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2017-2018学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1(5分)已知集合Mx|0x2,N1,0,1,2,则MN 2(5分)计算:lg4+lg的值是 3(5分)函数f(x)(x2)的定义域是 4(5分)已知tan2,则tan(+)的值是 5(5分)若函数f(x)cosx+|2xa|为偶函数,则实数a的值是 6(5分)已知向量(1,2),(2,1)若向量与向量k共线,则实数k的值是 7(5分)已知角的终边经过点P(12,5),则sin(+)+cos()的值是 8(5分)已知函数f(x),则f(2)+f(log23)的

2、值是 9(5分)在ABC中,若tanA1,则角A的取值范围是 10(5分)在平行四边形ABCD中,若|2,|3,与的夹角为,则线段BD的长度为 11(5分)已知(0,),且满足2,则tan的值是 12(5分)已知函数f(x)sin(x)(0),将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与原函数图象重合,则的最小值是 13(5分)如图,已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A,B),其中A(4,0),B(4,0),C(0,4),则不等式f(x)log2(x+2)的解集是 14(5分)若m0,且关于x的方程(mx1)2m在区间0,1上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围是 二、解答

3、题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)已知向量(1,2),(3,4)(1)求向量+与向量夹角的大小;(2)若(+),求实数的值16(14分)已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的图象如图所示(1)求A,的值;(2)若x,求f(x)的值域17(14分)已知sin,(,0)(1)求cos(+)的值;(2)若sin(+),(0,),求的值18(16分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,点A在弧上(异于点P,Q),过点A作ABOP,ACOQ,垂足分别为B,C记AOB,四边形ACOB的周长为l(1)求l关于的函数

4、关系式;(2)当为何值时,l有最大值,并求出l的最大值19(16分)如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,且2M是线段CE上一动点(1)若M是线段CE的中点,m+n,求m+n的值;(2)若AB9,43,求(+2)的最小值20(16分)如果函数f(x)在定义域内存在区间a,b,使得该函数在区间a,b上的值域为a2,b2,则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”(1)求证:函数f(x)log2(x+1)是“和谐函数”;(2)若函数g(x)+t(x1)是“和谐函数”,求实数t的取值范围2017-2018学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5

5、分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1(5分)已知集合Mx|0x2,N1,0,1,2,则MN0,1【分析】根据交集的定义计算即可【解答】解:集合Mx|0x2,N1,0,1,2,则MN0,1故答案为:0,1【点评】本题考查了交集的定义与运算问题,是基础题2(5分)计算:lg4+lg的值是1【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解:lg4+lglg101故答案为:1【点评】本题考查对数式化简求值,考查对数的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题3(5分)函数f(x)(x2)的定义域是2,+)【分析】化分数指数幂为根式,再由根式内部的代数式大于等于0

6、求解【解答】解:f(x)(x2),由x20,得x2函数f(x)(x2)的定义域是:2,+)故答案为:2,+)【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础题4(5分)已知tan2,则tan(+)的值是3【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果【解答】解:tan2,则tan(+)3,故答案为:3【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换和求值问题的应用5(5分)若函数f(x)cosx+|2xa|为偶函数,则实数a的值是0【分析】根据题意,由偶函数的定义可得f(x)f(x),即cos(x)+|2xa|cosx+|2xa|,分析可得答案【解答】解:根据题意,若函数f(x)cosx+|2xa

7、|为偶函数,则f(x)f(x),即cos(x)+|2xa|cosx+|2xa|,则有|2x+a|2xa|恒成立,必有a0;故答案为:0【点评】本题考查函数奇偶性的定义与性质,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题6(5分)已知向量(1,2),(2,1)若向量与向量k共线,则实数k的值是1【分析】可先求出,根据向量与向量共线即可得出3(2k+1)(k2)0,求出k的值即可【解答】解:;向量与向量共线;3(2k+1)(k2)0;解得k1故答案为:1【点评】考查向量坐标的加法、减法和数乘运算,共线向量的坐标关系7(5分)已知角的终边经过点P(12,5),则sin(+)+cos()的值是【分析】由题意

