1、2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1（4分）已知数列，3，那么9是数列的（）A第12项B第13项C第14项D第15项2（4分）sin2cos3tan4的值（）A小于0B大于0C等于0D不存在3（4分）在ABC中，A：B：C4：1：1，则a：b：c（）A4：1：1B2：1：1C3：1：1D：1：14（4分）定义一种集合运算ABx|xAB，且xAB，设Mx|x|2，Nx|x24x+30，则MN表示的集合是（）A（，21，2）（3，+）B（2，12，3）C（2，1）（2，
2、3）D（，2（3，+）5（4分）给出四个函数，则同时具有以下两个性质：最小正周期是；图象关于点（，0）对称的函数是（）Aycos（2x）Bysin（2x+）Cysin（+）Dytan（x+）6（4分）若3sin+cos0，则cos2+sin2的值为（）ABCD27（4分）设函数f（x），已知f（a）1，则a的取值范围是（）A（，2）（，+）B（，）C（，2）（，1）D（2，）（1，+）8（4分）将函数ysin（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）ABCD9（4分）已知数列an满足a13，an+1an+an+1+10
3、，则a100（）ABC3D310（4分）在ABC中，a，b，c是角A，B，C的三边，给出下列结论：若ABC，则sinAsinBsinC若，则ABC为等边三角形若a40，b20，B25，则ABC必有两解，则ABC的最小角小于其中，正确结论的编号为（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每空每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）在等差数列an中，a510，a1231，则通项公式an ；Sn 12（4分）在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是 弧度，扇形面积是 13（6分）已知数列则a ，b 1
4、4（4分）已知向量，若与垂直，则m的值为，若与平行，则m的值为 15（4分）已知（，），+2，则sin（2+） 16（4分）设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围是 17（4分）对于实数a和b，定义运算“”：ab，设函数f（x）（x22）（x1），xR，若函数yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分.18（14分）已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，且的值19（15分）在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（1）求d，an；（2
5、）若d0，求|a1|+|a2|+|an|20（15分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3asinCccosA（1）求sinA的值（2）若的面积为9，求a的值21（15分）已知函数f（x）4sinxsin2（+）+cos2x（1）0为常数，若yf（x）在区间，上是增函数，求的取值范围（2）设集合Ax|x，Bx|f（x）m|2，若AB，求实数m的取值范围22（15分）已知函数f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，其中kR（1）设函数p（x）f（x）+g（x）若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零
6、实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1（4分）已知数列，3，那么9是数列的（）A第12项B第13项C第14项D第15项【分析】令通项公式9，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项【解答】解：由 9解之得n14由此可知9是此数列的第14项故选：C【点评】本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题2（4分）sin2co
7、s3tan4的值（）A小于0B大于0C等于0D不存在【分析】根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案【解答】解：1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，sin203弧度小于弧度，在第二象限cos304弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限tan40sin2cos3tan40故选：A【点评】本题主要考查三角函数值的符号问题常常根据角所在的象限来判断函数值的正负3（4分）在ABC中，A：B：C4：1：1，则a：b：c（）A4：1：1B2：1：1C3：1：1D：1：1【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解
8、：A：B：C4：1：1，A+B+C，解得：A，BC，由正弦定理可得：a：b：csinA：sinB：sinC：1：1故选：D【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题4（4分）定义一种集合运算ABx|xAB，且xAB，设Mx|x|2，Nx|x24x+30，则MN表示的集合是（）A（，21，2）（3，+）B（2，12，3）C（2，1）（2，3）D（，2（3，+）【分析】由Mx|x|2x|2x2，Nx|x24x+30x|1x3，知MNx|1x2，MNx|2x3，由此利用ABx|xAB，且xAB，能求出MN【解答】解：Mx|x|2
9、x|2x2，Nx|x24x+30x|1x3，MNx|1x2，MNx|2x3，ABx|xAB，且xAB，MNx|2x1，或2x3，故选：B【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用5（4分）给出四个函数，则同时具有以下两个性质：最小正周期是；图象关于点（，0）对称的函数是（）Aycos（2x）Bysin（2x+）Cysin（+）Dytan（x+）【分析】利用周期求出，再利用图象关于点（，0）对称，判断选项【解答】解：函数最小正周期是，所以，由选项可知，0，所以2，排除C图象关于点（，0）对称，所以x时，函数值为0显然A，B不满足题意，y
