1、2017-2018学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若集合U1，2，3，4，5，6，7，A1，3，4，7，B1，2，4，6，7，则U（AB）（）A3，6B5C2，3，5，6D1，2，3，4，5，6，72（4分）下列函数中，在定义域内单调递增的是（）Aylog0.5xBysinxCy2xDytanx3（4分）若幂函数f（x）x的图象过点（4，2），则f（9）的值为（）A1B3C3D34（4分）若角的终边经过点P（1，1），则（）Atan1Bsin1CD5（4分）在ABC中，点D为
2、边AB的中点，则向量（）ABCD6（4分）下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）ABCD7（4分）函数的图象大致是（）ABCD8（4分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且exf（x）+g（x），则f（x）（）ABCD9（4分）对于非零向量，定义运算“”：|sin，其中为，的夹角设，为非零向量，则下列说法错误的是（）AB（+）+C若0，则D（）10（4分）已知，且，则（）AB0CD二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11（6分）已知log23a，则log29 （用a表示），2a 12（6分）已知A（1，1），B（3，3），a（1，m
3、），且，则 ，m 13（6分）已知函数f（x）2sin（x+）一部分图象如图所示，则 ，函数f（x）的图象可以由g（x）2sinx的图象向左平移至少 个单位得到14（6分）f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）2x，且关于x的方程f（x）24f（x）+a0在R上有三个不同的实数根，则f（1） ，a 15（6分）弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长的度量单位已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是 16（6分）已知向量，的夹角为，（0，1），|2，则|2| 17（6分）函数f（x），若存在x1x2，使得f（x1）f
4、（x2），则x1f（x1）的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知集合Ax|3xa，aR，By|y3x+4，xA，Cz|zx2，xA（）若a0，求AB；（）若a3，且BCB，求a的取值范围19（14分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）若，求函数f（x）的最大值以及取得最大值时x的值20（14分）如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，（）求的值；（）若点P在线段AB及BC上运动，求的最大值21（12分）已知，（）求cos（+）的值；（）是否存在，使得下列两个式子：；同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说
5、明理由22（14分）已知函数f（x）log2（x+1），g（x）x|xa|（）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；（）对任意x11，+），总存在唯一的x22，+），使得f（x1）g（x2）成立，求正实数a的取值范围2017-2018学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若集合U1，2，3，4，5，6，7，A1，3，4，7，B1，2，4，6，7，则U（AB）（）A3，6B5C2，3，5，6D1，2，3，4，5，6，7【分析】进行交集
6、、补集的运算即可【解答】解：AB1，4，7；U（AB）2，3，5，6故选：C【点评】考查列举法表示集合的概念，交集、补集的运算2（4分）下列函数中，在定义域内单调递增的是（）Aylog0.5xBysinxCy2xDytanx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，ylog0.5x为对数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于B，ysinx，为正弦函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；对于C，y2x，为指数函数，在定义域内单调递增，符合题意；对于D，ytanx，为正切函数，在定义域内不具有单调性，不符合题意；故选：C【点评】本
7、题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题3（4分）若幂函数f（x）x的图象过点（4，2），则f（9）的值为（）A1B3C3D3【分析】由幂函数f（x）x的图象过点（4，2），求出f（x），由此能求出f（9）【解答】解：幂函数f（x）x的图象过点（4，2），4n2，解得n，f（x），f（9）3故选：D【点评】本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（4分）若角的终边经过点P（1，1），则（）Atan1Bsin1CD【分析】利用任意角的三角函数的定义，得出结论【解答】解：角的终边经过点P（1，1），tan1，sin，cos，故选：A【点评
8、】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5（4分）在ABC中，点D为边AB的中点，则向量（）ABCD【分析】运用向量的减法和共线向量的知识可解决此问题【解答】解：根据题意得，故选：A【点评】本题考查向量的减法和共线向量的知识6（4分）下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）ABCD【分析】由题意利用三角函数的周期性和图象的对称性，得出结论【解答】解：由于函数ysin（x）的周期为4，故排除A；由于函数ysin（2x+）的周期为，时，函数y取得最大值为1，故函数y的图象关于直线对称，故B满足条件；由于函数ysin（2x+）的周期为4，故排除C；由于函数ycos（2x+）的周期
9、为，时，函数y0，故函数y的图象不关于直线对称，故D不满足条，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的周期性和图象的对称性，属于基础题7（4分）函数的图象大致是（）ABCD【分析】根据函数的奇偶性排除A、B，根据函数最大值排除C只能选D【解答】解：令f（x），f（x）f（x），f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A、B又cosx的最大值为1，此时x2k，（kZ），e|x|的最小值为1，此时x0，故x0时，f（x）取得最大值1，据此排除C故选：D【点评】本题考查了函数的奇偶性及最值、使用了排除法属基础题8（4分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且exf（x）+g（x），则f（x
10、）（）ABCD【分析】根据题意，由exf（x）+g（x）结合函数f（x）、g（x）的奇偶性分析可得f（x）+g（x）f（x）+g（x）ex，联立2个式子，分析可得答案【解答】解：根据题意，exf（x）+g（x），又由函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（x）+g（x）f（x）+g（x）ex，可得：f（x）；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题9（4分）对于非零向量，定义运算“”：|sin，其中为，的夹角设，为非零向量，则下列说法错误的是（）AB（+）+C若0，则D（）【分析】利用向量的数量积的运算和排除法求出结果【解答】解：非零向量，定义
