1、【类型综述】本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材，可以对函数图象进行平移，可以对几何图形进行平移、旋转，考查学生的数学综合应用能力在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用只要抓住全等变换的特点，找到变与不变的量就可以解决问题预计在 2018 年中考中仍会在压轴部分渗透变换，但是会有新情境的渗透【方法揭秘】1.平移的性质(1)平移前后，对应线段平行、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行（或在同一直线上）或相等；(3)平移前后的图形全等，注意：平移不改变图形的形状和大小.平移的作图步骤：(1)根据题意，确定平移方向和平移距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移
2、距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.旋转的作图步骤：(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角度；(2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角度将它们旋转，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形3.中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分_成中心对称的两个图形全等.中心对称的作图步骤：(1)找出图形的关键点
3、；(2)作出关键点关于对称中心的对称点；(3)按原图形依次连接得到的各关键点的对称点【典例分析】例 1 如图,在矩形 ABCD 中,AB=5,AD=12,将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进行两次旋转,则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( ).A. B. 13C. 25 D. 25思路点拨连接 BD,BD,首先根据勾股定理计算出 BD 长,再根据弧长计算公式计算出 ,的长,然后再求和计算出点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长即可.满分解答考点伸展图形经历多次旋转时,要关注每次旋转的旋转中心,旋转角,否则易于出错. 此题主要考查了弧长计算,以及勾股定理的应用,关键是掌握弧长
4、计算公式 学科#网例 2 如图,在 RtABC 中,B=90,AB=3,BC=4,将 ABC 折叠,使点 B 恰好落在边 AC 上,与点 B重合,AE 为折痕,则 EB= . 思路点拨首先根据折叠可得 BE=EB,AB=AB=3,然后设 BE=EB=x,则 EC=4-x,在 RtABC 中,由勾股定理求得 AC 的值,再在 RtBEC 中,由勾股定理可得方程 x2+22=(4-x)2,再解方程即可算出答案.考点伸展图形的翻折类问题，要注意翻折前后的两个图形全等，相对应的对应边和对应角都相等.解决此类问题，注意抓住题中的不变量，以不变应万变，同时注意方程思想的应用.例 3 如图， 是边长为 的等
5、边三角形，边 在射线 上，且 ，点 从点 出发，ABC4cmABOM6AcmDO沿 的方向以 的速度运动，当 不与点 重合是，将 绕点 逆时针方向旋转 得到OM1/sDCD06，连接 .ED（1）求证： 是等边三角形；CDE（2）当 时，的 周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长；610tBBDE若不存在，请说明理由.（3）当点 在射线 上运动时，是否存在以 为顶点的三角形是直角三角形？DOM,DEB若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.t思路点拨（1）由旋转的性质得到DCE=60，DC=EC，即可得到结论；（ 2）当 6t 10 时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到 CDB
6、E=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到 DE=CD，由垂线段最短得到当 CDAB 时，BDE 的周长最小，于是得到结论；（ 3）存在，当点 D 与点 B 重合时，D，B，E 不能构成三角形，当 0t6 时，由旋转的性质得到ABE=60，BDE60，求得BED=90，根据等边三角形的性质得到DEB=60，求得CEB=30 ，求得 OD=OADA=64=2，于是得到 t=21=2s；当 6t10s 时，此时不存在；当 t10s 时，由旋转的性质得到DBE=60，求得BDE60，于是得到 t=141=14sC DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，