10、tan（x+）的对称中心是（，0）故选：D【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，正切函数的奇偶性与对称性，考查推理能力，计算能力，是基础题6（4分）若3sin+cos0，则cos2+sin2的值为（）ABCD2【分析】由已知可得cos3sin，利用同角三角函数基本关系式可求sin2，根据二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解【解答】解：3sin+cos0，则：cos3sin，sin2+cos2sin2+（3sin）21，解得：sin2，cos2+sin2cos2+2sincos（3sin）2+2sin（3sin）3sin2故选：A【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦
11、函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7（4分）设函数f（x），已知f（a）1，则a的取值范围是（）A（，2）（，+）B（，）C（，2）（，1）D（2，）（1，+）【分析】分三种情况讨论：a小于等于1时，得到（a+1）2大于1；a大于1小于1时，得到2（a+1）大于1；当a大于等于1时，得到1大于1，分别求出三个不等式的解集，求出三个解集的并集即为a的取值范围【解答】解：a1时，（a+1）21，a2或a0，故a2；1a1时，2（a+1）1a，故a1；a1时，11无解综上，a的取值范围是（，2）（，1），故选：C【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论
12、的思想，是中档题8（4分）将函数ysin（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）ABCD【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到ysin（x+），整理后答案可得【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数ysin（x），再将所得的图象向左平移个单位，得函数ysin（x+），即ysin（x），故选：C【点评】本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则9（4分）已知数列an
13、满足a13，an+1an+an+1+10，则a100（）ABC3D3【分析】由数列an满足a13，an+1an+an+1+10，推导出an是以3为周期的周期数列，由此能求出a100的值【解答】解：数列an满足a13，an+1an+an+1+10，an+1，a2，a3，3，an是以3为周期的周期数列，a100a13故选：C【点评】本题考查等差数列的第100项的求法，考查数列的周期、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（4分）在ABC中，a，b，c是角A，B，C的三边，给出下列结论：若ABC，则sinAsinBsinC若，则ABC为等边三角形若a40，b20，B25，则ABC必有两解
14、，则ABC的最小角小于其中，正确结论的编号为（）ABCD【分析】由三角形的边角关系和正弦定理可判断；由正弦定理和同角商数关系，可判断；由正弦定理和三角形的边角关系可判断；由向量的加减运算和余弦定理、结合余弦函数的性质可判断【解答】解：对于，若ABC，即abc，即2RsinA2RsinB2RsinC，即sinAsinBsinC，故正确；对于，若，由正弦定理，可得tanBtanC1，即BC45，即ABC为等腰直角三角形，故错误；对于，若a40，b20，B25，可得sinA1，又ab，即AB，则ABC必有两解，故正确；对于，即有2a+bcc（+），即有（2ac）+（bc），即2ac，bc，即有A最小
15、，cosA，则ABC的最小角小于，故正确故选：C【点评】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理和余弦定理的运用、三角形的形状和个数的判断，以及向量的加减运算，考查判断能力、运算能力和推理能力，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每空每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）在等差数列an中，a510，a1231，则通项公式an3n5；Sn【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a12，d3，由此能求出通项公式an和前n项和Sn的值【解答】解：在等差数列an中，a510，a1231，解得a12，d3，通项公式an2+（n1）33n5，Sn2n+故答案为：3n5，【点评】本题考查等
16、差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（4分）在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是弧度，扇形面积是48【分析】（1）由弧长公式可直接得到答案（2）由扇形面积公式直接得到答案【解答】解：圆心角，扇形面积故答案为：，48【点评】本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，属基础题13（6分）已知数列则a，b【分析】根据数列的概念和找到其中的规律即可求出【解答】解：数列则可得到，则，解得a，b，故答案为：，【点评】本题考查了归纳推理和数列的概念，属于基础题14（4分）已知向量，若与垂直，则m的值为，若与平行，则m的值为2【分析】可求出，与
17、垂直时，可得出进行数量积的坐标运算即可求出m的值；与平行时，可得出（2m4）4（3m+8）0，解出m即可【解答】解：，；若与垂直，则：；解得；若与平行，则（2m4）4（3m+8）0；解得m2故答案为：2【点评】考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量加法、减法、数乘和数量积的运算15（4分）已知（，），+2，则sin（2+）【分析】由已知条件易得sin2，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得cos2，由两角和的正弦公式可得【解答】解：+2，2，sin+cos2sincos，平方可得8（sincos）22sincos10解得sincos，或（，），sincos0，sin22sinco
18、s，sin+cos，（sincos）212sincossincos，（sincos）（sin+cos）sin2cos2cos2cos2，sin（2+）sin2+cos2+；故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数运算，涉及一元二次方程的解法和同角三角函数的基本关系，属中档题16（4分）设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围是0，【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，基本不等式可得可得2，+82|，进而得到cos，由此得到的取值范围是【解答】解：设平面向量与的夹角为，0，），且，+2+12，2+4，相减可得2，+82|，|4，2|cos4cos，cos则的取值范围是0，【点评】本题主要