8、利用任意角的三角函数的定义求得sin、cos的值,再利用诱导公式求得要求式子的值【解答】解:角的终边经过点P(12,5),sin,cos,则sin(+)+cos()sin+cos+,故答案为:【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式,属于基础题8(5分)已知函数f(x),则f(2)+f(log23)的值是5【分析】推导出f(2)log242,f(log23)3,由此能求出f(2)+f(log23)的值【解答】解:函数f(x),f(2)log242,f(log23)3,f(2)+f(log23)2+35故答案为:5【点评】本题考查函数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能

9、力,是基础题9(5分)在ABC中,若tanA1,则角A的取值范围是(,)【分析】根据ABC中A(0,),结合正切函数的图象与性质,即可得出A的取值范围【解答】解:ABC中,A(0,),又tanA1,角A的取值范围是(,)故答案为:(,)【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题,是基础题10(5分)在平行四边形ABCD中,若|2,|3,与的夹角为,则线段BD的长度为【分析】根据题意画出图形,利用平面向量的平行四边形合成法则表示出,再求线段BD的长度【解答】解:如图所示,平行四边形ABCD中,;若|2,|3,与的夹角为,则,2+2+32232cos+227,线段BD的长度为故答案为:【点评

10、】本题考查了利用平面向量的数量积求模长的应用问题,是基础题11(5分)已知(0,),且满足2,则tan的值是1【分析】结合二倍角公式化简,然后分子分母同时除以cos2即可求解【解答】解:2,2,(0,),tan0,则tan1,故答案为:1【点评】本题主要考查了二倍角公式,同角基本关系的基本应用,解题的关键是熟练掌握基本公式12(5分)已知函数f(x)sin(x)(0),将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与原函数图象重合,则的最小值是2【分析】函数ysin(x)的图象向左平移个单位后与原图象重合,可判断出是周期的整数倍,由此求出的表达式,求出它的最小值【解答】解:函数ysin(

11、x)的图象向左平移个单位后与原图象重合,n,nz,2n,nz又0,故其最小值是2故答案为:2【点评】本题考查yAsin(x+)型函数的图象变换,解题的关键是对题意的理解,是中档题13(5分)如图,已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A,B),其中A(4,0),B(4,0),C(0,4),则不等式f(x)log2(x+2)的解集是(2,2)【分析】根据题意,作出ylog2(x+2)的图象,利用数形结合得到不等式的解集即可得答案【解答】解:根据题意,由已知f(x)的图象,在此坐标系内作出ylog2(x+2)的图象,如图满足不等式f(x)log2(x+2)的x范围是2x2;所以不等式f(x)l

12、og2(x+2)的解集是(2,2);故答案为:(2,2)【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集;关键是准确作出函数的图象,属于基础题14(5分)若m0,且关于x的方程(mx1)2m在区间0,1上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围是(0,13,+)【分析】根据题意,令f(x)m2x22mx+1m,由函数的解析式求出f(0)、f(1)的值,由函数零点判定定理可得f(0)f(1)(1m)(m23m)0,解可得m的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,令f(x)m2x22mx+1m,有f(0)1m,f(1)m23m,若方程(mx1)2m在x0,1上有且只有一个实根,即函数f(x)在区间0,1

13、上有且只有一个零点,有f(0)f(1)(1m)(m23m)0,又由m为正实数,则(1m)(m23m)0(1m)(m3)0,解可得0m1或m3,当0m1时,由f(0)0,f(1)0,f(x)在(0,1)递减,符合题意;当m3,f(0)0,f(1)0,f(x)的极小值小于0,符合题意即m的取值范围是(0,13,+),故答案为:(0,13,+)【点评】本题考查函数方程的转化思想,注意运用函数的零点判定定理,考查运算能力,属于基础题二、解答题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)已知向量(1,2),(3,4)(1)求向量+与向量夹角的

