1、【类型综述】特殊四边形的几何动点问题，很多困难源于问题中的可动点，常见的动点四边形有平行四边形、矩形、菱形等问题，其中尤其是平行四边形的问题出现次数最多。实际上，求解特殊四边形的动点问题，关键是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，分类画出符合条件的图形进行讨论，就能找到解决问题的途径，有效避免思维混乱。【方法揭秘】我们先思考三个问题：1已知 A、B 、C 三点，以 A、B、C、D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2在坐标平面内，如何理解平行四边形 ABCD 的对边 AB 与 DC 平行且相等？3在坐标平面内，如何理解平行四边形
2、ABCD 的对角线互相平分？图 1 图 2 图 3如图 1，过ABC 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点 D如图 2，已知 A(0, 3)，B(2, 0)，C(3, 1) ，如果四边形 ABCD 是平行四边形，怎样求点 D 的坐标呢？点 B 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位与点 A 重合，因为 BA 与 CD 平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点 D(5, 4)如图 3，如果平行四边形 ABCD 的对角线交于点 G，那么过点 G 画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点 A、 C 到这条直线的距离相等，点 B、D
3、 到这条直线的距离相等关系式 xAx Cx Bx D和 yA yCy By D有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图 4，点 A 是抛物线 yx 22x3 在 x 轴上方的一个动点， ABx 轴于点 B，线段 AB 交直线yx1 于点 C，那么点 A 的坐标可以表示为(x,x 22x3)，点 C 的坐标可以表示为(x, x 1)，线段 AB 的长可以用点 A 的纵坐标表示为ABy Ax 2 2x3，线段 AC 的长可以用 A、C 两点的纵坐标 图 4表示为 ACy Ay C(x 2 2x3) (x1)x 2x2 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点
4、的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离【典例分析】例 1 如图 1，直线 y3x 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 ya(x2) 2k 经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P（1 ）求 a，k 的值；（2 ）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的坐标；（3 ）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A、C、M 、N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长 】图 1 思路点拨1第（2）题的等腰三角形只考虑 QAQB 的情形2第（3）题的正方形不可能 AC 为边，只存在 AC 为对角线的情形满分解答图 2 图
5、3 图 4考点伸展如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点 M 有几个？如果 AC 为对角线，上面的正方形 AMCN 是符合条件的，M(2,1)如图 5，如果 AC 为边，那么 MN/AC，MNAC2 所以点 M 的横坐标为 4 或 0 此时点 M 的坐标为 (4, 3)或(0, 3)第（2）题如果没有限制等腰三角形 ABQ 的底边，那么符合条件的点 Q 有几个？如图 2，当 QAQB 时，Q (2, 2)如图 6，当 BQBA 时，以 B 为圆心，BA 为半径的圆与直线 x2 有两个交点 10根据 BQ210，列方程 22( m3) 210 ，得 36此时 Q 或 (2,3
6、6)(,)如图 7，当 AQAB 时，以 A 为圆心，AB 为半径的圆与直线 x2 有两个交点，但是点(2,3) 与A、 B 三点共线，所以 Q(2, 3)图 5 图 6 图 7例 2 如图 1，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、C (3, 0)、D(3, 4)以 A 为顶点的抛物线 y ax2bx c 过点 C动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交AC 于点 E（1）直接写出点 A 的坐标，并求出
7、抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EFAD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以C、Q、 E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值图 1思路点拨1把ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形，高的和等于 AD2用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC，FE QC ，所以四边形
8、FECQ 是平行四边形再构造点 F 关于 PE 轴对称的点 H，那么四边形 EHCQ 也是平行四边形再根据 FQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 FECQ 是否为菱形，根据 EQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形 EHCQ 是否为菱形， ， ， 1(,4)2Et1(,4)2Ft(3,Qt,0)C如图 2，当 FQCQ 时，FQ 2CQ 2，因此 221(4)tt整理，得 解得 ， （舍去） 08t1085t2085如图 3，当 EQCQ 时，EQ 2CQ 2，因此 2()()tt整理，得 所以 ， （舍去） 217t(3)4t13240t图 2 图 3例 3 如图 1，抛物线经过 A(1
9、, 0)、B(5, 0)、C 三点设点 E(x, y)是抛物线上一动点，且在 x 轴10(,)3下方，四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）当点 E(x, y)运动时，试求平行四边形 OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大值；（3 ）是否存在这样的点 E，使平行四边形 OEBF 为正方形？若存在，求点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 思路点拨1平行四边形 OEBF 的面积等于OEB 面积的 2 倍2第（3）题探究正方形 OEBF，先确定点 E 在 OB 的垂直平分线上，再验证 EOEB满分解答（1 ）因为抛物线
10、与 x 轴交于 A(1, 0)、B(5, 0)两点，设 ya( x1)(x5) 代入点 C ，得 解得 0(,)315a23所以抛物线的解析式为 10()43yxx图 2 图 3考点伸展既然第（3）题正方形 OEBF 是存在的，命题人为什么不让探究矩形 OEBF 有几个呢？如图 4，如果平行四边形 OEBF 为矩形，那么OEB 90根据 EH2HO HB，列方程 22(1)5()3xx或者由 DE OB ，根据 DE2 ，列方程 15422 5()(1)34x这两个方程整理以后都是一元三次方程 4x328x 253x20 0 ，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的事实上，这个方程可以因式分解，
