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2018-2019学年江苏省南京市秦淮区高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年江苏省南京市秦淮区高一(下)期末数学试卷一、填空题(每题5分,共50分)1(5分)sin14cosl6+cos14sinl6的值是 2(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2a2bc,则A 3(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1的各条棱中,棱所在直线与直线AA1异面的有 条4(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a8,b5,C60,则ABC的面积为 5(5分)已知某圆锥底面直径为2,侧面展开图扇形的圆心角为,则该圆锥体积为 6(5分)在ABC中,cosA,tanB,则C的值是 7(5分)已知sin(),则sin(2

2、+)的值为 8(5分)一个正六棱锥的体积是4,底面边长为2,则该六棱锥的侧面积是 9(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a2b,则 10(5分)在ABC中,若sinC2cosAcosB,则tanAtanB的取值范围为 二、选择题(每题5分,共20分)11(5分)设0x,则+()A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx12(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a2bcosC,则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形13(5分)已知,为平面,l,m,n为直线,则下列哪个条件能推出l()A,n,1nB,l

3、Cm,m,lD,l,14(5分)一个四面体的所有棱长都是,四个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为()A3B4C3D6三、解答题(本大题共6小题,共90分)15(14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a3,b1,C60(1)求c;(2)求sinA16(14分)如图,在正三棱锥PABC中,E,F,G分别为线段PA,PB,BC的中点(1)求证:EF平面ABC;(2)求证:BC平面PAG17(14分)已知(0,),sin(1)求sin2的值;(2)求cos(2)的值18(16分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为BC,A1B1的中点(1)求证:ADB1C;(

4、2)求证:B1C平面AEC119(16分)(1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,证明余弦定理:a2b2+c22bcosA;(2)长江某地南北岸平行,如图所示,江面宽度d1km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度V110km/h,水流速度V24km/h设V1和V2的夹角为(0180),北岸的点A1在点A的正北方向当cos多大时,游船能到达A1处,需要航行多少时间;当120时,判断游船航行到达北岸的位置在A1的左侧还是右侧,并说明理由20(16分)如图,在ABC中,已知AB4,A,D是线段AC延长线上一点,CBD,设ABC的大小为,记BCD的面积关于的

5、函数为f()(1)求f()解析式和定义域;(2)求f()最小值2018-2019学年江苏省南京市秦淮区高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每题5分,共50分)1(5分)sin14cosl6+cos14sinl6的值是【分析】本题可用两角和的正弦函数对sin14cos16+cos14sin16,再利用特殊角的三角函数求值【解答】解:由题意sin14cos16+cos14sin16sin30故答案为:【点评】本题考查两角和与并的正弦函数,解题的关键是熟记两角和与差的正弦函数公式,及特殊角的三角函数值,本题是基本公式考查题2(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若

6、b2+c2a2bc,则A【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解:,cosA,A(0,),A故答案为:【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题3(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1的各条棱中,棱所在直线与直线AA1异面的有4条【分析】根据题意画出图形,结合图形写出棱所在直线与直线AA1是异面直线的条数【解答】解:如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,棱所在直线BC、B1C1、CD和C1D1与直线AA1是异面直线,共有4条故答案为:4【点评】本题考查了异面直线的应用问题,是基础题4(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a8,b

7、5,C60,则ABC的面积为10【分析】运用三角形的面积公式SabsinC,代入计算可得所求值【解答】解:a8,b5,C60,可得ABC的面积SabsinC85sin602010故答案为:10【点评】本题考查三角形的面积公式,考查运算能力,属于基础题5(5分)已知某圆锥底面直径为2,侧面展开图扇形的圆心角为,则该圆锥体积为【分析】由已知利用弧长公式求得圆锥的母线长,进一步求出圆锥的高,代入圆锥体积公式求解【解答】解:圆锥底面直径为2,侧面展开图扇形的圆心角为,该圆锥的母线长为l,高h,底面积S该圆锥体积为V故答案为:【点评】本题考查圆锥体积的求法,考查弧长公式的应用,是基础题6(5分)在ABC

