1、【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证
2、假设是否正确【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图 1 图 2 图 3计算面积长用到的策略还有：如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图 5，同底三角形的面积比等于高的比如图 6，同高三角形的面积比等于底的比图 4 图 5 图 6【典例分析】例 1 如图，抛物线 yax 2bx c（a0）与 x 轴交于 A(1, 0)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于
3、点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y轴于点 Q，交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当 SMFQ S MEB 13 时，求点 M 的坐标例 2 如图，已知抛物线 （b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点21yxB 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为( 1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为_（上述结果均用含 c 的代数式表示） ；（2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点
4、 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、 E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设PBC 的面积为S求 S 的取值范围；若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有_个例 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 yax 2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x12yx轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及 sinACP 的
5、值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由例 4 如图，已 知 二 次 函 数 的 图 象 过 点 O(0,0)、 A(4， 0)、 B( )， M 是 OA 的 中 点 432,（1）求此二次函数的解析式；（2）设 P 是 抛 物 线 上 的 一 点 ， 过 P 作 x 轴 的 平 行 线 与 抛 物 线 交 于 另 一 点 Q， 要 使 四 边 形 PQAM 是 菱 形 ，
6、求 点 P 的 坐 标 ；（3）将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，得曲线 OBA（B为 B 关于 x 轴的对称点） ，在原抛x物线 x 轴的上方 部 分 取 一 点 C， 连 结 CM， CM 与 翻 折 后 的 曲 线 OBA 交 于 点 D， 若 CDA 的 面 积 是 MDA 面积 的 2 倍 ， 这 样 的 点 C 是 否 存 在 ？ 若 存 在 求 出 点 C 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 例 5 如图，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 (x0) 交于点 B(2，1)过点 (p1)作my,1)Px 轴的平行线分别交曲线 (x0) 和 (x0)
7、于 M、N 两点myy（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMB PNA ；（3）是否存在实数 p，使得 SAMN 4S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明理由例 6 如图 1，在ABC 中，C90，A C3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F，设 AEx，AEF 的面积为 y（1）求线段 AD 的长；（2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时，求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ；当 x 取何值时，y 有最大值
8、？并求出最大值（3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将 ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明理由图 1 备用图【变式训练】1.(2017 山东滨州第 12 题)在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧），并分别与直线 yx 和双曲线 y 1x相交于点 A、B，且 ACBC4，则OAB 的面积为（ ）A2 33 或 2 3 B 21 或 1C2 3 D 12.（2017 江苏苏州第 10 题）如图，在菱形 中， ， ， 是
9、的中点过点 作C60D8AFF，垂足为 将 沿点 到点 的方向平移，得到 设 、 分别是 、FDFA的中点，当点 与点 重合时，四边形 的面积为 A B C. D283243233283. （2017 青海西宁第 10 题）如图，在正方形 中， ，动点 自 点出发沿 方向以ABCD3cmMAB每秒 的速度运动，同时动点 自 点出发沿折线 以每秒 的速度运动，到达 点时运1cmN2动同时停止，设 的面积为 ，运动时间为 （秒） ，则下列图象中能大致反映 与 之间的AM2ycmxyx函数关系的是（ ）A B C. D4.(2017 福建第 25 题)已知直线 mxy2与抛物线 2yaxb有一个公共
10、点 (1,0)M，且 ab（）求抛物线顶点 Q的坐标（用含 a的代数式表示）；（）说明直线与抛物线有两个交点；（）直线与抛物线的另一个交点记为 N（）若 21a，求线段 M长度的取值范围；（）求 QN面积的最小值5.（2017 山东青岛第 24 题） （本小题满分 12 分） 已知：RtEFP 和矩形 ABCD 如图摆放（点 P 与点 B 重合） ，点 F，B（P） ，C 在同一条直线上，ABEF6cm，BCFP8cm，EFP90。如图，EFP 从图的位置出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；EP 与 AB 交于点 G同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1
11、cm/s。过 Q 作QMBD，垂足为 H，交 AD 于 M，连接 AF，PQ，当点 Q 停止运动时，EFP 也停止运动设运动时间为t（s） （0t6） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQBD？（2）设五边形 AFPQM 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 8:9:ABCDAFPQMS矩 形五 边 形 ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 M 在 PG 的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由6. (2017 四川泸州第 25 题)如图，
12、已知二次函数 )0(2acbxy的图象经过)2,0(,4),1(CBA三点.（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D是该二次函数图象上的一点，且满足 CAODB( 是坐标原点)，求点 D的坐标；（3）点 P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接 P分别交 yB,轴与点 ,FE若CEFB,的面积分别为 ,21S求 21的最大值.7. （2017 江苏苏州第 28 题） （本题满分 10 分）如图，二次函数 的图像与 轴交于 、2yxbcxA两点，与 轴交于点 ， 点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的yCDCD/ l对称轴， 是抛物线的顶点（1）求 、 的值；bc（2）如图，连接
13、，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标；FlFF（3）如图，动点 在线段 上，过点 作 轴的垂线分别与 交于点 ，与抛物线交于点 试xC问：抛物线上是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且线段 的长度最小？如果存在，求QAQ出点 的坐标；如果不存在，说明理由Q8. (2017 浙江金华第 24 题)如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分别为OABC，动点 与 同时从 点出发，运动时间为 秒，点 沿 方向)0,4(35,9(,3()0, CBAOPQtPOC以 单位长度/秒的速度向点 运动，点 沿折线 运动，在 上运动的速度分1 -A，别为 （单位长度/秒）
14、 .当 中的一点到达 点时，两点同时停止运动.2， ， C（1）求 所在直线的函数表达式；AB（2）如图 2，当点 在 上运动时，求 的面积 关于 的函数表达式及 的最大值；QCPQStS（3）在 ， 的运动过程中，若线段 的垂直平分线经过四边形 的顶点，求相应的 值.P OABCt9. （2017 湖北孝感第 24 题）在平面直角坐标系 中，规定：抛物线 的伴随直线为xoy2yaxhk.例如：抛物线 的伴随直线为 ，即 yaxhk213y2131.yx（1）在上面规定下，抛物线 的顶点为 .伴随直线为 ；抛物线4x与其伴随直线的交点坐标为 和 ；24yx（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 与
15、其伴随直线相交于点 (点 在点 的右21ymx,AB侧)与 轴交于点 x,.CD若 求 的值；90,AB如果点 是直线 上方抛物线的一个动点， 的面积记为 ，当 取得最大值 时，Pxy PBCS274求 的值.m10. （2017 内蒙古呼和浩特第 25 题）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，xOy2yaxbcyC其顶点记为 ，自变量 和 对应的函数值相等若点 在直线 ： 上，点M1x5Ml126yx在抛物线上(3,4)（1）求该抛物线的解析式；（2）设 对称轴右侧 轴上方的图象上任一点为 ，在 轴上有一点 ，试比较2yaxbcxPx7(,0)2A锐角 与 的大小（不必证明） ，并写出相应的 点横坐标 的取值范围；PCOA（3）直线 与抛物线另一点记为 ， 为线段 上一动点（点 不与 重合） 设 点坐标为 ，lBQMQMQ(,)tn过 作 轴于点 ，将以点 ， ， ， 为顶点的四边形的面积 表示为 的函数，标出自变QHxHOCSt量 的取值范围，并求出 可能取得的最大值tS