7、CDE 是等边三角形，DE=CD，C DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当 CDAB 时，BDE 的周长最小，此时，CD=2 cm，3BDE 的最小周长=CD+4=2 +4；3当 6t10s 时，由DBE=12090，此时不存在；当 t10s 时，由旋转的性质可知， DBE=60 ，又由（1）知CDE=60，BDE=CDE+BDC=60+BDC，而BDC0，BDE60，例 4 如图，已知抛物线的对称轴是 y 轴，且点（2，2） ， （1， ）在抛物线上，点 P 是抛物线上不与顶点54N 重合的一动点，过 P 作 PAx 轴于 A，PCy 轴于 C，延长 PC 交抛物线于 E，设 M 是 O
8、关于抛物线顶点 N 的对称点，D 是 C 点关于 N 的对称点（1）求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标；（2）求证：四边形 PMDA 是平行四边形；（3）求证：DPE PAM，并求出当它们的相似比为 时的点 P 的坐标3思路点拨（1）由已知点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，可求得其顶点 N 的坐标；（2）设 P 点横坐标为 t，则可表示出 C、D 、M、A 的坐标，从而可表示出 PA 和 DM 的长，由 PA=DM 可证得结论；（3）设 P 点横坐标为 t，在 RtPCM 中，可表示出 PM，可求得 PM=PA，可知四边形 PMDA 为菱形，由菱形的性质和抛物线的对称性可得PDE=
9、APM，可证得结论，在 RtAOM 中，用 t 表示出 AM 的长，再表示出 PE 的长，由相似比为 可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值，可求得 P 点坐标3（3）解：同（2）设 P（t， ） ，则 C（0， ） ，PA = ，PC=|t| ，M （0，2） ，CM=214214t214t2= ，在 RtPMC 中，由勾股定理可得 PM= = =14t2t 2PC21()4t= =PA，且四边形 PMDA 为平行四边形，四边形 PMDA 为菱形，2()t 214tAPM =ADM=2 PDM ， PE y 轴，且抛物线对称轴为 y 轴，DP=DE ，且PDE=2PDM，PDE=APM，且
10、 ， DPEPAM；OA=|t |，OM=2，AM =PDEAM，且 PE=2PC=2|t|，当相似比为 时，则 = ，即 = ，解得 t= 或24t3324t323t= ，P 点坐标为（ ，4）或（ ，4） 322例 5 如图，抛物线 l：y= （x h） 22 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，将抛物线 在 x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数 的图象（1）若点 A 的坐标为（1， 0） 求抛物线 l 的表达式，并直接写出当 x 为何值时，函数 的值 y 随 x 的增大而增大；如图 2，若过 A 点的直线交函数 的图象于另外两点 P，Q，
11、且 SABQ=2SABP，求点 P 的坐标；（2）当 2x3 时，若函数 f 的值随 x 的增大而增大，直接写出 h 的取值范围思路点拨（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点 B 的坐标，根据图象写出函数 的值 y 随 x 的增大而增大（即呈上升趋势）的 x 的取值；如图 2，作辅助线，构建对称点 F 和直角角三角形 AQE，根据 SABQ=2SABP，得 QE=2PD，证明PAD QAE，则 ，得 AE=2AD，设 AD=a，根据 QE=2FD 列方程可求得 a 的值，并计算 P 的坐标；（2）先令 y=0 求抛物线与 x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：
12、分别讨论，并列不等式或不等式组可得 h 的取值如图 2，作 PDx 轴于点 D，延长 PD 交抛物线 l 于点 F，作 QEx 轴于 E，则 PDQE，由对称性得：DF=PD，S ABQ=2SABP， ABQE=2 ABPD，QE=2PD ，PDQE，PAD QAE， ，AE=2AD，设 AD=a，则 OD=1+a，OE=1+2a ，P（1+a， （1+a 3） 22） ，点 F、Q 在抛物线 l 上，PD=DF= （1+a 3） 22，QE= （1+2a3） 22， （1+2a3） 22=2 （1+a3） 22，解得：a= 或 a=0（舍） ， P（ ， ） ；综上所述，当 3h4 或 h0
13、 时，函数 f 的值随 x 的增大而增大学科#网【变式训练】(2017 河南第 10 题)如图，将半径为 2，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ，点 ， 的120OAB60OB对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）OBA B C. D232323243【答案】C.考点：扇形的面积计算.2. （2017 湖南长沙第 12 题）如图，将正方形 折叠，使顶点 与 边上的一点 重合（ 不与ABCDACDH端点 重合） ，折痕交 于点 ，交 于点 ，边 折叠后与边 交于点 ，设正方形DC,AEFBG的周长为 ， 的周长为 ，则 的值为（ ）ABmCHGnmA B C D随 点位置的变
