1、一、模型界定本模型是由弹簧连接的物体系统中关于平衡的问题、动力学过程分析的问题、功能关系的问题，但不包括瞬时性的问题。由弹性绳、橡皮条连接的物体系统也归属于本模型的范畴二、模型破解1.由胡克定律结合平衡条件或牛顿运动定律定量解决涉及弹簧弹力、弹簧伸长量的问题。（i）轻质弹簧中的各处张力相等，弹簧的弹力可认为是其任一端与所连接物体之间的相互作用力。（ii）弹簧可被拉伸，也可被压缩，即弹簧的弹力可以是拉力也可以是推力（当然弹性绳、橡皮条只能产生拉力）。（iii）弹簧称只能被拉伸，对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力时，其示数等于称钩一端与物体之间的拉力大小。（iv）有时应用比应用更便于解
2、题。（v）定性比较同一弹簧的形变量大小时也可从弹性势能大小作出分析。例1.如图1所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：中弹簧的左端固定在墙上。中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用。中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动。中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧的伸长量，则有例1题图A. B. C. D. 【答案】D例2.如图所示,A、B两物体的重力分别是GA=3 N,GB=4 N,A用细绳悬挂在天花板上,B放在水平地面上,连接A、B间的轻弹簧的弹力F =2
3、 N,则绳中张力T及B对地面的压力N的可能值分别是例2题图A.7 N和2 NB.5 N和2 N C.1 N和6 N D.2 N和5 N【答案】BC【解析】当弹簧是处于被拉伸的状态时，分析A物体的受力由平衡条件可知绳中张力TGA+F5N，分析B物体的受力由平衡条件地面对B的支持力NGBF2N。当弹簧处于被压缩状态时同理分析AB受力可得绳中张力及地面对B的支持力分别为T1N、N6N，BC正确。例3.实验室常用的弹簧秤如图甲所示，连接有挂钩的拉杆与弹簧相连，并固定在外壳一端O上，外壳上固定一个圆环，可以认为弹簧秤的总质量主要集中在外壳（重力为G）上，弹簧和拉杆
4、的质量忽略不计，现将该弹簧秤以两种方式固定于地面上，如图乙、丙所示，分别用恒力F0竖直向上拉弹簧秤，静止时弹簧秤的读数为例3题图 A乙图读数F0G，丙图读数F0+G B乙图读数F0G，丙图读数F0 C乙图读数F0，丙图读数F0G D乙图读数F0G，丙图读数F0G【答案】B例4.质量不计的弹簧下端固定一小球.现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样大小的加速度a(a<g)分别向上、向下做匀加速直线运动.若忽略空气阻力,弹簧的伸长分别为x1、x2；若空气阻力不能忽略且大小恒定,弹簧的伸长
5、分别为x1、x2, A.x1+x1=x2+x B.x1+x1<x2+ x2C.x1+x2=x1+x2 D.x1+x2x2+x2,故A、B选项错误.x1+x=x1+x2=,故C选项正确,D选项错误. 例5.一
6、根轻质弹簧一端固定，用大小为的力压弹簧的另一端，平衡时长度为；改用大小为的力拉弹簧，平衡时长度为。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹 簧的劲度系数为A B. C. D.【答案】C例6.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零则在圆环下滑过程中（ &nbs
7、p; ）ww w.ks5 u.co m例6题图A圆环机械能守恒 B弹簧的弹性势能先增大后减小C弹簧的弹性势能变化了D弹簧的最大压缩量必大于其最大拉伸量【答案】C【解析】圆环下滑过程中除了重力外还有弹簧的弹力做功，故其机械能不守恒，A错误。在圆环下滑过程中当圆环运动到弹簧与滑杆垂直时弹簧的长度最小、压缩量最大；由能量守恒可知当圆环下滑到最低点时，圆环减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹簧的弹性势能大于弹簧在压缩量最大时的弹性势能，则在最低点弹簧必然处于拉伸状态且此时的拉伸量大于圆环下滑过程中的最大压缩量，进而可知弹簧的弹性势能必是先增大后减小再增大的，BD错误C正确。模型演练1.如图所
8、示，质量均为m的两个小球，分别用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，静止时弹簧是水平的，若两根细线之间的夹角为，则弹簧的形变量为O练1图ABCD【答案】A2 如图所示，轻弹簧的一端与物块P相连，另一端固定在木板上。先将木板水平放置，并使弹簧处于拉伸状态。缓慢抬起木板的右端，使倾角逐渐增大，直至物块P刚要沿木板向下滑动，在这个过程中，物块P所受静摩擦力的大小变化情况是P练2图A 先减小后增大 B 先增大后减小 C 一直增大 D 保持不变【答案】A3.如图所示，质量m=10kg和M=20kg的两物块，叠放在光滑水平面上，其中物块m通过处于水平方向的轻弹簧与竖直墙壁相连，
