1、2017-2018学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合Mx|0x2，N1，0，1，2，则MN 2（5分）计算：lg4+lg的值是 3（5分）函数f（x）（x2）的定义域是 4（5分）已知tan2，则tan（+）的值是 5（5分）若函数f（x）cosx+|2xa|为偶函数，则实数a的值是 6（5分）已知向量（1，2），（2，1）若向量与向量k共线，则实数k的值是 7（5分）已知角的终边经过点P（12，5），则sin（+）+cos（）的值是 8（5分）已知函数f（x），则f（2）+f（log23）的
2、值是 9（5分）在ABC中，若tanA1，则角A的取值范围是 10（5分）在平行四边形ABCD中，若|2，|3，与的夹角为，则线段BD的长度为 11（5分）已知（0，），且满足2，则tan的值是 12（5分）已知函数f（x）sin（x）（0），将函数yf（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值是 13（5分）如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）log2（x+2）的解集是 14（5分）若m0，且关于x的方程（mx1）2m在区间0，1上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是 二、解答
3、题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知向量（1，2），（3，4）（1）求向量+与向量夹角的大小；（2）若（+），求实数的值16（14分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示（1）求A，的值；（2）若x，求f（x）的值域17（14分）已知sin，（，0）（1）求cos（+）的值；（2）若sin（+），（0，），求的值18（16分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点A作ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C记AOB，四边形ACOB的周长为l（1）求l关于的函数
4、关系式；（2）当为何值时，l有最大值，并求出l的最大值19（16分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且2M是线段CE上一动点（1）若M是线段CE的中点，m+n，求m+n的值；（2）若AB9，43，求（+2）的最小值20（16分）如果函数f（x）在定义域内存在区间a，b，使得该函数在区间a，b上的值域为a2，b2，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”（1）求证：函数f（x）log2（x+1）是“和谐函数”；（2）若函数g（x）+t（x1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围2017-2018学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5
5、分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）已知集合Mx|0x2，N1，0，1，2，则MN0，1【分析】根据交集的定义计算即可【解答】解：集合Mx|0x2，N1，0，1，2，则MN0，1故答案为：0，1【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题2（5分）计算：lg4+lg的值是1【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：lg4+lglg101故答案为：1【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）函数f（x）（x2）的定义域是2，+）【分析】化分数指数幂为根式，再由根式内部的代数式大于等于0
6、求解【解答】解：f（x）（x2），由x20，得x2函数f（x）（x2）的定义域是：2，+）故答案为：2，+）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题4（5分）已知tan2，则tan（+）的值是3【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果【解答】解：tan2，则tan（+）3，故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换和求值问题的应用5（5分）若函数f（x）cosx+|2xa|为偶函数，则实数a的值是0【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（x）f（x），即cos（x）+|2xa|cosx+|2xa|，分析可得答案【解答】解：根据题意，若函数f（x）cosx+|2xa
7、|为偶函数，则f（x）f（x），即cos（x）+|2xa|cosx+|2xa|，则有|2x+a|2xa|恒成立，必有a0；故答案为：0【点评】本题考查函数奇偶性的定义与性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题6（5分）已知向量（1，2），（2，1）若向量与向量k共线，则实数k的值是1【分析】可先求出，根据向量与向量共线即可得出3（2k+1）（k2）0，求出k的值即可【解答】解：；向量与向量共线；3（2k+1）（k2）0；解得k1故答案为：1【点评】考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，共线向量的坐标关系7（5分）已知角的终边经过点P（12，5），则sin（+）+cos（）的值是【分析】由题意
8、利用任意角的三角函数的定义求得sin、cos的值，再利用诱导公式求得要求式子的值【解答】解：角的终边经过点P（12，5），sin，cos，则sin（+）+cos（）sin+cos+，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题8（5分）已知函数f（x），则f（2）+f（log23）的值是5【分析】推导出f（2）log242，f（log23）3，由此能求出f（2）+f（log23）的值【解答】解：函数f（x），f（2）log242，f（log23）3，f（2）+f（log23）2+35故答案为：5【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能
