1、2017-2018学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合A1，2，3，4，B2，4，6，则AB（）A2B2，4C2，4，6D1，2，3，4，62（4分）已知是第二象限角，且，则cos的值是（）ABCD3（4分）下列各式不正确的是（）Asin（+）sinBcos（+）cos（）Csin（2）sinDcos（）cos（+）4（4分）在下列各组函数中，两个函数相等的是（）Af（x）与g（x）Bf（x）与g（x）Cf（x）2x，x0，1，2，3与g（x）Df（x）|x|与g（x）5（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函
2、数，且当x0时，f（x）ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）ABCD6（4分）设lg2a，lg3b，则log1210（）ABC2a+bDa+2b7（4分）设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x）16x+5，则f（x）（）ABC4x1D4x+18（4分）若1a0，则下列不等式成立的是（）ABCD9（4分）对于任意实数a，b，定义：，若函数f（x）x2，g（x）x+2，则函数G（x）F（f（x），g（x）的最小值为（）A0B1C2D410（4分）已知函数f（x），函数g（x）bf（2x），其中bR，若函数yf（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C
3、（0，）D（，2）二、填空题（共7个小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11（6分）已知函数，f（1） ，若f（f（0）4a，则a 12（6分）函数的定义域是 ，值域是 13（6分）函数f（x）ax+1（a0，a1）的图象恒过点 ；若对数函数g（x）logbx（b0，b1）的图象经过点（4，2），则b 14（6分）已知角的终边过点P（8m，6sin30），且cos，则m的值为 ，sin 15（4分）已知tan2，则4sin23sincos5cos2
4、; 16（4分）已知函数y（x2+bx4）logax（a0且a1）若对任意x0，恒有y0，则ba的取值范围是 17（4分）设函数f（x）ax2+x已知f（3）f（4），且当n8，nN*时，f（n）f（n+1）恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题（共5个小题，共74分）18（14分）计算：（1）；（2）19（15分）已知函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，且（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x0，3）时，求使f（x）取到最大值的所有x的和20（15分）Ax|x22x80，Bx|x2+2x30，Cx|x23ax+2a20，（1）求AB（2）试求实数a的取值范
5、围，使C（AB）21（15分）已知函数（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x（n，a2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+），若存在，求出实数a和n的值，若不存在，说明理由22（15分）已知二次函数f（x）ax2+bx，（a，b为常数，且a0）满足条件f（2x）f（x1），且方程f（x）x有两个相等的实根（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）kx+1，若F（x）g（x）f（x），求F（x）在1，2上的最小值；（3）是否存在实数m，n（mn），使f（x）的定义域和值域分别为m，n与2m，2n，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由2017-2018学年浙江省宁波市
6、诺丁汉大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1（4分）已知集合A1，2，3，4，B2，4，6，则AB（）A2B2，4C2，4，6D1，2，3，4，6【分析】直接由A1，2，3，4，B2，4，6得出公共元素为2，4，即可得出结论【解答】解：因为A1，2，3，4B2，4，6所以其公共元素为2，4AB2，4故选：B【点评】本题考查两个集合的交集的求法，属于基础题两个集合的交集是有两个集合的公共元素组成的集合，所以在做题时，只要求出两个集合的公共元素即可2（4分）已知是第二象限角，且，则cos的值是（）ABCD【分析】利用各象限的三角函数值的符
7、号与同角三角函数的平方关系，结合题中数据加以计算，可得cos的值【解答】解：是第二象限角，且，由sin2+cos21，可得cos故选：A【点评】本题给出角的正弦值，在已知是第二象限角的情况下求的余弦值着重考查了任意角三角函数的定义和同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题3（4分）下列各式不正确的是（）Asin（+）sinBcos（+）cos（）Csin（2）sinDcos（）cos（+）【分析】应用诱导公式逐个判断即可做出解答【解答】解：由诱导公式可知sin（+）sin，A正确cos（+）cos（）cos（），B错误sin（2）sin（+2）sin，C正确cos（）cos（+）cos（+）
8、 D正确综上所述，错误的是B故选：B【点评】本题考查诱导公式的正确应用，属于基础题4（4分）在下列各组函数中，两个函数相等的是（）Af（x）与g（x）Bf（x）与g（x）Cf（x）2x，x0，1，2，3与g（x）Df（x）|x|与g（x）【分析】根据两个函数的对应关系相同，定义域也相同，即可判断这两个函数是相等的函数【解答】解：对于A，f（x）x的定义域是R，g（x）|x|的定义域是R，但对应关系不同，所以两个函数不相等；对于B，y的定义域是（，11，+），g（x）的定义域是1，+），定义域不同，所以这两个函数不相等；对于C，x0，1，2，3时，f（x）2x1，2，4，8，g（x）+