9、初始时刻，弹簧处于原长状态，弹簧的劲度系数k=250N/m现用水平力F作用在物块M上，使其缓慢地向墙壁移动，当移动40cm时，两物块间开始相对滑动，在相对滑动前的过程中，下列说法中正确的是mMF练3图AM受到的摩擦力保持不变B物块m受到的摩擦力对物块m不做功C推力做的功等于弹簧增加的弹性势能D开始相对滑动时，推力F的大小等于200N【答案】C【解析】缓慢移动时任一时刻都可以认为是一平衡状态.取m为研究对象,可知M对m的摩擦力与弹簧弹力始终等值反向,即其大小逐渐增大,方向与m运动方向相同,进而可知摩擦力对m做正功,AB皆错误.此过程中两物块之间的摩擦力是静摩擦力,不引起能量的转化,则由能量守恒可
10、知C正确.开始相对滑动时,弹簧弹力等于两物块之间的最大静摩擦力,从整体来看也等于推力F,即,D错误.4.如图所示，一个竖直放置在地面上的长方体框架，其质量为M，轻质弹簧将两个小物块P和Q顶在框架的上下两端，P、Q的质量均为m，而此时P对顶板的压力为0.5mg （ ）练4图A此时Q对底板的压力为1.5mg B此时框架对地面的压力为M0.5mg C若整个装置做自由落体运动，P和Q对框架的压力均为零D若整个装置做自由落体运动，P和Q对框架的压力均为1.5mg【答案】
11、D5.如图所示，OA为一遵从胡克定律的橡皮条，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连，当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用，B为紧靠绳的光滑水平小钉，它到天花板的距离OB等于弹性橡皮条的自然长度，现用一水平力F作用于A，使之向右做直线运动，在运动过程中（在弹性限度内）作用于A的摩擦力应( )练5图A.逐渐增大 B.逐渐减小C.保持不变 &nbs
12、p; D.先增大后减小【答案】C【解析】A向右运动过程中所受摩擦力为滑动摩擦力,其大小满足.分析A在运动中任一位置处受力,在竖直方向上由平衡条件有,而是一常量,可见A所受摩擦力也保持不变,C正确. 6.图中a、b、c为三个物块，M、N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图并处于平衡状态。MNaRcb练6图A,有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B,有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C.有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D.有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态【答案】AD7.如图a所示，
13、一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接），初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图b所示（g=10m/s2），则正确的结论是（ ）练7图A物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B弹簧的劲度系数为7.5N/cmC物体的质量为3kg D物体的加速度大小为5m/s2【答案】D8.如右图所示，两木块的质量分别为m1和m2 两轻质弹簧的劲度系数分别为Kl和K2,上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧.在此过程中下面木
14、块移动的距离为练8图A. B. C. D.【答案】C【解析】下面木块移动的距离等于此过程中下面弹簧长度的改变量。初始状态下下面弹簧的弹力等于两木块的总重力，最终状态下下面弹簧的弹力等于m2的重力，故下面弹簧弹力的变化量，再由知C正确。9.如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为的相同小球，小球之间用劲度系数均为的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在
15、静止状态时，每根弹簧长度为 已知静电力常量为，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为练9题A B C D【答案】C10.运动员常利用如图所示的装置训练肌肉力量，弹簧右端与墙相连、左端系在运动员的腰上，左边墙上固定一根绳子。假定某运动员质量为50kg，他与地面间的动摩擦因数为，弹簧的劲度系数为k=1000N/m，运动员双手拉住绳子从弹簧原长位置向左缓慢前进（脚与地面间不打滑）。当他向左运动的位移为3m时，运动员松开绳子被弹簧拉着向右滑行，若最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g取10m/s2，则下列说法中不正确的是（
16、 ）练10图A在运动员向左运动的过程中，当位移为1m时，绳对人的拉力一定为900N，脚对地面的摩擦力一定为100NB在运动员向左运动过程中，当位移为2m时，绳对人的拉力可能为2050NC在运动员向左运动的过程中，地面对运动员的摩擦力一定做负功D当运动员向右运动到弹簧恢复原长时，运动员的速度达到最大值【答案】B【解析】当位移为1m时,弹簧弹力大小为1000N、方向向右,此时绳中张力与地面对人摩擦力的矢量和为1000N,由于摩擦力大小可在0100N之间变化,方向可向左也可向右,故绳中张力的大小可在900N1100N之间,A错误,同理可判定B正确.当运动员向左运动过程中,若绳