8、中,cosA,tanB,则C的值是【分析】由已知分别求得sinA,sinB,cosB的值,再由诱导公式及两角和的余弦求解【解答】解:在ABC中,由cosA,得sinA,由tanB,得,解得sinB,cosBcosCcos(A+B)sinAsinBcosAcosB0C,C故答案为:【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题7(5分)已知sin(),则sin(2+)的值为【分析】由已知结合sin(2+)sin+,然后展开倍角公式求解【解答】解:sin(),sin(2+)sin+cos故答案为:【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查诱导公式及倍角公式的应用,

9、是基础题8(5分)一个正六棱锥的体积是4,底面边长为2,则该六棱锥的侧面积是6【分析】根据体积公式求出高h,利用其性质求出侧面的高h,再利用三角形的面积公式求解即可【解答】解:正六棱锥体积为4,底面边长为2,底面面积为6,V4,棱锥的高h2,侧棱长为:2,它的侧面积为626故答案为:6【点评】本题考察了空间几何体的体积,面积问题,属于计算题,难度不大9(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a2b,则【分析】运用二倍角的余弦公式和正弦定理,即可得到所求值【解答】解:3a2b,即为,121故答案为:【点评】本题考查正弦定理和二倍角的余弦公式,考查化简整理的运算能力,属于基础

10、题10(5分)在ABC中,若sinC2cosAcosB,则tanAtanB的取值范围为(0,1【分析】由已知可得tanA+tanB2,且A和B均为锐角,则tanA(0,2),得到tanAtanBtanA(2tanA)(0,1【解答】解:由2cosAcosBsinCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinB,可得tanA+tanB2,且A和B均为锐角,tanA(0,2),tanAtanBtanA(2tanA)(0,1当tanAtanB1时取最大值故答案为:(0,1【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题二、选择题(每题5分,共20分)11(5分)设

11、0x,则+()A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx【分析】由角的范围及三角函数的图象可得cosxsinx0,去根号即可求解【解答】解:+|sinx+cosx|+|sinxcosx|,又0x,cosxsinx0,+2cosx故选:B【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质,考查了转化思想,属于基础题12(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a2bcosC,则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和,两角和的正弦函数化简a2bcosC,求出B与C的关系,即可判断三角形的形状【解答】解:a

12、2bcosC,由正弦定理可知,sinA2sinBcosC,因为A+B+C,所以sin(B+C)2sinBcosC,所以sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC,sin(BC)0,BCk,kZ,因为A、B、C是三角形内角,所以BC三角形是等腰三角形故选:A【点评】本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用,考查计算能力,属于基础题13(5分)已知,为平面,l,m,n为直线,则下列哪个条件能推出l()A,n,1nB,lCm,m,lD,l,【分析】A,未说明l;B,垂直同一平面的各平面的位置关系不确定;C,可确定,则l;D,垂直同一平面的各平面的位置关系不确定【解答】解:对

13、于A,未说明l,故错误;对于B,垂直同一平面的各平面的位置关系不确定,故错误;对于C,可确定,则l,故正确;对于D,垂直同一平面的各平面的位置关系不确定,故错误;故选:C【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系,属于中档题14(5分)一个四面体的所有棱长都是,四个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为()A3B4C3D6【分析】把这个正四面体置于一个正方体中,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,由四个顶点A1、B、C1、D组成的四面体的所有棱长均为,从而四面体的外接球就是正方体的外接球,由此能求出结果【解答】解:一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,把这个正四面体置于一个正

14、方体中,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,由四个顶点A1、B、C1、D组成的四面体的所有棱长均为,从而四面体的外接球就是正方体的外接球,由于正方体的体对角线长为,球的半径为R,此球表面积S4R23故选:A【点评】本题考查球的表面积的求法,考查四面体、球的性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是中档题三、解答题(本大题共6小题,共90分)15(14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a3,b1,C60(1)求c;(2)求sinA【分析】(1)根据题意,由余弦定理可得c2a2+b22abcosC9+137,变形可得答案;