9、力，是基础题9（5分）在ABC中，若tanA1，则角A的取值范围是（，）【分析】根据ABC中A（0，），结合正切函数的图象与性质，即可得出A的取值范围【解答】解：ABC中，A（0，），又tanA1，角A的取值范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题10（5分）在平行四边形ABCD中，若|2，|3，与的夹角为，则线段BD的长度为【分析】根据题意画出图形，利用平面向量的平行四边形合成法则表示出，再求线段BD的长度【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，；若|2，|3，与的夹角为，则，2+2+32232cos+227，线段BD的长度为故答案为：【点评
10、】本题考查了利用平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题11（5分）已知（0，），且满足2，则tan的值是1【分析】结合二倍角公式化简，然后分子分母同时除以cos2即可求解【解答】解：2，2，（0，），tan0，则tan1，故答案为：1【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的基本应用，解题的关键是熟练掌握基本公式12（5分）已知函数f（x）sin（x）（0），将函数yf（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值是2【分析】函数ysin（x）的图象向左平移个单位后与原图象重合，可判断出是周期的整数倍，由此求出的表达式，求出它的最小值【解答】解：函数ysin（
11、x）的图象向左平移个单位后与原图象重合，n，nz，2n，nz又0，故其最小值是2故答案为：2【点评】本题考查yAsin（x+）型函数的图象变换，解题的关键是对题意的理解，是中档题13（5分）如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）log2（x+2）的解集是（2，2）【分析】根据题意，作出ylog2（x+2）的图象，利用数形结合得到不等式的解集即可得答案【解答】解：根据题意，由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出ylog2（x+2）的图象，如图满足不等式f（x）log2（x+2）的x范围是2x2；所以不等式f（x）l
12、og2（x+2）的解集是（2，2）；故答案为：（2，2）【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；关键是准确作出函数的图象，属于基础题14（5分）若m0，且关于x的方程（mx1）2m在区间0，1上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是（0，13，+）【分析】根据题意，令f（x）m2x22mx+1m，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）（1m）（m23m）0，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，令f（x）m2x22mx+1m，有f（0）1m，f（1）m23m，若方程（mx1）2m在x0，1上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间0，1
13、上有且只有一个零点，有f（0）f（1）（1m）（m23m）0，又由m为正实数，则（1m）（m23m）0（1m）（m3）0，解可得0m1或m3，当0m1时，由f（0）0，f（1）0，f（x）在（0，1）递减，符合题意；当m3，f（0）0，f（1）0，f（x）的极小值小于0，符合题意即m的取值范围是（0，13，+），故答案为：（0，13，+）【点评】本题考查函数方程的转化思想，注意运用函数的零点判定定理，考查运算能力，属于基础题二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知向量（1，2），（3，4）（1）求向量+与向量夹角的
14、大小；（2）若（+），求实数的值【分析】（1）利用平面向量的数量积求模长和夹角的大小；（2）根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求得的值【解答】解：（1）因为（1，2），（3，4），所以+（2，6），所以|+|2，|，（+）2+1210； （4分）记向量+与向量的夹角为，从而cos； （6分）因为0，所以，即向量+与向量的夹角为； （8分）（2）因为（+），所以（+）0，即+0，所以5+ （3+8）0，（12分）解得1 （14分）【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式和夹角的计算问题，是基础题16（14分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示（1）求A，的值；（
15、2）若x，求f（x）的值域【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域【解答】解（1）根据函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象，设函数f（x）的最小正周期为T，由图象知：A2，T（），所以周期T，从而2 因为函数图象过点（，2），所以sin（+）1因为0，所以+，所以+，解得因此 A2，2，（2）由（1）知 f（x）2sin（2x+），因为x，2x+，sin（2x+）1，从而函数f（x）的值域为，2【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，
16、由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17（14分）已知sin，（，0）（1）求cos（+）的值；（2）若sin（+），（0，），求的值【分析】（1）直接利用已知条件和同角三角函数关系式的变换求出结果（2）利用和（1）同样的方式求出结果【解答】解（1）因为sin，（，0），所以cos从而 cos（+），coscossinsin（），（2）因为（，0），（0，），所以+（，）因为sin（+），所以cos（+）从而 sinsin（+），sin（+）coscos（+） sin（）因为（0，），所以法二：因为 sin（+），所以cos+sin从而有2sin8cos3，又s