17、中张力大于弹簧弹力时地面对人的摩擦力与人运动方向相反,否则摩擦力与人运动方向相同而对人做正功,C错误.当运动员向右滑动时水平方向上受到弹簧弹力与摩擦力两个力的作用,当摩擦力与弹簧弹力相等时运动员的速度达到最大,D错误.2.由力与运动的关系分析物体的运动过程（1）单振子振动系统单振子系统是指弹簧一端连接物体、另一端固定的物理情景。（i）物体受到的外力除弹簧的弹力外都是恒力时，物体的运动只能是变加速运动。（ii）物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，当物体的加速度为零时速度最大；速度为零时加速度最大。（iii）物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加
18、速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。（iv）为了快捷分析物体的动态过程，可以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的特点。（v）当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹力外物体必然至少还受到一个变化的外力，以保证物体所受的合力恒定。（2）双振子系统双振子系统是指轻质弹簧两端都边接着物体，两物体在外力作用下皆处于运动之中的物理情景。（i）双振子系统中两物体的速度相等时物体间距离出现极值（最大或最小），弹簧的弹性势能达到最大，注意是速度相等而非速率相等时。（ii）双振子系统中两物体的加速度相等时物体间的速度差值达到最大（iii）双振子系统的运动过程分析也
19、可结合速度图象，有时需利用动量定理、动量守恒、功能原理、能量守恒等进行辅助分析。例7.如图所示，弹簧左端固定，右端自由伸长到O点并系住物体m，现将弹簧压缩到A点，然后释放，物体一直可以运动到B点然后返回，如果物体受到的阻力大小恒定，则 例7题图A物体从A到O点先加速后减速B物体运动到O点时所受合力为零，速度最大C物体从A到O做加速运动，从O到B做减速运动D物体从A到O的过程加速度逐渐减小【答案】A【解析】设弹簧的形变量为x，物体受阻力大小为Ff，由牛顿第二定律可得：kxFfma，随物体由A向右运动，x变小，a变小，当a0时，kxFf，此时物体还没有到达O点，之后物体再向右运动时，a的方向变为向
20、左且逐渐增大，物体开始减速，可见物体运动到O点时合力不为零，速度也不是最大，由以上分析可知，只有A正确例8.如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则A时刻小球动能最大B时刻小球动能最大C这段时间内，小球的动能先增加后减少D这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能【答案】C例9.质量相等的两木块A、B用一轻弹簧栓接，静置于水平地面上，如图甲所示。
21、现用一竖直向上的力F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动，如图乙所示。在木块A开始运动到木块B将要离开地面的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下述判断正确的是AB甲AB乙F例9题图A. 力F大小一直不变B. 弹簧的弹性势能一直增大C. 木块A的动能和重力势能之和先增大后减小D. 两木块A、B和轻弹簧组成的系统的机械能一直增大 【答案】D例10.如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有例
22、10题图A当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C当A、B的速度相等时，A的速度达到最大D当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大【答案】【解析】处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，例10 答图例11.如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球A、B，带有等量异种电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光滑的水平面上，突然加一水平向右的匀强电场后，两小球A、B将由静止开始运动，在以后的运动过程中，对两小球A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是(设整个过程中不考虑电荷间库仑力的
23、作用且弹簧不超过弹性限度)例11题图A由于电场力对球A和球B做功为0，故小球电势能总和始终不变B由于两个小球所受电场力等大反向，故系统机械能守恒C当弹簧长度达到最大值时，系统机械能最大 D当小球所受电场力与弹簧的弹力大小相等时，系统动能最大【答案】CD例12.如图所示，一质量为M的塑料球形容器，在A处与水平面接触。它的内部有一直立的轻弹簧。弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度。在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力。例12题图【答案】