11、 51()()如图 3，x ；如图 4，x 4；如图 5，x ，但此时点 E 在 x 轴上方了522这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是 、m、n，那么 4x328x 253 x20 54()()2mn根据恒等式对应项的系数相等，得方程组 解得41028,53.mn4,1.2mn图 4 图 5例 4 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax 3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且CD4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表
12、达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由图 1 备用图思路点拨1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F，那么AEF 与CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准讨论矩形，当 AD 为边时，AD 与 QP 平行且相等，对角线 APQD；当 AD 为对角线时，AD 与 PQ 互相平分且相等满分解答（3）已知 A( 1, 0)、D(4,
13、 5a)，x P1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论：如图 2，如果 AD 为矩形的边，那么 AD/QP，AD QP，对角线 APQD由 xDx Ax P xQ，得 xQ4当 x4 时，y a(x 1)(x 3)21a所以 Q(4, 21a)由 yDy Ay P yQ，得 yP26a所以 P(1, 26a)由 AP2QD 2，得 22(26 a)28 2(16a) 2整理，得 7a21所以 此时 P 767(1)，如图 3，如果 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等由 xDx Ax P xQ，得 xQ2所以 Q(2,3a)由 yDy Ay P yQ，得 yP8a所以
14、P(1, 8a)由 AD2PQ 2，得 52(5 a)21 2(11a) 2整理，得 4a21所以 此时 P (14)，图 1 图 2 图 3考点伸展第（3）题也可以这样解设 P(1,n)如图 2，当 AD 时矩形的边时， QPD 90，所以 ，即 AMDNP53an解得 所以 P 所以 Q 5an235(1,)a3(4,)a将 Q 代入 ya(x 1)(x 3) ，得 所以 3(4,)17如图 3，当 AD 为矩形的对角线时，先求得 Q(2,3a) 由AQD 90 ，得 ，即 解得 AGKQD2512例 5 如图 1，已知抛物线 C：yx 2bx c 经过 A(3,0) 和 B(0, 3)两
15、点将这条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N（1）求抛物线 C 的表达式；（2）求点 M 的坐标；（3）将抛物线 C 平移到抛物线 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N如果以点 M、N 、M 、N 为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？图 1思路点拨1抛物线在平移的过程中，MN与 MN 保持平行，当 MNMN4 时，以点 M、N 、M 、N 为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为 16，底边 MN4，那么高 NN 43MN4 分两种情况：点 M在点 N的上方和下方 4NN 4 分两种情况：点
16、N在点 N 的右侧和左侧满分解答图 2 图 3考点伸展本题的抛物线 C 向右平移 m 个单位，两条抛物线的交点为 D，那么MM D 的面积 S 关于 m 有怎样的函数关系？如图 4，MM D 是等腰三角形，由 M(1,4)、M( 1m, 4)，可得点 D 的横坐标为 2将 代入 y( x1) 24，得 所以 DH 2mx 24y24所以 S 311)48m图 4例 6 如图 1，已知抛物线 yx 2bx c 经过 A(0, 1)、B(4, 3) 两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求 tanABO 的值；（3）过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 A
17、B 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标图 1 思路点拨1第（2）题求ABO 的正切值，要构造包含锐角ABO 的角直角三角形2第（3）题解方程 MNy My NBC，并且检验 x 的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 yx 2bxc ，得解得 ，c1,643.cb92b所以抛物线的解析式是 yx（2）在 RtBOC 中，OC 4，BC 3，所以 OB5如图 2，过点 A 作 AHOB ，垂足为 H在 Rt AOH 中，OA1， ，4sinsi5AOHBC所以 图 24sin5AHO所以 ， 32B在 Rt ABH
18、 中， ta51AH图 3 图 4考点伸展第（3）题如果改为：点 M 是抛物线上的一个点，直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N，如果M、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标那么求点 M 的坐标要考虑两种情况： MNy My N或 MNy Ny M由 yN yM4x x2，解方程 x24x3，得 （如图 5） 27所以符合题意的点 M 有 4 个： ， ， ， 9(1,),(,)57(2,)图 5例 7 将抛物线 c1： 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图 1 所示23y（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式；（2）现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度
19、，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值；在平移过程中，是否存在以点 A、N、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1把 A、B 、D 、E 、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用 m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照 AB 与 AE 的大小写出等量关系列关于 m 的方