14、大小;(2)若(+),求实数的值【分析】(1)利用平面向量的数量积求模长和夹角的大小;(2)根据两向量垂直时数量积为0,列出方程求得的值【解答】解:(1)因为(1,2),(3,4),所以+(2,6),所以|+|2,|,(+)2+1210; (4分)记向量+与向量的夹角为,从而cos; (6分)因为0,所以,即向量+与向量的夹角为; (8分)(2)因为(+),所以(+)0,即+0,所以5+ (3+8)0,(12分)解得1 (14分)【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式和夹角的计算问题,是基础题16(14分)已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的图象如图所示(1)求A,的值;(

15、2)若x,求f(x)的值域【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域,求得f(x)的值域【解答】解(1)根据函数f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的图象,设函数f(x)的最小正周期为T,由图象知:A2,T(),所以周期T,从而2 因为函数图象过点(,2),所以sin(+)1因为0,所以+,所以+,解得因此 A2,2,(2)由(1)知 f(x)2sin(2x+),因为x,2x+,sin(2x+)1,从而函数f(x)的值域为,2【点评】本题主要考查由函数yAsin(x+)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,

16、由周期求出,由五点法作图求出的值,正弦函数的定义域和值域,属于中档题17(14分)已知sin,(,0)(1)求cos(+)的值;(2)若sin(+),(0,),求的值【分析】(1)直接利用已知条件和同角三角函数关系式的变换求出结果(2)利用和(1)同样的方式求出结果【解答】解(1)因为sin,(,0),所以cos从而 cos(+),coscossinsin(),(2)因为(,0),(0,),所以+(,)因为sin(+),所以cos(+)从而 sinsin(+),sin(+)coscos(+) sin()因为(0,),所以法二:因为 sin(+),所以cos+sin从而有2sin8cos3,又s

17、in2+cos21,解得cos,sin或cos,sin(舍去)因为(0,),所以【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型18(16分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,点A在弧上(异于点P,Q),过点A作ABOP,ACOQ,垂足分别为B,C记AOB,四边形ACOB的周长为l(1)求l关于的函数关系式;(2)当为何值时,l有最大值,并求出l的最大值【分析】(1)在直角三角形OAB中,由OA,AOB,求出OBcos,ABsin,在直角三角形OAC中,由POQ,可得AOC,从而求出OCcos(),ACsin(),则可求出l关于的

18、函数关系式;(2)由(1)知,lsin+cos+sin()+cos(),利用三角函数的诱导公式化简可得l(+1)sin(+),由(0,),可得+(,),从而求出当+,即时,l取得最大值【解答】解:(1)在直角三角形OAB中,OA1,AOB,OBcos,ABsin在直角三角形OAC中,POQ,AOC,从而OCcos(),ACsin()lsin+cos+sin()+cos(),(0,);(2)由(1)知,lsin+cos+sin()+cos()sin+cos+(cossin)+(cos+sin)sin+cos(+1)(sin+cos)(+1)sin(+),(0,)(0,),+(,),当且仅当+,即

19、时,l取得最大值+1当时,l取得最大值,最大值为+1【点评】本题考查简单的数学建模思想方法,考查三角函数的恒等变换应用,训练了三角函数最值的求法,是中档题19(16分)如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,且2M是线段CE上一动点(1)若M是线段CE的中点,m+n,求m+n的值;(2)若AB9,43,求(+2)的最小值【分析】(1)由已知,用表示,然后利用向量的基本定理可求m,n,即可;(2)利用向量加法及减法的平行四边形法则表示,然后利用向量的数量积的定义求解,可求AD,然后再结合向量数量积的定义及二次函数的性质可求法二:利用向量的坐标表示,结合二次函数的性质可求【解答】解(1)因为M是线