24、 2Mg【解析】因为弹簧正好在原长时，小球恰好速度最大所以有：小球在最高点时容器对桌面的压力最小，有：此时小球受力如图所示，例12答图所受合力为模型演练11.如图所示，竖立在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端，并向下压球，使弹簧压缩，用细线把弹簧栓牢，如图a烧断细线，球将被弹起，且脱离弹簧后能继续向上运动，如图b忽略空气阻力，从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中：练11图 A球的动能在刚脱离弹簧时最大 B球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小 C球所受合力的最大值大于重力的值 &n
25、bsp; D系统机械能不变【答案】BCD【解析】由于小球在弹簧恢复原长时脱离弹簧，则在小球脱离弹簧之前必有一位置使小球受到的弹簧的弹力与小球的重力相等，在此平衡位置前小球加速之后则减速，故在此位置小球的速度最大、动能最大，A错误。脱离时弹簧的形变量为零、弹性势能为零，B正确。由于小球脱离弹簧时所受合力等于重力且速度不为零，则在小球经过与脱离点关于平衡位置对称的位置上时所受合力大小也等于重力、速度速度也必不为零，此对称位置不是小球运动的初始位置最低点，故小球在细线刚被烧断时所受合力最大且大于重力，C正确。由于运动中只有重力、弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，D正确。12.某缓冲装置可
26、抽象成图所示的简单模型，图中K1、K2为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧，下列表述正确的是垫片K1K2A缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变【答案】BDE11.一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是 A运动员到达最低点前重力势能始终减小B蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D蹦极过程中，重力势能的改变与重力
27、势能零点的选取有关【答案】ABC【解析】对于质量一定的物体其重力势能与物体的高度成正比,A正确.弹性势能与形变量是正相关的,B正确.不考虑空气阻力时运动员、地球和蹦极绳所组成的系统中只发生重力势能、弹性势能、动能之间的转化,系统机械能守恒,C正确.重力势能具有相对性,但其改变量是绝对,D错误.13.如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中 练13图A重力先做正功，后做负功 B弹力没有做正功C金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡D金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大
28、【答案】BCD14.如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有练14图A当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C当A、B的速度相等时，B的加速度小于A的加速度D当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 【答案】BD15.两根足够长的金属导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面
29、与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻R外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则 ab
30、 R练15图A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度gB.金属棒的速度为v时，金属棒两端的电压U=BLvC.金属棒的速度为v时，所受合外力的大小为F=D.电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少【答案】AB【解析】在释放瞬间,弹簧处于原长状态,棒的瞬时速度为零,棒中无感应电流,棒也不受到安培力的作用,金属棒此时只受到重力的作用,故A正确.棒运动时切割磁感线产生电动势相当于电源,由于棒的电阻不计,则其两端电压即路端电压等于电源电动势,B正确.金属棒速度为v时受到的安培力为,而此时棒还受到重力、弹簧弹力,故C错误.由能量守恒知,