11、运算“”：|sin，其中为，的夹角故：，故A正确，则：0或，所以：和共线，故：C正确由于：，故：D正确，所以利用排除法得到：B错误故选：B【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10（4分）已知，且，则（）AB0CD【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值【解答】解：，2，0，又，故选：C【点评】本题考查利用三角函数的诱导公式化简求值，是基础题二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11（6分）已知log23a，则log292a（用a表示），2a3【分析】利用对数的运算性质和对数恒等式可求得【解答】解：因为l
12、og2 3a，所以log 2 9log2 322log232a；所以2a23，故答案为：2a； 3【点评】本题考查了对数的运算性质属基础题12（6分）已知A（1，1），B（3，3），a（1，m），且，则，m2【分析】运用共线向量的知识可解决此问题【解答】解：根据题意得，（2，4）（1，m），2m40，m2，2，故答案为2，2【点评】本题考查平行向量的知识和向量的坐标表示13（6分）已知函数f（x）2sin（x+）一部分图象如图所示，则2，函数f（x）的图象可以由g（x）2sinx的图象向左平移至少个单位得到【分析】观察得A，T，再代点求得，可得f（x）的解析式根据图象变换可得答案为【解答】解：
13、由图观察可得+，T，2，所以f（x）2sin（2x+），代入最高点（，2）得sin（+）1，又0，f（x）2sin2（x+），故向左平移故答案为：2，【点评】本题考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，属中档题14（6分）f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）2x，且关于x的方程f（x）24f（x）+a0在R上有三个不同的实数根，则f（1）2，a3【分析】由偶函数的定义可得f（1）f（1），再由题意可得y4|x|42|x|+a为偶函数，可得原方程一定有一个根为0，代入0计算可得所求值【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）2x，可得f（x）2|x|，则f
14、（1）f（1）2；关于x的方程f（x）24f（x）+a0在R上有三个不同的实数根，由于y4|x|42|x|+a为偶函数，可得原方程一定有一个根为0，可得40420+a0，解得a3，故答案为：2，3【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于基础题15（6分）弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长的度量单位已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是1【分析】利用弧长公式即可得出【解答】解：由弧长公式lr，lr，可得：1故答案为：1【点评】本题考查了弧长公式的应用，属于基础题16（6分）已知
15、向量，的夹角为，（0，1），|2，则|2|2【分析】根据向量的模的定义、两个向量的数量积的定义，求得|2|的值【解答】解：已知向量，的夹角为，（0，1），|2，则|2|2，故答案为：2【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题17（6分）函数f（x），若存在x1x2，使得f（x1）f（x2），则x1f（x1）的最大值为【分析】由f（x）的解析式可得56x12x20，可得x1，x1f（x1）x1（56x1），运用基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：由于f（x）在x1递减，x1递增，存在x1x2，使得f（x1）f（x2），可得56x12x20，可得x1，x1f（x
16、1）x1（56x1）6（）2，当且仅当x1时，上式取得等号，即x1f（x1）的最大值为，故答案为：【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，考查基本不等式的运用，以及变形能力和运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知集合Ax|3xa，aR，By|y3x+4，xA，Cz|zx2，xA（）若a0，求AB；（）若a3，且BCB，求a的取值范围【分析】（）a0时，Ax|3x0，By|5y4由此能求出AB（）由BCB，得CB，By|5y3a+4a3时，Cz|0za2由此能求出a的取值范围【解答】解：（）由题可得a0时，Ax|3x0
17、，By|5y4ABx|3x0（）BCB，CB，By|5y3a+4a3时，Cz|0za2a23a+4，1a43a4故a的取值范围是3，4【点评】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（14分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期；（）若，求函数f（x）的最大值以及取得最大值时x的值【分析】（）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；（）根据x的取值范围求出f（x）的取值范围以及最大值和对应x的值【解答】解：（）函数sin2x+cos2x2sin（2x+），函数f（x）的最小正周期为T；（
18、）若，则2x（0，），2x+（，），sin（2x+）（，1，当2x+，即x时，函数f（x）取得最大值为2【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题20（14分）如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，（）求的值；（）若点P在线段AB及BC上运动，求的最大值【分析】（）首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算求出结果（）利用向量的坐标运算求出结果【解答】解：（）如图所示：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，B（2，0），（），设P（x，y），所以当点P在点C处时，的值最大，且最大值为18【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算及向量的数量积运算的
19、应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型21（12分）已知，（）求cos（+）的值；（）是否存在，使得下列两个式子：；同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解（）由已知可求，利用两角和的正切函数公式可求，利用韦达定理结合范围，可求，tany1进而解得x，y的值，即可得解【解答】解：（），（）+（0，），tany是方程的两个根，tany1，即存在，满足两式成立的条件【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，两角和的正切函数公式，韦达定理的综合应用，考查了运
20、算求解能力和转化思想，属于中档题22（14分）已知函数f（x）log2（x+1），g（x）x|xa|（）若g（x）为奇函数，求a的值并判断g（x）的单调性（单调性不需证明）；（）对任意x11，+），总存在唯一的x22，+），使得f（x1）g（x2）成立，求正实数a的取值范围【分析】（）利用g（x）为奇函数，通过定义，转化求解a的值，判断g（x）的单调性；（）x11，+），f（x）log2（x+1），利用分段函数，通过当a2时，当2a4时，当a4时，g（x2）在2，+）上单调递增，求出a的范围；【解答】解：（）g（x）为奇函数，g（x）+g（x）x（|xa|x+a|）0恒成立a0此时g（x）x|x|，在R上单调递增（）x11，+），f（x）log2（x+1），f（x1）1，+），当a2时，g（x2）在2，+）上单调递增，g（2）42a1，；当2a4时，g（x2）在2，a上单调递减，在a，+）上单调递增g（2）4+2a1，；当a4时，g（x2）在上单调递增，在上单调递减，在a，+）上单调递增，2a2，不成立综上可知，【点评】本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题