1、2018-2019学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置1（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：xy0的倾斜角为（）A0B45C90D1352（5分）从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（）ABCD3（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AA1与BC所成角的大小为（）A30B45C60D904（5分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成和方差如表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳
2、人选是（）A甲B乙C丙D丁5（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）到直线l：4x3y+40的距离为（）A3BC1D36（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，A，则的值为（）A4BC2D7（5分）如图，已知ABC是边长为2的正三角形，那么它的斜二测画法所画直观图的面积为（）9（5分）在ABC中，若sinA：sinB：sinC2：3：4，则cosC（）ABCD10（5分）若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（）A49BC14D11（5分）已知平面平面直线m平面，直线n平面，l，在下列说法中，若mn，则ml；若ml，则m；若m，则
3、mn，正确结论的序号为（）ABCD12（5分）已知ABC中，AB2BC3，CA4，则BC边上的中线AM的长度为（）ABC2D二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案直接填写在答题卡和应的位置13（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线x+ay2a+2与直线x+y+10平行，则实数a的值为 14（5分）如图某人在高出海平面h米的山上P处，测得海平面上航标A在正东方向，俯角为30，航标B在南偏东60，俯角45，且两个航标间的距离为200米，则h 米15（5分）一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（
4、如图2，一个侧面处于水平状态）这时水面与各棱交点分别为E，F，E1，F1，则的值是 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直角ABC中，直角顶点A在直线xy+60上，顶点B，C在圆x2+y210上，则点A横坐标的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答趋肀指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或滨其步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线2xy0与直线x+y30的交点（1）求点P的坐标；（2）若直线l过点P，且与直线3x+2y10垂直，求直线l的方程18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知A30，
5、B105，a10（1）求c；（2）求ABC的面积19（12分）某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2012201320142015201620172018年份代号x1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入（附：线性回归方程bx+a中，b，ab，其中，为样本平均效）20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA1，点N为A1B1中点，点M在边AB上（1）当点M为AB中点
6、时，求证：C1N平面A1CM；（2）试确定点M的位置，使得AB1平面A1CM21（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，6），圆C：x2+y2+10x+10y0（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点若AOPB，求l的方程；当ABC面积最大时，求直线l的方程22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6）（1）证明：cosABC+cosADC0；证明：存在点P使得PAPBPCPD并求出P的坐标；（2）过C点的直线1将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，
7、求点E的坐标2018-2019学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置1（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：xy0的倾斜角为（）A0B45C90D135【分析】设直线l：xy0的倾斜角为，0，180），可得tan1，解得【解答】解：设直线l：xy0的倾斜角为，0，180）tan1，解得45故选：B【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）从A，B，C三个同学中选2名代表
8、，则A被选中的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n3，A被选中包含的基本事件个数m2，由此能求出A被选中的概率【解答】解：从A，B，C三个同学中选2名代表，基本事件总数n3，A被选中包含的基本事件个数m2，A被选中的概率p故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AA1与BC所成角的大小为（）A30B45C60D90【分析】由题意即正方体图形，利用正方形的特点由于ADBC，利用异面直线的定义即可得求【解答】解：根据题意，的正方体ABCDA1B1C1D1中，易得A1AD90ADBC异
9、面直线AA1与BC垂直，即所成的角为90，故选：D【点评】此题考查了异慢直线见的定义，还考查了正方体的特点4（5分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成和方差如表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（）人数据甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6A甲B乙C丙D丁【分析】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选【解答】解：甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，综合平均
10、数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，丙是最佳人选，故选：C【点评】本题考查随机抽样和一般估计总体的实际应用，考查对于平均数和方差的实际应用，对于几组数据，方差越小数据越稳定，这是经常考查的一种题目类型5（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）到直线l：4x3y+40的距离为（）A3BC1D3【分析】直接利用点到直线的距离公式求解【解答】解：已知P（21），直线l：4x3y+40，则由点到直线距离公式得P到l的距离d故选：A【点评】本题考查点到直线距离公式的应用，是基础的计算题6（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，A，则的值为（）A4BC2D【分析】由正弦
