根:x1,x2很明显x1

18、+x23x1+x2+xn取得最小值为3,此时a或2故答案为:,2【点评】本题主要考查对应思想的应用,数形结合、分类讨论方法的掌握本题属较难题二、解答题:请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,D,E分别是AB,B1C的中点(1)求证:DE平面ACC1A1;(2)若DEAB,求证:ABB1C【分析】(1)连结BC1,AC1,由三角形中位线定理可得DEAC1,根据线面平行的判定定理可得结论;(2)由等腰三角形的性质可得CDAB,结合DEAB,由线面垂直的判定定理可得AB平面CDE,再由线面垂直的性质可得结论【解答】证明:(

19、1)连结BC1,AC1,ABCA1B1C1是斜三棱柱,四边形BCC1B1为平行四边形,由平行四边形性质得点E也是BC1 的中点,点D是AB的中点,DEAC1,又DE平面ACC1A1,AC1平面ACC1A1,DE平面ACC1A1;(2)连结CD,CACB,点D是AB的中点,CDAB,又DEAB,DECDD,DE平面CDE,CD平面CDE,AB平面CDE,B1C平面CDE,ABB1C【点评】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质,属于中档题16已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(sinA+sinB)(ab)(sinCsinB)c(1)求A的值;(2)若c,

20、cosB,求a的值【分析】(1)由(sinA+sinB)(ab)(sinCsinB)c,利用正弦定理可得b2+c2a2bc,再利用余弦定理可得,从而可得结果;(2)由,利用同角三角函数的关系求得sinB的值,结合(1)利用诱导公式以及两角和的正弦公式可求得sinC的值,再由正弦定理可得结果【解答】解:(1)(sinA+sinB)(ab)(sinCsinB)c(a+b)(ab)(cb)c,b2+c2a2bc,在ABC中,由余弦定理得,将b2+c2a2bc代入上式,得,A(0,),A(2)由B(0,),得,sinCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinB,由正弦定理得【点评】本题主要考查

21、了正弦定理,余弦定理和三角函数的化简求值等,考查了计算能力,属于中档题17已知函数f(x)2sin2x+2sinxcosx+a(其中aR),且f(0)(1)求a的值,并求f(x)在,上的值域;(2)若f(x)在0,上有且只有一个零点,0,求的取值范围【分析】(1)化简f(x),根据f(0),得出a的值;(2)根据x的范围得到的范围,由条件可得,解不等式即可【解答】解:(1)f(x)2sin2x+2sinxcosx+af(0),f(0),即a;(2)令f(x)0,则,x0,f(x)在0,上有且只有一个零点,的取值范围为:【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了转化思想和数形结合思想,属基础

22、题18如图,平面PAB平面ABCD,四边形ABCD是边长为4的正方形,APB90,M是CD的中点(1)在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l;(2)求证:APBC;(3)当AP2时,求PC与平面ABCD所成角的正切值【分析】(1)延长AM与BC交于点Q,连接PQ,直线PQ即为所求交线l;(2)由正方形的性质可得ABBC,由面面垂直的性质可得,BC平面PAB,再由线面垂直的性质可得结果;(3)过点P作PHAB于点H,连接CH,由面面垂直的性质可得PH平面ABCD则PCH即为PC与平面ABCD所成的角,利用直角三角形的性质可得结果【解答】解:(1)如图,延长AM与BC交于点Q,连接PQ,直

23、线PQ即为所求交线l证明:(2)因为四边形ABCD是正方形,所以ABBC又平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,BC平面ABCD,所以BC平面PAB,又AP平面PAB,所以APBC解:(3)如图,过点P作PHAB于点H,连接CH,因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,PHAB,PH平面PAB,所以PH平面ABCD所以PCH即为PC与平面ABCD所成的角,在APB中,APB90,AP2,AB4,所以PB2,PAB60,从而PH,BH3,在RtBCH中,CH5,所以tan【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质,以及面面垂直的性质,线面角的求法,属于中档题解答空