14、化而变化21215H【答案】BCMG 的周长为 CM+CG+MG= 24axy在 RtDEM 中， DM2+DE2=EM2即（2a-x ） 2+y2=（2a-y） 2整理得 4ax-x2=4ayCM+MG+CG= =n244axya所以 12nm故选：B考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理3. 2017 辽宁沈阳第 16 题)如图，在矩形 中， ,将矩形 绕点 按顺时针方向旋转ABCD53BC， ABD得到矩形 ，点 落在矩形 的边 上，连接 ，则 的长是 .GBEFAE【答案】 .3105考点：四边形与旋转的综合题.4. （2017 浙江台州第 16 题）如图，有一个边
15、长不定的正方形 ABCD，它的两个相对的顶点 ,AC分别在边长为 1 的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点 ,BD在正六边形内部（包括边界） ，则正方形边长a的取值范围是 【答案】 （ ）632a23+1a当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a 最大（如下图所示）.设 A（ t, ）时，正方形边长最大.32OBOA.B（- ，t）32设直线 MN 解析式为：y=kx+b,M （-1，0） ，N （- ， - ） （如下图）123考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器三角函数，4、解直角三角形5. (2017 山东潍坊第 18 题)如图，将一张矩形纸片 的边 斜着向 边对折，使点
16、 落在 上，ABCDADBD记为 ，折痕为 ；再将 边斜向下对折，使点 落在 上，记为 ，折痕为 , ，BCEDCG2.则矩形纸片 的面积为 .31AB【答案】15考点：1、翻折变换（折叠问题） ；2、矩形的性质6. (2017 辽宁营口第 9 题)如图，在 中， ，点 在 上，ABC0,9ACBDBC，点 是 上的动点，则 的最小值为（ ）3,1BDCPPDA 4 B5 C. 6 D7【答案】B.【解析】试题分析：过点 C 作 COAB 于 O，延长 CO 到 C，使 OC=OC，连接 DC，交 AB 于 P，连接 CP，此时考点：轴对称最短路线问题；等腰直角三角形 .7.（2017 贵州遵
17、义第 26 题）边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（点 P 与A、C 不重合） ，连接 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连接 QP，QP 与 BC 交于点 E，QP 延长线与 AD（或 AD 延长线）交于点 F（1）连接 CQ，证明：CQ=AP ；（2）设 AP=x，CE=y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x 为何值时，CE= BC；38（3）猜想 PF 与 EQ 的数量关系，并证明你的结论【答案】 （1）证明见解析；（2）当 x=3 或 1 时，CE= BC； （3）. 结论：PF=EQ，理由见解析.8【解析】试题解析：（1
18、）证明：如图 1，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BQ，BP=BQ，PBQ=90四边形 ABCD 是正方形，BA=BC，ABC=90 ABC= PBQ ABCPBC=PBQPBC，即ABP=CBQ在BAP 和 BCQ 中， ，BACPQBAP BCQ（SAS） CQ=AP；（2）解：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，BAC= BAD=45，BCA= BCD=45，12APB+ABP=180 45=135，DC=AD=2 ，2由勾股定理得：AC= ，22()()4AP=x，PC=4x，PBQ 是等腰直角三角形，BPQ=45，APB+CPQ=180 45=135，CPQ=ABP
19、，BAC=ACB=45， APBCEP， ，APBCE ，y= x（ 4x）= （0x4） ，24xy122由 CE= BC= ，y= ，38323x24x=3=0， （x3） （x 1）=0，x=3 或 1，当 x=3 或 1 时，CE= BC；8考点：四边形综合题学科#网8. （2017 年山东省泰安市第 29 题）如图，四边形 ABCD是平行四边形， ADC， A， E是AB的中点， F是 AC延长线上一点（1）若 EDF，求证： EF；（2）在（1）的条件下，若 C的延长线与 B交于点 P，试判定四边形 ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答 )；（3）若 ，