11、定理可得，代入即可求解【解答】解：a2，A，由正弦定理可得，则，故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题7（5分）如图，已知ABC是边长为2的正三角形，那么它的斜二测画法所画直观图的面积为（）ABCD【分析】设原图的面积为S，直观图的面积为S直，则2，根据等边三角形的面积公式求出S，即可得到直观图的面积【解答】解：设原图的面积为S，直观图的面积为S直，则2，依题意，原图面积为S，所以直观图的面积为S直故选：C【点评】本题考查了斜二测画直观图中原图与直观图面积的关系，考查正三角形的面积公式，掌握原图与直观图的面积比是快速得到答案的关键，当然本题也可画图得到本题属于基础题8（
12、5分）某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A0.16B0.26C0.56D0.74【分析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【解答】解：由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：P1P（X0）P（X1）10.10.160.74故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）在ABC中，若sinA：sinB：sinC2：3：4，则cosC（）ABCD【分析】通过正弦定理求出，a：b：c2：3：4，设出a
13、，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可【解答】解：因为sinA：sinB：sinC2：3：4所以a：b：c2：3：4，设a2k，b3k，c4k由余弦定理可知：cosC故选：B【点评】本题是基础题，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力10（5分）若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（）A49BC14D【分析】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，由已知面积求得a，b，c的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求【解答】解：设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，解得a2，b1，c3长方体的对角线长为则长方体的外接球的半
14、径为，此长方体的外接球的表面积等于故选：C【点评】本题考查长方体外接球表面积的求法，明确长方体的对角线长为长方体外接球的直径是关键，是基础题11（5分）已知平面平面直线m平面，直线n平面，l，在下列说法中，若mn，则ml；若ml，则m；若m，则mn，正确结论的序号为（）ABCD【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断；由面面垂直的性质定理可判断；由线面垂直的性质定理可判断【解答】解：平面平面直线m平面，直线n平面，l，若mn，可得m，l可能平行，故错误；若ml，由面面垂直的性质定理可得m，故正确；若m，可得mn，故正确故选：D【点评】本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂
15、直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题12（5分）已知ABC中，AB2BC3，CA4，则BC边上的中线AM的长度为（）ABC2D【分析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求AM的长【解答】解：延长AM至D，使MDAM，连接BD、CD，如图所示；由题意知四边形ABDC是平行四边形，且满足AD2+BC22（AB2+AC2），即32+（2AM）22（22+42），解得AM，所以BC边上的中线AM的长度为故选：A【点评】本题考查了平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，是基础题二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案直接填写在答题卡和应的位置13（5分）在平
16、面直角坐标系xOy中，若直线x+ay2a+2与直线x+y+10平行，则实数a的值为1【分析】由a10，解得a经过验证即可得出【解答】解：由a10，解得a1经过验证可得：a1满足直线x+ay2a+2与直线x+y+10平行，则实数a1故答案为：1【点评】本题考查了直线的平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）如图某人在高出海平面h米的山上P处，测得海平面上航标A在正东方向，俯角为30，航标B在南偏东60，俯角45，且两个航标间的距离为200米，则h200米【分析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出h的值【解答】解：航标A在正东方向，俯角为
17、30，由题意得APC60，PAC30航标B在南偏东60，俯角为45，则有ACB30，CPB45所以BCPCh，ACh；由余弦定理知AB2BC2+AC22BCACcosACB，即40000h2+3h22hh，可求得h200（米）故答案为：200【点评】本题考查了方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，也考查了余弦定理应用问题，是中档题15（5分）一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态）这时水面与各棱交点分别为E，F，E1，F1，则的值是【分析】设k，则k，由题意得：k2，由此能求出的值【解答】解：设k，则k，由题
18、意得：k2，解得k，故答案为：【点评】本题考查两线段比值的求法，考查三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直角ABC中，直角顶点A在直线xy+60上，顶点B，C在圆x2+y210上，则点A横坐标的取值范围是4，2【分析】由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得x值，则答案可求【解答】解：如图，由题意可知，ABOC为正方形，则OA，则以O为圆心，以为半径的圆的方程为x2+y220联立，得x2+6x+80解得x4或x2点A横坐标的取值范围是4，2故答案为：4，2【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化
19、思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答趋肀指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或滨其步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线2xy0与直线x+y30的交点（1）求点P的坐标；（2）若直线l过点P，且与直线3x+2y10垂直，求直线l的方程【分析】（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（2）设与直线3x+2y10垂直的直线方程为2x3y+m0，代入点P的坐标求得m的值，可写出l的方程【解答】解：（1）由直线2xy0与直线x+y30组成方程组，得，解得，所以点P的坐标为（1，2）；（2）设与直线3x+2y10垂直的直线l