20、段CE的中点,2,所以+()(+),(+)+m+n,因为与不共线,所以m,n,则m+n (7分);(2)在矩形ABCD中,+,所以()()2+22+2因为AB9,43,所以2+292+243,解得|4,即ADBC4在RtEBC中,EB3,BC4,则EC5 (11分)因为2,所以+2(+)+2(+)3+23 (13分)设MEt,0t5所以(+2)3MEMC3t(5t)3(t25t)3(t)2,0t5因此当且仅当t 时,(+2) 有最小值,从而(+2)的最小值为 (16分)解法二:建立如图直角坐标系,则A(0,0),E(6,0),B(9,0),设C(9,m),m0则(9,m),(3,m),27+m

21、243,所以m4 (3分)所以C(9,4),因为M在线段CE上,设,01M(x,y),则(x9,y4),(3,4),x93,y44,所以x93,y44即M(93,44) (5分)所以(39,44),(3,44)+2(99,1212),(3,4),(+2)27227+4824875(2)75()2,01 (8分)所以当且仅当时,(+2)有最小值,从而(+2)的最小值为 (9分)注:第(1)问(7分),将用与线性表示,得(4分),指出m,n并求出m+n的值(3分),不交代与不共线,扣(1分);第(2)问(9分),求出AD的长得(3分),求出EC的长得(1分),得出+23得(2分),列出(+2)的函

22、数关系式得(2分),求出最值得(1分)用坐标法(解法二),求出C点坐标(即求出m值)得(3分),得出M点坐标得(2分),列出函数关系式得(3分),求出最值得(1分)【点评】本题主要考查了向量数量积及运算在实际问题中的应用,解题中要注意把实际图形问题转化为数学问题20(16分)如果函数f(x)在定义域内存在区间a,b,使得该函数在区间a,b上的值域为a2,b2,则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”(1)求证:函数f(x)log2(x+1)是“和谐函数”;(2)若函数g(x)+t(x1)是“和谐函数”,求实数t的取值范围【分析】(1)可判断f(x)在(1,+)上单调递增,考察F(x)f(x)

23、x2,可求出F(0)F(1)0,取a0,得出f(a)a2;取b1,得出f(b)b2即f(x)在区间a,b上的值域为a2,b2,即得出f(x)是“和谐函数”;(2)可判断g(x)在1,+)上单调递增,根据g(x)是“和谐函数”可得出,存在a,b1,+)使得函数g(x)在区间a,b上的值域为a2,b2从而得出方程在1,+)上至少有两个不相等的实数根进而得出u2u+1t0在0,+)上至少有两个不相等的实数根,从而可得出,这样即可求出t的取值范围【解答】解:(1)证明:函数f(x)log2(x+1)的定义域为(1,+),且在(1,+)上单调递增;考察函数F(x)f(x)x2log2 (x+1)x2,x

24、(1,+);因为F(0)log2 100,取a0,则F(a)0,即f(a)a2;F(1)log2 210,取b1,则F(b)0,即f(b)b2;因为f(x)在a,b上单调递增;所以f(x)在区间a,b上的值域为f(a),f(b),即为a2,b2;所以函数f(x)log2 (x+1)是(1,+)上的“和谐函数”;(2)任取x1,x21,+),且x1x2;则g(x1)g(x2),即g(x1)g(x2);因此g(x)在1,+)单调递增;因为函数g(x)是“和谐函数”;所以存在a,b1,+),使得函数在区间a,b上的值域为a2,b2;即g(a)a2,g(b)b2因此g(x)x2,即在1,+)上至少有两个不相等的实数根;令,u0,方程可化为u2+1u+t;即u2u+1t0在0,+)上至少有两个不相等的实数根;记h(u)u2u+1t,h(u)的对称轴为直线 u;所以;解得t1,即t的取值范围为 (,1【点评】考查对“和谐函数”定义的理解,对数函数单调性,函数单调性的定义,以及二次函数图象和性质