20、与 垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由【答案】 （1）证明见解析（2）四边形 ACPE 为平行四边形（3）垂直试题解析：（1）在ABCD 中，AD=AC，AD AC ，AC=BC，ACBC，连接 CE，E 是 AB 的中点，AE=EC，CEAB，ACE=BCE=45，ECF=EAD=135 ，EDEF，CEF=AED=90 CED ，在CEF 和AED 中， ，CEFADCEFAED，ED=EF；（3）垂直，理由：过 E 作 EMDA 交 DA 的延长线于 M，过 E 作 ENFC 交 FC 的延长线于 N，考点：四边形综合题9. (2017 吉林第 26 题)函数的图象与性质拓展学习片
21、段展示：【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a（x2） 2 经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 A，则a= 【操作】将图中抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴折叠到 x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 G，如图 直接写出图象 G 对应的函数解析式【探究】在图中，过点 B（ 0，1）作直线 l 平行于 x 轴，与图象 G 的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图求图象 G 在直线 l 上方的部分对应的函数 y 随 x 增大而增大时 x 的取值范围【应用】P 是图中图象 G 上一点，其横坐标为 m，连接 PD，PE 直接写出PDE 的面积不小于 1 时
22、 m的取值范围【答案】 【问题】：a=13；【操作】：y=214（ )(0或 )3（ 3xx；【探究】：当 1x2或 x2+ 7时，函数 y 随 x 增大而增大；【应用】：m=0 或 m=4 或 m2 或 m2+ 【应用】：先求 DE 的长，根据三角形面积求高的取值 h1；分三部分进行讨论：当 P 在 C 的左侧或 F 的右侧部分时，设 P(m， 214（ )3m)，根据 h1，列不等式解出即可；如图，作对称轴由最大面积小于 1 可知：点 P 不可能在 DE 的上方；P 与 O 或 A 重合时，符合条件，m=0 或 m=4试题解析：【问题】抛物线 y=a（x2） 2 43经过原点 O，0=a（
23、0 2） 2 43，a= 1；【操作】：如图，抛物线：y= 1（x2） 2 ，对称轴是：直线 x=2，由对称性得：A（4，0） ，沿 x 轴折叠后所得抛物线为：y= 13（x2） 2+ 4如图，图象 G 对应的函数解析式为： y=2（ )(0或 4)31（ xx；【应用】：D（1，1） ，E（ 3，1） ，DE=31=2，S PDE= 2DEh1，h1；当 P 在 C 的左侧或 F 的右侧部分时，设 Pm， 214（ )3m，h= 13（m2） 2 411， （m2） 210，m2 0或 m2 ，即 m2+ 10或 m2 ，如图，作对称轴交抛物线 G 于 H，交直线 CD 于 M，交 x 轴于
24、 N，H（2， 43） ，HM= 1= 131，当点 P 不可能在 DE 的上方；MN=1，且 O（0，0） ，a（4，0） ，P 与 O 或 A 重合时，符合条件，m=0 或 m=4；综上所述，PDE 的面积不小于 1 时，m 的取值范围是：m=0 或 m=4 或 m2 10或 m2+ 考点：二次函数综合题学科#网10. （2017 江苏南通市第 28 题）已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a0）相交于 A、B 两点（点 A 在点B 的左侧） ，与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D（1）若AOB=60，ABx 轴，AB=2，求 a 的值；（2）若AO
25、B=90，点 A 的横坐标为4，AC=4BC，求点 B 的坐标；（3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO【答案】 （1） ；（2）B（ 1， ） ；（3）证明见解析.32试题解析：（1）如图 1，（2）如图 2，过 B 作 BEx 轴于 E，过 A 作 AGBE，交 BE 延长线于点 G，交 y 轴于 F，CF BG， ， AFCBGAC=4BC， =4，AF=4FG，A 的横坐标为-4，B 的横坐标为 1，A （-4，16a） ，B（1，a） ，AOB=90，AOD+ BOE=90，AOD+DAO=90，BOE=DAO，ADO=OEB=90，ADOOEB， ， ，16a 2=4，a= ，ODAEB164a 1a0，a= ；B （1， ） ；2（3）如图 3，OCAE，BCO BAE， ， ，1OB CEAn221namCOCO= =am2n，DE=CO2a考点：二次函数综合题