31、金属棒减少的策略势能一部分转化为焦耳热、一部分转化为棒的动能、还有一部分转化为弹簧的弹性势能,故D错误.16.如图所示，两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根相同的导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路。导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中间用细线绑住，它们的电阻均为R，回路上其余部分的电阻不计。在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场。开始时，导体棒处于静止状态，剪断细线后，导体棒运动过程中练16图A回路中有感应电动势B两根导体棒所受安培力的方向相同C两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒D两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒【答
32、案】AD17.如图所示，在水平地面上固定一倾角为的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m、带电量为q（q>0）的滑块从距离弹簧上端为xo处静止释放，滑块在运动道程中电量保持不变。设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。则（ ）练17图A当滑块的速度最大时，弹簧的弹性势能最大B当滑块的速度最大时，系统的机械能最大C当滑块的加速度最大时，弹簧的弹性势能最大 D当滑块的加速度最大时，系统的机械能最大【答案】
33、CD18.如图所示，圆弧虚线表示正点电荷电场的等势面，相邻两等势面间的电势差相等。光滑绝缘直杆沿电场方向水平放置并固定不动，杆上套有一带正电的小滑块(可视为质点)，滑块通过绝缘轻弹簧与固定点O相连，并以某一初速度从M点运动到N点，OMON。若滑块在M、N时弹簧的弹力大小相等，弹簧始终在弹性限度内，则练18图A、滑块从M到N的过程中，速度可能一直增大B、滑块从位置1到2的过程中，电场力做的功比从位置3到4的小C、在M、N之间的范围内，可能存在滑块速度相同的两个位置D、在M、N之间可能存在只由电场力确定滑块加速度大小的三个位置【答案】AC【解析】在N点如果电场力不小于弹簧弹力的分力，则滑块一直加速
34、，A正确。在N点如果电场力小于弹簧弹力的分力，则滑块先加速后减速，就可能有两个位置的速度相同，C正确。1、2与3、4间的电势差相等，电场力做功相等，B错误。由于M点和N点弹簧的长度不同但弹力相等，说明N点时弹簧是压缩的，在弹簧与水平杆垂直和弹簧恢复原长的两个位置滑块的加速度只由电场力决定，D错误。19.如图所示，质量均为m的两个完全相同的小球A、B(可看成质点)，带等量异种电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光滑的水平面上当突然加一水平向右的匀强电场后，两小球A、B将由静止开始运动则在以后的运动过程中，对两个小球和弹簧所组成的系统(设整个过程中不考虑两电荷之间的库仑力作用且弹簧不超过弹性限度)
35、，以下说法错误的是练19图 A系统的机械能守恒 B当两小球速度为零时，系统的机械能一定最小 C当小球所受的电场力与弹簧的弹力平衡时，系统动能最大 D因电场力始终对球A和球B做正功，故系统的机械能不断增加【答案】C3. 涉及弹簧的弹性势能的定量计算（i）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系，有时需结合动量守恒。（ii）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：位置的对称性当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。位置变化的相同性当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性
36、势能的变化量相同。弹性势能公式当弹性势能公式Epkx2做为题设条件时可直接使用。例13.有一倾角为的斜面，其底端固定一档板M，另有三个木块A、B和C，它们的质量分别为，它们与斜面间的动摩擦因数都相同。其中木块B放于斜面上并通过一轻弹簧与档板M相连，如图所示，开始时，木块B静止于P处，弹簧处于原长状态，木块A在Q点以初速度向下运动，P、Q间的距离为L。已知木块A在下滑的过程中做匀速直线运动，与木块B相碰后立刻一起向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块A向上运动恰好能回到Q点。若木块B仍静止放在P点，木块C从Q点处于开始以初速度向下运动，经历同样过程，最后木块C停在斜面的R点。求
37、：例13题图（1）A、B一起压缩弹簧过程中，弹簧具有的最大弹性势能；（2）A、B间的距离【答案】(1) （2）（2）木块C与B碰撞过程，由动量守恒定律得：碰后BC的总动能为：由式可知BC压缩弹簧具有的最大弹性势能和AB压缩弹簧具有的最大弹性势能相等，两次的压缩量也相等。设AB被弹回到P点时的速度为，从开始压缩到回到P点有：两木块在P点处分开后，木块A上滑到Q点的过程：设BC回到P点时的速度为，同理有：联立得：。例14.如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握
38、在手中，各段绳均处于刚好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施 水平恒力F而使A从静止开始向上运动。（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）例14题图（1）如果在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚要离开地面时A的速度为多大？（2）若将B的质量增加到2m，为了保证运动中B始终不离开地面，则F最大不超过多少？【答案】（1）（2） （2）所施力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。在最低点： F0mg+kx0=