20、的方程为2x3y+m0，又直线l过点P（1，2），所以26+m0，解得m4，直线l的方程为2x3y+40【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知A30，B105，a10（1）求c；（2）求ABC的面积【分析】（1）由已知可先求C，然后结合正弦定理可求c的值；（2）利用两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（1）A30，B105，C45，a10，由正弦定理，可得：c10；（2）sin105sin（60+45）sin60cos45+cos60sin45，SABCacsinB25
21、+25【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的简单应用，属于基础试题19（12分）某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2012201320142015201620172018年份代号x1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入（附：线性回归方程bx+a中，b，ab，其中，为样本平均效）【分析】（1）由表中数据计算、，求出回归系数，得出y关于x的线性回归方程；（2）利用线性回
22、归方程计算2020年对应x9时的值，即可得出结论【解答】解：（1）由表中数据，计算（1+2+3+4+5+6+7）4，（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）4.3，（xi）（yi）3（1.4）+（2）（1）+（1）（0.7）+0+0.51+0.92+1.6314，（3）2+（2）2+（1）2+02+12+22+3228，b0.5，ab4.30.542.3，y关于x的线性回归方程为：0.5x+2.3；（2）利用线性回归方程，计算x9时，0.59+2.36.8（千元），预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题2
23、0（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA1，点N为A1B1中点，点M在边AB上（1）当点M为AB中点时，求证：C1N平面A1CM；（2）试确定点M的位置，使得AB1平面A1CM【分析】（1）推导出C1NCM，由此能证明C1N平面A1CM（2）当点M是AB中点时，推导出AA1CM，ABCM，从而CM平面AA1B1B，进而A1MCM，推导出AA1MBAB1，从而AB1A1M，由此能证明AB1平面A1CM【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，点N为A1B1中点，M为AB中点，C1NCM，C1N平面A1CM，CM平面A1CM，C1N平面A1CM解：（2）当
24、点M是AB中点时，使得AB1平面A1CM证明如下：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA1，点N为A1B1中点，点M是AB中点，AA1CM，ABCM，AA1ABA，CM平面AA1B1B，A1M平面AA1B1B，A1MCM，AB1，AA1MBAB1，AA1MBAB1，AMA1AB1B，AB1A1M，A1MCMM，AB1平面A1CM【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，6），圆C：x2+y2+10x+10y0（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准
25、方程；（2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点若AOPB，求l的方程；当ABC面积最大时，求直线l的方程【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标，由所求圆与圆C相切与原点，得到两圆心与原点三点共线，由C和原点的坐标确定出三点共线的直线方程，得到所求圆的圆心在此直线上，由线段OA为所求圆中的弦，根据垂径定理得到圆心一定在弦AO的垂直平分线上，找出线段AO的垂直平分线，联立两直线方程得出方程组，求出方程组的解得到圆心的坐标，进而利用两点间的距离公式求出圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可；（2）由题意可得OB为圆C的直径，求出B的坐标，可得直线l的方程；当直线l的斜率不存
26、在时，直线方程为x0，求出A，B的坐标，得到ABC的面积；当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx+6再设直线被圆所截弦长为2a，则圆心到直线的距离d，利用基本不等式求面积最大值，得到a值，进一步得到圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求得k，则直线方程可求【解答】解：（1）由x2+y2+10x+10y0，得（x+5）2+（y+5）250，圆C的圆心坐标（5，5），设所求圆的圆心为C1而所求圆的圆心与C、O共线，故圆心C1在直线yx上，又圆C1同时经过点O与点A（0，6），圆心C1又在直线y3上，则有：，解得：，即圆心C1的坐标为（3，3），又|OC1|，即半径r3，故所求圆C1的方程为（
27、x3）2+（y3）218；（2）由AOPB，得OB为圆C的直径，则OB过点C，OB的方程为yx，联立，解得B（10，10），直线l的斜率k，则直线l的方程为y，即8x5y+300；当直线l的斜率不存在时，直线方程为x0，此时A（0，0），B（0，10），C（5，5），；当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx+6再设直线被圆所截弦长为2a，则圆心到直线的距离d，则当且仅当a250a2，即a5时等号成立此时弦长为10，圆心到直线的距离为5，由，解得k直线方程为当ABC面积最大时，所求直线l的方程为x0或为【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能
28、力，属难题22（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6）（1）证明：cosABC+cosADC0；证明：存在点P使得PAPBPCPD并求出P的坐标；（2）过C点的直线1将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标【分析】（1）利用夹角公式可得cosABC+cosADC0；由条件知点P为四边形ABCD外接圆的圆心，根据，可得ABBC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，然后求出点P的坐标；（2）根据条件可得，然后设E的坐标为（x，y），根据，可得E的坐标【解答】解：（1）A（2，0），B（10，0），C（11，3），D（10，6），cosABC+cosADC0；由PAPBPCPD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心，ABBC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，点P的坐标为（6，3）；（2）由两点间的距离公式可得，AB8，BCCD，AD10，过C点的直线1将四边形ABCD分成周长相等的两部分，设E的坐标为（x，y），则，点E的坐标为【点评】本题考查了向量的夹角公式，向量相等，向量的运算性质，两点间的距离公式等，考查了转化思想和方程思想，属中档题