1、2018-2019学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷一、填空题（每题5分，共50分）1（5分）sin14cosl6+cos14sinl6的值是 2（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2a2bc，则A 3（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1的各条棱中，棱所在直线与直线AA1异面的有 条4（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a8，b5，C60，则ABC的面积为 5（5分）已知某圆锥底面直径为2，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥体积为 6（5分）在ABC中，cosA，tanB，则C的值是 7（5分）已知sin（），则sin（2
2、+）的值为 8（5分）一个正六棱锥的体积是4，底面边长为2，则该六棱锥的侧面积是 9（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a2b，则 10（5分）在ABC中，若sinC2cosAcosB，则tanAtanB的取值范围为 二、选择题（每题5分，共20分）11（5分）设0x，则+（）A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx12（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a2bcosC，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形13（5分）已知，为平面，l，m，n为直线，则下列哪个条件能推出l（）A，n，1nB，l
3、Cm，m，lD，l，14（5分）一个四面体的所有棱长都是，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6三、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a3，b1，C60（1）求c；（2）求sinA16（14分）如图，在正三棱锥PABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：BC平面PAG17（14分）已知（0，），sin（1）求sin2的值；（2）求cos（2）的值18（16分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，A1B1的中点（1）求证：ADB1C；（
4、2）求证：B1C平面AEC119（16分）（1）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，证明余弦定理：a2b2+c22bcosA；（2）长江某地南北岸平行，如图所示，江面宽度d1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度V110km/h，水流速度V24km/h设V1和V2的夹角为（0180），北岸的点A1在点A的正北方向当cos多大时，游船能到达A1处，需要航行多少时间；当120时，判断游船航行到达北岸的位置在A1的左侧还是右侧，并说明理由20（16分）如图，在ABC中，已知AB4，A，D是线段AC延长线上一点，CBD，设ABC的大小为，记BCD的面积关于的
5、函数为f（）（1）求f（）解析式和定义域；（2）求f（）最小值2018-2019学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共50分）1（5分）sin14cosl6+cos14sinl6的值是【分析】本题可用两角和的正弦函数对sin14cos16+cos14sin16，再利用特殊角的三角函数求值【解答】解：由题意sin14cos16+cos14sin16sin30故答案为：【点评】本题考查两角和与并的正弦函数，解题的关键是熟记两角和与差的正弦函数公式，及特殊角的三角函数值，本题是基本公式考查题2（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若
6、b2+c2a2bc，则A【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：，cosA，A（0，），A故答案为：【点评】本题考查了余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1的各条棱中，棱所在直线与直线AA1异面的有4条【分析】根据题意画出图形，结合图形写出棱所在直线与直线AA1是异面直线的条数【解答】解：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱所在直线BC、B1C1、CD和C1D1与直线AA1是异面直线，共有4条故答案为：4【点评】本题考查了异面直线的应用问题，是基础题4（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a8，b
7、5，C60，则ABC的面积为10【分析】运用三角形的面积公式SabsinC，代入计算可得所求值【解答】解：a8，b5，C60，可得ABC的面积SabsinC85sin602010故答案为：10【点评】本题考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于基础题5（5分）已知某圆锥底面直径为2，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥体积为【分析】由已知利用弧长公式求得圆锥的母线长，进一步求出圆锥的高，代入圆锥体积公式求解【解答】解：圆锥底面直径为2，侧面展开图扇形的圆心角为，该圆锥的母线长为l，高h，底面积S该圆锥体积为V故答案为：【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查弧长公式的应用，是基础题6（5分）在ABC
8、中，cosA，tanB，则C的值是【分析】由已知分别求得sinA，sinB，cosB的值，再由诱导公式及两角和的余弦求解【解答】解：在ABC中，由cosA，得sinA，由tanB，得，解得sinB，cosBcosCcos（A+B）sinAsinBcosAcosB0C，C故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题7（5分）已知sin（），则sin（2+）的值为【分析】由已知结合sin（2+）sin+，然后展开倍角公式求解【解答】解：sin（），sin（2+）sin+cos故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查诱导公式及倍角公式的应用，
9、是基础题8（5分）一个正六棱锥的体积是4，底面边长为2，则该六棱锥的侧面积是6【分析】根据体积公式求出高h，利用其性质求出侧面的高h，再利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：正六棱锥体积为4，底面边长为2，底面面积为6，V4，棱锥的高h2，侧棱长为：2，它的侧面积为626故答案为：6【点评】本题考察了空间几何体的体积，面积问题，属于计算题，难度不大9（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a2b，则【分析】运用二倍角的余弦公式和正弦定理，即可得到所求值【解答】解：3a2b，即为，121故答案为：【点评】本题考查正弦定理和二倍角的余弦公式，考查化简整理的运算能力，属于基础
10、题10（5分）在ABC中，若sinC2cosAcosB，则tanAtanB的取值范围为（0，1【分析】由已知可得tanA+tanB2，且A和B均为锐角，则tanA（0，2），得到tanAtanBtanA（2tanA）（0，1【解答】解：由2cosAcosBsinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，可得tanA+tanB2，且A和B均为锐角，tanA（0，2），tanAtanBtanA（2tanA）（0，1当tanAtanB1时取最大值故答案为：（0，1【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题二、选择题（每题5分，共20分）11（5分）设