39、ma1式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加速度。例15.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.例15题图图【答案】【解析】根据自由落体可得物块下落高度所获得的速度，即（1）质量为m的物体与质量为m的钢板碰撞后的速度为，可用动量守恒求出（因碰撞时间极短，可以认为物
40、体与钢板碰撞过程中满足动量守恒）：解得：设弹簧的压缩量为时的弹性势能为，当物块与钢板一起向下运动到最低点又向上运动到O点时，它们的动能为零，弹簧的弹性势能也是零，与刚碰撞完时比较，由机械能守恒得：得：自O点以上，物块（质量为2m）与钢板m将分离。这是因为两者不粘连，物块将只受重力作用、加速度为g；而钢板除受重力外，还将受向下的弹力作用，加速度向下且大于g。因此物块将做竖直上抛运动直至上升到最大高度，它向上运动到最高点与O点的距离为：例16.如图所示，已知轻弹簧发生弹性形变时所具有的弹性势能Epkx2.其中k为弹簧的劲度系数，x为其形变量现有质量为m1的物块与劲度系数为k的轻弹簧相连并静止地放在
41、光滑的水平桌面上，弹簧的另一端固定，按住物块m1，弹簧处于自然长度，在m1的右端连一细线并绕过光滑的定滑轮接一个挂钩现在将质量为m2的小物体轻轻的挂在挂钩上设细线不可伸长，细线、挂钩、滑轮的质量及一切摩擦均不计，释放m1.求：例16题图(1)m1速度达最大值时弹簧伸长的长度；(2)m1的最大速度值【答案】（1）（2）模型演练20.如图所示，A物体质量为m， B质量为2m，用一轻绳相连，将A用一轻弹簧悬挂于天花板上，系统处于静止状态，此时弹簧的伸长量为x，弹性势能为Ep，已知弹簧的弹性势能与形变量的平方成正比，且弹簧始终在弹性限度内。现将悬线剪断，则在以后的运动过程中，A物体的AB练20图A最大
42、动能为EpmgxB最大动能为Epmgx C速度达到最大时，弹簧弹力做功为EpD速度达到最大时，弹簧弹力做功为Ep【答案】AD,AD正确. 21.如图所示，光滑水平面上的木板右端，有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M=3.0kg。质量m=1.0kg的铁块以水平速度v0=4.0m/s，从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回，最后恰好停在木板的左端。在上述过程中弹簧具有的最大弹性势能为：Mmv0练21图A3.0JB6.0JC20JD4.0J【答案】A【解析】弹簧弹性势能最大时弹簧被压缩到最短,此时铁块速度与木板相同,由动量守恒有,解得,同理可知最终状态下的共同速度也是1m/s.再由
43、能量守恒有:从初始状态到弹簧被压缩到最短时、从初始状态到最终状态,可解得,A正确.22.如图所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上.然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为mA、mB，且mA<mB.求：练22图（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能Ep.（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻.【答案】（1）（2）B的速度没有等于0的时刻（2）假设以后运动过程中B的速度为0时，A的速度为vA，此时弹簧的弹性势能为Ep.由动量守恒有：（mA+mB）v
44、0=mAvA23.如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带为+QA和+QB的电荷量，质量分别为和。两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接轻质小钩。整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中，A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮。练23图（1）若在小钩上挂质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P，求物块C下降的最大距离（2）若C的质量为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？【答案】（1）（2）【解析】通过物理过程的分析可知：当A刚离开挡板P时，弹力恰好与所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块质量，在第问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解。设开始时弹簧压缩量为x1由平衡条件：可得 设当A刚离开档板时弹簧的伸长量为：由：可得故C下降的最大距离为：由式可解得