17、in2+cos21，解得cos，sin或cos，sin（舍去）因为（0，），所以【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（16分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点A作ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C记AOB，四边形ACOB的周长为l（1）求l关于的函数关系式；（2）当为何值时，l有最大值，并求出l的最大值【分析】（1）在直角三角形OAB中，由OA，AOB，求出OBcos，ABsin，在直角三角形OAC中，由POQ，可得AOC，从而求出OCcos（），ACsin（），则可求出l关于的
18、函数关系式；（2）由（1）知，lsin+cos+sin（）+cos（），利用三角函数的诱导公式化简可得l（+1）sin（+），由（0，），可得+（，），从而求出当+，即时，l取得最大值【解答】解：（1）在直角三角形OAB中，OA1，AOB，OBcos，ABsin在直角三角形OAC中，POQ，AOC，从而OCcos（），ACsin（）lsin+cos+sin（）+cos（），（0，）；（2）由（1）知，lsin+cos+sin（）+cos（）sin+cos+（cossin）+（cos+sin）sin+cos（+1）（sin+cos）（+1）sin（+），（0，）（0，），+（，），当且仅当+，即
19、时，l取得最大值+1当时，l取得最大值，最大值为+1【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题19（16分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且2M是线段CE上一动点（1）若M是线段CE的中点，m+n，求m+n的值；（2）若AB9，43，求（+2）的最小值【分析】（1）由已知，用表示，然后利用向量的基本定理可求m，n，即可；（2）利用向量加法及减法的平行四边形法则表示，然后利用向量的数量积的定义求解，可求AD，然后再结合向量数量积的定义及二次函数的性质可求法二：利用向量的坐标表示，结合二次函数的性质可求【解答】解（1）因为M是线
20、段CE的中点，2，所以+（）（+），（+）+m+n，因为与不共线，所以m，n，则m+n （7分）；（2）在矩形ABCD中，+，所以（）（）2+22+2因为AB9，43，所以2+292+243，解得|4，即ADBC4在RtEBC中，EB3，BC4，则EC5 （11分）因为2，所以+2（+）+2（+）3+23 （13分）设MEt，0t5所以（+2）3MEMC3t（5t）3（t25t）3（t）2，0t5因此当且仅当t 时，（+2） 有最小值，从而（+2）的最小值为 （16分）解法二：建立如图直角坐标系，则A（0，0），E（6，0），B（9，0），设C（9，m），m0则（9，m），（3，m），27+m
21、243，所以m4 （3分）所以C（9，4），因为M在线段CE上，设，01M（x，y），则（x9，y4），（3，4），x93，y44，所以x93，y44即M（93，44） （5分）所以（39，44），（3，44）+2（99，1212），（3，4），（+2）27227+4824875（2）75（）2，01 （8分）所以当且仅当时，（+2）有最小值，从而（+2）的最小值为 （9分）注：第（1）问（7分），将用与线性表示，得（4分），指出m，n并求出m+n的值（3分），不交代与不共线，扣（1分）；第（2）问（9分），求出AD的长得（3分），求出EC的长得（1分），得出+23得（2分），列出（+2）的函
22、数关系式得（2分），求出最值得（1分）用坐标法（解法二），求出C点坐标（即求出m值）得（3分），得出M点坐标得（2分），列出函数关系式得（3分），求出最值得（1分）【点评】本题主要考查了向量数量积及运算在实际问题中的应用，解题中要注意把实际图形问题转化为数学问题20（16分）如果函数f（x）在定义域内存在区间a，b，使得该函数在区间a，b上的值域为a2，b2，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”（1）求证：函数f（x）log2（x+1）是“和谐函数”；（2）若函数g（x）+t（x1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围【分析】（1）可判断f（x）在（1，+）上单调递增，考察F（x）f（x）
23、x2，可求出F（0）F（1）0，取a0，得出f（a）a2；取b1，得出f（b）b2即f（x）在区间a，b上的值域为a2，b2，即得出f（x）是“和谐函数”；（2）可判断g（x）在1，+）上单调递增，根据g（x）是“和谐函数”可得出，存在a，b1，+）使得函数g（x）在区间a，b上的值域为a2，b2从而得出方程在1，+）上至少有两个不相等的实数根进而得出u2u+1t0在0，+）上至少有两个不相等的实数根，从而可得出，这样即可求出t的取值范围【解答】解：（1）证明：函数f（x）log2（x+1）的定义域为（1，+），且在（1，+）上单调递增；考察函数F（x）f（x）x2log2 （x+1）x2，x
24、（1，+）；因为F（0）log2 100，取a0，则F（a）0，即f（a）a2；F（1）log2 210，取b1，则F（b）0，即f（b）b2；因为f（x）在a，b上单调递增；所以f（x）在区间a，b上的值域为f（a），f（b），即为a2，b2；所以函数f（x）log2 （x+1）是（1，+）上的“和谐函数”；（2）任取x1，x21，+），且x1x2；则g（x1）g（x2），即g（x1）g（x2）；因此g（x）在1，+）单调递增；因为函数g（x）是“和谐函数”；所以存在a，b1，+），使得函数在区间a，b上的值域为a2，b2；即g（a）a2，g（b）b2因此g（x）x2，即在1，+）上至少有两个不相等的实数根；令，u0，方程可化为u2+1u+t；即u2u+1t0在0，+）上至少有两个不相等的实数根；记h（u）u2u+1t，h（u）的对称轴为直线 u；所以；解得t1，即t的取值范围为 （，1【点评】考查对“和谐函数”定义的理解，对数函数单调性，函数单调性的定义，以及二次函数图象和性质