11、0x，则+（）A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx【分析】由角的范围及三角函数的图象可得cosxsinx0，去根号即可求解【解答】解：+|sinx+cosx|+|sinxcosx|，又0x，cosxsinx0，+2cosx故选：B【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题12（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a2bcosC，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状【解答】解：a
12、2bcosC，由正弦定理可知，sinA2sinBcosC，因为A+B+C，所以sin（B+C）2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC2sinBcosC，sin（BC）0，BCk，kZ，因为A、B、C是三角形内角，所以BC三角形是等腰三角形故选：A【点评】本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题13（5分）已知，为平面，l，m，n为直线，则下列哪个条件能推出l（）A，n，1nB，lCm，m，lD，l，【分析】A，未说明l；B，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定；C，可确定，则l；D，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定【解答】解：对
13、于A，未说明l，故错误；对于B，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；对于C，可确定，则l，故正确；对于D，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误；故选：C【点评】本题考查了空间线面、面面位置关系，属于中档题14（5分）一个四面体的所有棱长都是，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A3B4C3D6【分析】把这个正四面体置于一个正方体中，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，由四个顶点A1、B、C1、D组成的四面体的所有棱长均为，从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由此能求出结果【解答】解：一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，把这个正四面体置于一个正
14、方体中，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，由四个顶点A1、B、C1、D组成的四面体的所有棱长均为，从而四面体的外接球就是正方体的外接球，由于正方体的体对角线长为，球的半径为R，此球表面积S4R23故选：A【点评】本题考查球的表面积的求法，考查四面体、球的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a3，b1，C60（1）求c；（2）求sinA【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得c2a2+b22abcosC9+137，变形可得答案；
15、（2）根据题意，由正弦定理，变形可得sinA，代入数据计算可得答案【解答】解：（1）根据题意，在ABC中，a3，b1，C60，则c2a2+b22abcosC9+137，则c；（2）由（1）的结论，c，又由，变形可得sinA【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于基础题16（14分）如图，在正三棱锥PABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：BC平面PAG【分析】（1）在ABP中，由中位线可知EFAB即可证明EF平面ABC；（2）由AGBC，PGBC，可证明BC平面PAG【解答】解（1）在ABP中，由中位线可知EFABE
16、F面ABC，AB平面ABC，EF平面ABC；（2）由正三棱锥可知，ABC，PBC均为等腰三角形G为线段BC的中点AGBC，PGBC，且AGPGG，AG、PG面PAG，BC平面PAG【点评】本题考查了空间线面平行，线面垂直的判定，属于中档题17（14分）已知（0，），sin（1）求sin2的值；（2）求cos（2）的值【分析】（1）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos，再由倍角公式求得sin2的值；（2）求出cos2的值，然后展开两角差的余弦求cos（2）的值【解答】解：（1）由（0，），sin，得cos，sin22sin；（2）sinsin45，且（0，），（0，），2（0，），cos2
17、cos（）coscos2+sinsin2【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查倍角公式及两角差的余弦，是基础题18（16分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，A1B1的中点（1）求证：ADB1C；（2）求证：B1C平面AEC1【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明ADCB1即可（2）根据线面平行的判定定理证明B1CAEC1即可，【解答】解：（1）由正三棱柱可知，BB1面ABC，BB1AD在ABC中，由中线可得BCAD，且BCBB1B，BCBB1平面BCC1B1，AD平面BCC1B1，ADB1C（2）连接A1C交AC1于O，连接OE在A1B1C中，由中位线可知B1CO
18、E，且B1C平面AEC1，OE平面AEC1B1C平面AEC1【点评】本题考查了空间线线垂直线面、线面平行的判定，属于中档题19（16分）（1）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，证明余弦定理：a2b2+c22bcosA；（2）长江某地南北岸平行，如图所示，江面宽度d1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度V110km/h，水流速度V24km/h设V1和V2的夹角为（0180），北岸的点A1在点A的正北方向当cos多大时，游船能到达A1处，需要航行多少时间；当120时，判断游船航行到达北岸的位置在A1的左侧还是右侧，并说明理由【分析】（1）在ABC中，
19、从而证明余弦定理；（2）若游船能到A1处，则有v2v1cos（180），求出cos，然后求出时间t即可；120时，游船水平方向的速度大小为v1cos（180）v2然后确定方向即可【解答】解：（1）向量法证余弦定理：在ABC中，两边平方可得：，即a2b2+c22bccosA，余弦定理得证；（2）若游船能到A1处，则有v2v1cos（180），则有，此时游船垂直江岸方向的速度，时间，答：时，需要航行；120时，游船水平方向的速度大小为v1cos（180）v21km/h方向水平向左，故最终到达北岸时游船在A1点的左侧【点评】本题考查了三角形的实际应用和余弦定理的证明，考查了计算能力，属中档题20（16分）如图，在ABC中，已知AB4，A，D是线段AC延长线上一点，CBD，设ABC的大小为，记BCD的面积关于的函数为f（）（1）求f（）解析式和定义域；（2）求f（）最小值【分析】（1）由题意可得ACB135，DCB45+，BDC90，运用正弦定理和三角形的面积公式，可得所求；（2）由正弦函数的值域，即可得到所求最小值【解答】解：（1）由题意可得ACB135，DCB45+，BDC90，BC，BD，则f（）BCCDsin45，可得f（），（0，）；（2）当sin（2+）1即时，f（）有最小值，且为88【点评】本题考查三角形的正弦定理，考查三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题