24、间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理19国家边防安全条例规定:当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时,就会被警告如图,设A,B是海岸线上距离s海里的两个观察站,满足s,一艘外轮在P点满足BAP,ABP(1),满足什么关系时,就该向外轮发出警告令其退出我国海域?(2)当+时,间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域?【分析】(1)设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里,先由正弦定理求得BP,再利用直角三角形的性质可得xPQ,根据xd即可得结果;(2)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以

25、及两角和与差的正弦公式将函数化为sin(2)+,然后解不等式sin(2)+,进而可得结果【解答】解:(1)设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里,在ABP中,sinAPBsin()sin(+),由正弦定理得,所以BP,在RtBPQ中,xPQBPsin()BPsin,当xd,即时,就该向外轮发出警告,今其退出我国海域(2)当+时,sinsin()sin(cos)(sincos+sin2)sin(sin2+)sin(2)+,要使不被警告,则,即sin(2)+,解得sin(2),所以2k+22k+,kZ,即k+k+,kZ,又因为,所以当(,)时可以避免使外轮进入被警告区域【点评】本题主要考查正弦定理的

26、应用以及二倍角公式与辅助角公式的应用,属于综合题正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下四种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径20已知直线l1:mxy+m0,l2:x+mym(m+1)0,l3:(m+1)xy+(m+1)0,记l1l2A,l2l3B,l3l1C(1)当m2时,求原点关于直线l1的对称点坐标;(2)在ABC中,求BC边上中线长的最小值;(3)求ABC面积的取值范围【分析】(1)当m2时,直线 l1 的方程为:l1 2xy+20,设原点

27、关于直线 l1 的对称点为 (x0,y0),利用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可;(2)l1:mxy+m0 l2:x+mym(m+1)0 l3:(m+1)xy+(m+1)0 记:l1l2Al2l3Bl3l1C,先证明l1l2,可得ABC为直角三角形故ABC为直角三角形,且BC为斜边,中线长为BC,再求得得l1与 l3的交点C(1,0),得l3与l2的交点B(0,m+1),利用两点间的距离公式,结合二次函数的性质可得结果;(3)求得得l1与l2的交点的坐标,可得AB长,再求得点C(1,0)到l2的距离d,求ABC的面积的取值范围则三角形面积,分类讨论,利用基本不等式可得结果【解答】解:(1)当

28、m2时,直线 l1  的方程为:l1    2xy+20,且斜率k12,设原点关于直线 l1  的对称点为 (x0,y0),则由 斜率与中点坐标公式列方程得:,解得:,故所求点的坐标为(2)法一:由m1+(1)m0,得l1l2,故ABC为直角三角形,且BC为斜边,中线长为BC,由,得l1与 l3的交点C(1,0),由,得l3与l2的交点B(0,m+1),故中线长BC,即当m1时,中线长有最小值为法二:因为点B是y轴上动点,所以当BC垂直y轴时BC最短,此时中线长最小值为(3)由,得l1与l2的交点为:A,由两点间距离公式得AB,点C(1,0)到l2的距离

29、为:,三角形面积,当m0时,有  0,;当m0时,有   ;当m0时,所以,答:故答案为(1)所求点的坐标为(2)最小值(3)【点评】本题主要考查直线的交点、点到直线距离公式与三角形面积公式的应用,考查了对称问题以及分类讨论思想的应用,属于综合题解析几何中点对称问题,主要有以下三种题型P(x,y)关于直线l的对称点p(m,n),利用,且 点 在对称轴l上,列方程组求解即可,求出对称点p(m,n);(2)直线关于直线对称,利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点(利用(1)求解),两点式求对称直线方程;(3)曲线关于直线对称,结合方法(1)利用逆代法求解(3)求面主要采用分类讨论,利用基本不等式求解,属于中档题,综合题