19、考查两个向量的数量积的定义，基本不等式，属于中档题17（4分）对于实数a和b，定义运算“”：ab，设函数f（x）（x22）（x1），xR，若函数yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（2，1（1，2【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）（x22）（x1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点转化为yf（x），yc图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围【解答】解：ab，函数f（x）（x22）（x1）由图可知，当c（2，1（1，2，函数f（x）与yc的图象有两个公共点，c的取值范围是 （2，1（1，2，故答案为 （2，1（1，2
20、【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分.18（14分）已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，且的值【分析】解一元二次方程的解法，求得sin，可得tan的值，再利用诱导公式得到要求式子的值【解答】解：已知sin是方程5x27x60的根，是第三象限角，可得，cos，tan原式tan2【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题19（15分）在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（1）求d，an；（2）若d0，求
21、|a1|+|a2|+|an|【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用分类讨论思想，对数列的绝对值进行求和【解答】解：（1）公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a2+2，5a3成等比数列则：，解得：或，当d4时，当d1时，an10（n1）11n（2）当d1时，an11n当1n11时，an0，所以：|an|an，故：Sn|a1|+|a2|+|an|a1+a2+an当n11时，an0，所以：Sn|a1|+|a2|+|an|，a1+a2+a11a12a13an，2（a1+a2+a11）（a1+a2+a3+an），110故Sn【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求
22、法及应用，绝对值在数列的求和的应用20（15分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3asinCccosA（1）求sinA的值（2）若的面积为9，求a的值【分析】（1）由正弦定理进行化简，结合同角的三角函数关系式进行求解（2）利用两角和差的正弦公式求出sinC，结合正弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）3asinCccosA3sinAsinCsinCcosA，sinC0，3sinAcosA，又sin2A+cos2A1，得sin2A+9sin2A10sin2A1，得sin2A，得（2）cosA，sinCsin（A+B）sin（A+）（sinA+
23、cosA），由正弦定理得，则c2，ABC的面积为9，SacsinB9，即a29，即a3【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想21（15分）已知函数f（x）4sinxsin2（+）+cos2x（1）0为常数，若yf（x）在区间，上是增函数，求的取值范围（2）设集合Ax|x，Bx|f（x）m|2，若AB，求实数m的取值范围【分析】（1）化简函数，然后利用，解答即可（2）先求|f（x）m|2中的m的范围表达式，f（x）2mf（x）+2，m大于f（x）2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可【解答】解：
24、（1）f（x）2sinx+1在上是增函数，即，（2）由|f（x）m|2得：2f（x）m2，即f（x）2mf（x）+2AB，当时，f（x）2xf（x）+2恒成立f（x）2maxmf（x）+2min又时，m（1，4）【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，是中档题22（15分）已知函数f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，其中kR（1）设函数p（x）f（x）+g（x）若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明
25、理由【分析】（1）由题意知p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+5在（0，3）上有零点再由p（x）在（0，3）上有唯一零点和p（x）在（0，3）上有2个零点，进行分类讨论，由此能够求出实数k的取值范围（2）根据q（x），知k0再由当x20时，q（x）在（0，+）上是增函数，得到k5；当x20时，q（x）在（，0）上是减函数，得到k5，由此能求出k的值【解答】解：（1）f（x）3x22（k2k+1）x+5，g（x）2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+5在（0，3）上有零点（4k28k+4）12k600，解得 k2，或 k7
26、若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）（k+5）（7k+26）0 ，或，或，或解得5k，解得k，解得k，解可得 k2，或k7当k7时，p（x）f（x）+g（x）3x2+2（k1）x+k+53x2+12x+12的零点是2，不符合题意所以k7舍去若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得k2综上所述，实数k的取值范围为5，2（2）函数q（x），即q（x）显然，k0不满足条件，故k0当x0时，q（x）2k2x+kk，+）当x0时，q（x）3x22（k2k+1）x+5（5，+）记Ak，+），B（15，+）当x20时，q（x）在（0，+）上是增函数，要使q（x2）q（x1），则x10，且AB，故k5；当x20时，q（x）在（，0）上是减函数，要使q（x2）q（x1），则x10，且BA，故k5；综上可得，k5满足条件故存在k5，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2x1），使得q（x2）q（x1）【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于难题