15、(2)根据题意,由正弦定理,变形可得sinA,代入数据计算可得答案【解答】解:(1)根据题意,在ABC中,a3,b1,C60,则c2a2+b22abcosC9+137,则c;(2)由(1)的结论,c,又由,变形可得sinA【点评】本题考查三角形中的几何计算,涉及正弦、余弦定理的应用,属于基础题16(14分)如图,在正三棱锥PABC中,E,F,G分别为线段PA,PB,BC的中点(1)求证:EF平面ABC;(2)求证:BC平面PAG【分析】(1)在ABP中,由中位线可知EFAB即可证明EF平面ABC;(2)由AGBC,PGBC,可证明BC平面PAG【解答】解(1)在ABP中,由中位线可知EFABE

16、F面ABC,AB平面ABC,EF平面ABC;(2)由正三棱锥可知,ABC,PBC均为等腰三角形G为线段BC的中点AGBC,PGBC,且AGPGG,AG、PG面PAG,BC平面PAG【点评】本题考查了空间线面平行,线面垂直的判定,属于中档题17(14分)已知(0,),sin(1)求sin2的值;(2)求cos(2)的值【分析】(1)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos,再由倍角公式求得sin2的值;(2)求出cos2的值,然后展开两角差的余弦求cos(2)的值【解答】解:(1)由(0,),sin,得cos,sin22sin;(2)sinsin45,且(0,),(0,),2(0,),cos2

17、cos()coscos2+sinsin2【点评】本题考查两角和与差的三角函数,考查倍角公式及两角差的余弦,是基础题18(16分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为BC,A1B1的中点(1)求证:ADB1C;(2)求证:B1C平面AEC1【分析】(1)根据线面垂直的性质定理证明ADCB1即可(2)根据线面平行的判定定理证明B1CAEC1即可,【解答】解:(1)由正三棱柱可知,BB1面ABC,BB1AD在ABC中,由中线可得BCAD,且BCBB1B,BCBB1平面BCC1B1,AD平面BCC1B1,ADB1C(2)连接A1C交AC1于O,连接OE在A1B1C中,由中位线可知B1CO

18、E,且B1C平面AEC1,OE平面AEC1B1C平面AEC1【点评】本题考查了空间线线垂直线面、线面平行的判定,属于中档题19(16分)(1)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,证明余弦定理:a2b2+c22bcosA;(2)长江某地南北岸平行,如图所示,江面宽度d1km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度V110km/h,水流速度V24km/h设V1和V2的夹角为(0180),北岸的点A1在点A的正北方向当cos多大时,游船能到达A1处,需要航行多少时间;当120时,判断游船航行到达北岸的位置在A1的左侧还是右侧,并说明理由【分析】(1)在ABC中,

19、从而证明余弦定理;(2)若游船能到A1处,则有v2v1cos(180),求出cos,然后求出时间t即可;120时,游船水平方向的速度大小为v1cos(180)v2然后确定方向即可【解答】解:(1)向量法证余弦定理:在ABC中,两边平方可得:,即a2b2+c22bccosA,余弦定理得证;(2)若游船能到A1处,则有v2v1cos(180),则有,此时游船垂直江岸方向的速度,时间,答:时,需要航行;120时,游船水平方向的速度大小为v1cos(180)v21km/h方向水平向左,故最终到达北岸时游船在A1点的左侧【点评】本题考查了三角形的实际应用和余弦定理的证明,考查了计算能力,属中档题20(16分)如图,在ABC中,已知AB4,A,D是线段AC延长线上一点,CBD,设ABC的大小为,记BCD的面积关于的函数为f()(1)求f()解析式和定义域;(2)求f()最小值【分析】(1)由题意可得ACB135,DCB45+,BDC90,运用正弦定理和三角形的面积公式,可得所求;(2)由正弦函数的值域,即可得到所求最小值【解答】解:(1)由题意可得ACB135,DCB45+,BDC90,BC,BD,则f()BCCDsin45,可得f(),(0,);(2)当sin(2+)1即时,f()有最小值,且为88【点评】本题考查三角形的正弦定理,考查三角函数的恒等变换,考查化简运算能力,属于中档题