9、x+11，2，4，7，所以这两个函数不是相等的函数；对于D，f（x）|x|，g（x），两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和对应法则应用问题，根据函数的对应法则和定义域就可确定一个函数，是基础题目5（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）ABCD【分析】根据当x0时，f（x）ln（x+1）的图象经过点（0，0），且函数在（0，+）上缓慢增长再根据此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象【解答】解：先作出当x0时，f（x）ln（x+1）的图象，显然图象经过点（
10、0，0），且在（0，+）上缓慢增长再把此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象，如图C所示，故选：C【点评】本题主要考查函数的图象特征，偶函数的性质，属于中档题6（4分）设lg2a，lg3b，则log1210（）ABC2a+bDa+2b【分析】直接由对数的换底公式求解【解答】解：lg2a，lg3b，log1210故选：A【点评】本题考查了对数的运算性质，考查换底公式的应用，是基础题7（4分）设函数f（x）是单调递增的一次函数，满足f（f（x）16x+5，则f（x）（）ABC4x1D4x+1【分析】设f（x）ax+b，a0，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得f（x）的解析式
11、【解答】解：f（x）单调递增的一次函数，设f（x）ax+b，a0，ff（x）a（ax+b）+ba2x+ab+b16x+5，a216，ab+b5，解得a4，b1或a4，b（不合题意舍去），f（x）4x+1；故选：D【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，是一道基础题8（4分）若1a0，则下列不等式成立的是（）ABCD【分析】可结合指数函数的图象直接比较大小也可以利用指数函数和幂函数的单调性进行比较【解答】解：在同一坐标系中画出y2x、y和y（0.2）x，如图所示，当1a0，故选：C【点评】本题考查比较大小知识，同时考查函数性质和图象的应用、数形结合思想9（4分）对于任意实数a，b
12、，定义：，若函数f（x）x2，g（x）x+2，则函数G（x）F（f（x），g（x）的最小值为（）A0B1C2D4【分析】根据新定义，求解F（x）的解析式，即可求解函数G（x）最小值【解答】解：由题意F（x），可得：F（x）作出图象如下：从图象不难看出：函数G（x）F（f（x），g（x）的最小值为1故选：B【点评】本题主要考查函数最值的求解，新定义的理解和不等式的计算数形结合是解题非常方便一种10（4分）已知函数f（x），函数g（x）bf（2x），其中bR，若函数yf（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）【分析】求出函数yf（x）g（x）的表达式，
13、构造函数h（x）f（x）+f（2x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）bf（2x），yf（x）g（x）f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）0，得f（x）+f（2x）b，设h（x）f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）f（x）+f（2x）2+x+x2，若0x2，则2x0，02x2，则h（x）f（x）+f（2x）2x+2|2x|2x+22+x2，若x2，x2，2x0，则h（x）f（x）+f（2x）（x2）2+2|2x|x25x+8即h（x），作出函数h（x）的图象如图：当x0时，h（x）2+x+x2（x+）2+，当x2时，h（x）x
14、25x+8（x）2+，故当b时，h（x）b，有两个交点，当b2时，h（x）b，有无数个交点，由图象知要使函数yf（x）g（x）恰有4个零点，即h（x）b恰有4个根，则满足b2，故选：D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题（共7个小题，11-14每小题6分，15-17每小题6分，共36分）11（6分）已知函数，f（1）1，若f（f（0）4a，则a2【分析】由已知中函数，将x1，0，代入可得答案【解答】解：函数，f（1）1，f（f（0）f（2）4+2a4a，解得：a2，故答案为：1，2【点评】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的
15、应用，难度不大，属于基础题12（6分）函数的定义域是2，+），值域是1，+）【分析】根据开偶数方根时，被开方数大于等于0可得定义域，结合指数函数的性质可得值域【解答】解：由题意：x20，解得：x2故得定义域为2，+）由，f（x）是递增函数，值域为1，+）故答案为：2，+）；1，+）【点评】本题考查指数函数的定义域和值域的求法，利用指数函数的单调性，属于函数函数性质应用题，较容易13（6分）函数f（x）ax+1（a0，a1）的图象恒过点（0，2）；若对数函数g（x）logbx（b0，b1）的图象经过点（4，2），则b2【分析】令指数函数的幂指数等于零，求得x、y的值，可得数函数的图象经过定点的坐
16、标；令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得对数函数的图象经过定点的坐标【解答】解：令x0，求得f（x）2，可得函数f（x）ax+1（a0，a1）的图象恒过点（0，2）；根据对数函数g（x）logbx（b0，b1）的图象经过点（4，2），可得logb42，即b24，b2，故答案为：（0，2）；2【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的图象经过定点问题，属于基础题14（6分）已知角的终边过点P（8m，6sin30），且cos，则m的值为，sin【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值，可得sin【解答】解：由题意可得x8m，y6sin303，r|OP|，cos，解得m，sin故答案为
