1、【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 几何中关于圆的综合题大致可分为： （1）以几何知识为主体的综合题； （2）代数、几何知识相结合的综合题； （3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和 d，第二步列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列两要素 R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，
2、不确定的要素要用含有 x 的式子表示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时 dR 列方程如图 1，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，圆 O 的半径为 1，点 C 在 y 轴的正半轴上，43y如果圆 C 既与直线 AB 相切，又与圆 O 相切，求点 C 的坐标“既，又”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个假设圆 C 与直线 AB 相切于点 D，设 CD3m ，BD 4m，BC5m，那么点 C 的坐标为(0,45m)罗列三要素：对于圆 O，r1；对于圆 C，R3m；圆心距 OC45m分类列方程：两圆外切时，45m 3m 1；两圆内切时， 45m3m1把这个问题再拓展一下，如果点
3、 C 在 y 轴上，那么还要考虑点 C 在 y 轴负半轴相同的是，对于圆 O，r1；对于圆 C，R3m；不同的是，圆心距 OC5m4图 1【典例分析】例 1 如图 1，直线 AB 与 x 轴交于点 A(4, 0)，与 y 轴交于点 B(0, 3)点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动同时将直线 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移，交34xOA 于点 C，交 OB 于点 D，设运动时间为 t（0t5）秒（1）证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形；（2）当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？请指出此时以点 D 为圆心、OD 长为
4、半径的圆与直线 AB的位置关系并说明理由图 1 例 2 如图 1，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ QB 1，动点 A 在圆 O 的上半圆上运动（包含 P、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC（1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（如图 1） ；（2）设AOB ，当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围（如图 2，直接写 出答案） ；（3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长（如图 3） 图 1 图 2 图 3例 3 在 RtABC 中，C
5、90，AC6， ，B 的半径长为 1，B 交边 CB 于点 P，点 O53sin是边 AB 上的动点（1）如图 1，将B 绕点 P 旋转 180得到M，请判断M 与直线 AB 的位置关系；（2）如图 2，在（1）的条件下，当OMP 是等腰三角形时，求 OA 的长； （3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以 NB 为半径的N 和以 OA 为半径的O 外切，设NBy，OA x，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域图 1 图 2 图 3例 4 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC4，cosA ，点 P 是边 AB 上的动点，以 PA 为半14径作P （1）若P 与 AC 边的
6、另一个交点为 D，设 APx ，PCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若P 被直线 BC 和直线 AC 截得的弦长相等，求 AP 的长；（3）若C 的半径等于 1，且 P 与C 的公共弦长为 ，求 AP 的长2图 1 备用图例 5 如图 1，抛物线 yax 2bx c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的P 总经过定点 A(0, 2)(,)6a（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M(x1,
7、0)、N (x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标图 1【变式训练】1.(2017 北京第 29 题)在平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在xOyPMM一点 ，使得 两点间的距离小于或等于 1，则称 为图形 的关联点QP、 PM（1）当 的半径为 2 时，O:在点 中， 的关联点是_1235,0,0O:点 在直线 上，若 为 的关联点，求点 的横坐标的取值范围PyxPP（2） 的圆心在 轴上，半径为 2，直线 与 轴、 轴交于点 若线段 上的所有C: 1yxyAB、点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标的取值范围C2. （2017 广东
8、广州第 25 题）如图 14， 是 的直径， ，连接 ABO:,2ACBAC（1）求证： ；045CAB（2）若直线 为 的切线， 是切点，在直线 上取一点 ，使 所在的直线与 所在lO:lD,BAAC的直线相交于点 ，连接 ED试探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；A 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由BCD3. (2017 湖南湘潭第 26 题)如图，动点 M在以 O为圆心， AB为直径的半圆弧上运动（点 M不与点AB、及 :的中点 F重合），连接 .过点 作 E于点 ，以 E为边在半圆同侧作正方形CDE，过 M点作 O的切线交射线 DC于点 N，连接 、 N.（1
9、）探究：如左图，当 M动点在 :AF上运动时；判断 OEDN:是否成立？请说明理由； 设 Ck， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设 B， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点 M在 :FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）4. （2017 湖南株洲第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c+1，当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c= b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？14若二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，
10、B （x 2，0） ，且 x1x 2，与 y 轴的正半轴交于点M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满足 ，求二次函数的表达式3DEF5 （2017 哈尔滨第 26 题）已知： 是 的弦，点 是 的中点，连接 、 ， 交 于点ABOC:ABOBCAB.D(1)如图 1，求证： ；AD=(2)如图 2，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，点 是 上一点，连接 、 ，求证：BOCMP:ACAPB.90APM- (3)如图 3，在(2)的条件下，连接 、 ，延长 交 于点 ，若 ， ，求DPOQ6MD=3sin5O
11、=的值.Q6. （2017 年贵州省黔东南州第 24 题）如图，M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y= x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点D（2，0）和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线 l 是M 的切线；（3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由7. （2017 年四川省内江市第
12、 27 题）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点N，连接 AC，点 E 在 AB 上，且 AE=CE（1）求证：AC 2=AEAB；（2）过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；（3）设O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值8. （2017 年浙江省杭州市第 23 题）如图，已知ABC 内接于O，点 C 在劣弧 AB 上（不与点 A，B 重合），点 D 为弦 BC 的中点，DEBC，DE 与 AC 的延长线交于点 E，射线 AO 与射线 EB 交于点 F，与O 交于
13、点G，设GAB=，ACB=，EAG+EBA=，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 30 40 50 60 120 130 140 150 150 140 130 120猜想： 关于 的函数表达式， 关于 的函数表达式，并给出证明：（2）若 =135，CD=3，ABE 的面积为ABC 的面积的 4 倍，求O 半径的长9. (2017 浙江温州第 24 题)（本题 14 分）如图，已知线段 AB=2，MN AB 于点 M，且 AM =BM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段BD 上） ，连结 AC，DE（1）当APB=28时，求B 和 :C的度数；（2）求证：AC=AB。（3）在点 P 的运动过程中当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值；记 AP 与圆的另一个交点为 F，将 点 F 绕点 D 旋转 90得到点 G，当点 G 恰好落在 MN 上时，连结AG，CG ，DG，EG，直 接写出 ACG 和DEG 的 面积之比 NCEDMAB P