17、：，【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题15（4分）已知tan2，则4sin23sincos5cos21【分析】把原式整理成的形式，进而分子分母同时除以cos2，把tan的值代入即可【解答】解：4sin23sincos5cos21故答案为：1【点评】本题主要考查了弦切互化的问题以及同角三角函数的基本关系的应用解题的关键是构造出关于tan的形式16（4分）已知函数y（x2+bx4）logax（a0且a1）若对任意x0，恒有y0，则ba的取值范围是（1，3）【分析】分类讨论a的范围，把y0转化为的符号的判断问题即可求解【解答】解：设g（x）x2+bx4，若0a1，当0x1时，易知
18、logax0，故问题可转化为g（x）0在（0，1）上恒成立，则有g（0）0，g（1）b30，解得：b3；当x1时，logax0，此时不等式可转化为g（x）0在1，+）上恒成立，g（1）b30，即b3，b3，0a1，1ba3，若a1，当0x1时，logax0，故g（x）0恒成立，但g（0）40，故不成立；由此可知当a1时，不等式不可能恒成立综上可知ba（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了不等式恒成立问题以及分类讨论的思想方法通过分类讨论把问题转化为二次不等式问题是解题关键属于中档题17（4分）设函数f（x）ax2+x已知f（3）f（4），且当n8，nN*时，f（n）f（n+1）恒成立
19、，则实数a的取值范围是（）【分析】通过函数恒成立判断a的符号，利用f（8）f（9），f（3）f（4），求解即可【解答】解：当n8，nN*时，f（n）f（n+1）恒成立，a0，此时，f（n）f（n+1）恒成立，等价于f（8）f（9），即64a+881a+9，解得af（3）f（4），9a+316a+4解得a，即a（）故答案为：（）【点评】本题考查二次函数恒成立问题的应用，考查分析问题解决问题的能力、三、解答题（共5个小题，共74分）18（14分）计算：（1）；（2）【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质求解即可；（2）直接由对数的运算性质求解即可【解答】解：（1）；（2）【点评】本题考查了有理指
20、数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题19（15分）已知函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，且（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x0，3）时，求使f（x）取到最大值的所有x的和【分析】（1）由周期求出，由特殊点坐标求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调增区间（2）（2）当x0，3）时，利用正弦函数的定义域和值域，求得使f（x）取到最大值的所有x，从而得出结论【解答】解：（1）由题意得，即T，2，由得，即，又，所以，由，可求单调增区间为（2）当x0，3）时，所以当，即时，f（x）取到最大值，所以使f（x）取到最大值的所有x的和为【点评】本题主要考
21、查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点坐标求出的值，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题20（15分）Ax|x22x80，Bx|x2+2x30，Cx|x23ax+2a20，（1）求AB（2）试求实数a的取值范围，使C（AB）【分析】（1）分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A与B的交集即可；（2）分a0，a小于0以及a大于0三种情况，分别求出集合C中不等式的解集，根据C为A与B交集的子集判断即可确定出a的范围【解答】解：（1）依题意得：Ax|x22x80x|2x4，Bx|x2+2x30x|x1或x3，ABx|1x4；（2）分三种情况考虑：
22、当a0时，C，符合C（AB）；当a0时，Cx|ax2a，要使C（AB），则有，解得：1a2；当a0时，Cx|2axa，显然a0，C不为AB的子集，不合题意，舍去，综上，a的范围是1a2或a0【点评】此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键21（15分）已知函数（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x（n，a2）时，是否存在实数a和n，使得函数f（x）的值域为（1，+），若存在，求出实数a和n的值，若不存在，说明理由【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义进行证明（2）根据存在性问题，先假设存在，进一步利用分类讨论思想进行应用【解答】解：（1）f（x）的定义域
23、为x|x1或x1关于原点对称，又，f（x）为奇函数（2）令，即，x（n，a2）当a1时，要使f（x）的值域为（1，+），则须t（a，+），令，解得所以故有当0a1时，t（0，a），则，所以不满足综上所述，存在实数，当x（n，a2）时，函数f（x）的值域为（1，+）【点评】本题考查的知识要点：函数的性质奇偶性的应用存在性问题的应用分类讨论的应用22（15分）已知二次函数f（x）ax2+bx，（a，b为常数，且a0）满足条件f（2x）f（x1），且方程f（x）x有两个相等的实根（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）kx+1，若F（x）g（x）f（x），求F（x）在1，2上的最小值；（3）是否存
24、在实数m，n（mn），使f（x）的定义域和值域分别为m，n与2m，2n，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由【分析】（1）结合一元二次函数的图形特征，列出与0；（2）根据对称轴与区间的关系来分类讨论；（3）观察图形知2nn； f（x）在m，n上单调递增 【解答】解：（1）由题意知f（x）ax2+bx关于x对称ax2+bxx有两个相等的实根，0 所以，f（x）x2+x；（2）F（x）kx+1+x2xx2+（k1）x+1F（x）的对称轴为：x当1时，F（x）minF（1）k+1当 12时，当2 时，F（x）minF（2）2k+3F（x）min（3）f（x）x2+x（x）2+2nnf（x）在m，n上单调递增mn【点评】本题主要考查了一元二次函数的性质，分类讨论区间与对称轴的关系，属中等题