20、程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时 ，AE 6所以 2(1m)6解得 m2123ABE情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时 ，AE 3所以 2(1m)3解得 1图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题，探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2，AB 边上的高为 ，所以ABM 是等边三角形3同理DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时，B、D 两点重合因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m1【变式训练】1.（2017 四川省达州市）探究：小明在
21、求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，可通过构造直角三角形利用图 1 得到结论：他还利用图 2 证明了线段 P1P2 的中点 P（x，y）P 的坐标公式： ，2 1 12x1y（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）已知点 M（2， 1） ，N（3，5） ，则线段 MN 长度为 ；直接写出以点 A（2，2） ，B（2，0） ，C （3，1） ，D 为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标： ；拓展：（3）如图 3，点 P（2，n）在函数 （x0）的图象 OL 与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在43yOL
22、、x 轴上分别找出点 E、F，使PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值【答案】 （1）答案见解析；（2） ；（3，3）或（7，1）或（1，3） ；（3） 6 85【解析】试题分析：（1）用 P1、P 2 的坐标分别表示出 OQ 和 PQ 的长即可证得结论；试题解析：（1）P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，Q 1Q2=OQ2OQ 1=x2x 1，Q 1Q= ，21xOQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，PQ 为梯形 P1Q1Q2P2 的中位线，PQ = = ，212x 12PQ12y即线段 P1P2 的中点 P（x ，y）P 的坐标公式为 x= ，y= ；1
23、212（2）M（2，1） ，N（3，5） ，MN= = ，故答案为： ；(3)(5)661A（2，2） ，B（2，0） ，C （3，1） ，当 AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1） ，设 D（x，y） ，则 x+3=0，y+（1）=2，解得 x=3，y=3，此时 D 点坐标为（3，3） ，当 AC为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（7，1） ，当 BC 为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（1，3） ，综上可知D 点坐标为（3，3）或（7 ，1）或（1，3） ，故答案为：（3，3）或（7，1）或（1，3） ；（3）如图，设 P 关于直线 OL 的对称点为 M，关于 x 轴
24、的对称点为 N，连接 PM 交直线 OL 于点 R，连接PN 交 x 轴于点 S，连接 MN 交直线 OL 于点 E，交 x 轴于点 F，又对称性可知 EP=EM，FP=FN，PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，此时PEF 的周长即为 MN 的长，为最小，设 R（x， ） ，由题意可知43OR=OS=2，PR =PS=n， =2，解得 x= （舍去）或 x= ，R（ ， ） ，24()3x656585，解得 n=1，P（2，1） ，N（2，1） ，设 M（x，y） ，则 = ， =2268()()5 2x61y，8解得 x= ，y= ，M（ ， ） ，MN= = ，即PEF 的周长的最小
25、值251251221()()585为 8考点：1一次函数综合题；2阅读型；3分类讨论；4最值问题2.（2017 湖北省襄阳市）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（10，0） ，抛物线过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（2，0） ，点 P 是线段 CB 上的动点，设24yaxbCP=t（0t10） （1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE=OCD？（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交 BQ 于点 N，当四边
26、形PMQN 为正方形时，请求出 t 的值【答案】 （1）B（10，4） ，C（0，4） ， ；（2）3；（3）t 的值为 或 21546yx1032试题解析：（1）在 中，令 x=0 可得 y=4，C （0，4） ，四边形 OABC 为矩形，且 A（10，0） ，24yaxbB（10，4） ，把 B、D 坐标代入抛物线解析式可得： ，解得： ，抛物线1420ab1653ab解析式为 ；215463yx考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3动点型；4压轴题3.（2017 山东省枣庄市）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点21yxbcB 坐标为（6，0） ，点 C
27、 坐标为（ 0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标【答案】 （1） ，D （2，8） ；（2） （1， ）或（3， ） ；（3）26yx7292（2， ）或（2， ） 717试题解析：（1）把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得： ，解得： ，抛物线解析式
28、为1860bc26bc， = ，D（2，8） ；26yx21yx()x（2）如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G，设 F（x， ） ，则216FG=| |， FBA=BDE ，FGB=BED=90，FBG2xBDE， ，B （6，0） ，D （2，8） ，E（2 ，0） ，BE =4，DE=8，OB=6，BG=6x ，GE，当点 F 在 x 轴上方时，有 ，解得 x=1 或 x=6（舍去） ，此时21468x 216xF 点的坐标为（1， ） ；72当点 F 在 x 轴下方时，有 ，解得 x=3 或 x=6（舍去） ，此时 F 点的坐标为21612x（3， ） ；92综上可知 F 点的坐标
29、为（1， ）或（3， ） ；7292考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3动点型；4压轴题4. (2017 湖北恩施第 24 题)如图 12，已知抛物线 过点 ， ，过定点 的直线2yaxc=+(),2-4,5()0,2F与抛物线交于 ， 两点，点 在点 的右侧，过点 作 轴的垂线，垂足为 .:2lykx=+ABABxC(1)求抛物线的解析式；(2)当点 在抛物线上运动时，判断线段 与 的数量关系 ( 、 、 )，并证明你的判断；BFBC=(3) 为 轴上一点，以 为顶点的四边形是菱形，设点 ，求自然数 的值；Py,BCP0,Pm(4)若 ，在直线 下方的抛物线上是否存在点 ，使得 的面积最大
30、，若存在，求出点 的坐标1k=l QBF Q及 的最大面积，若不存在，请说明理由.QBF【答案】 （1）y= x2+1；（2）BF=BC ，理由详见解析；（3）6；（4）当 t=2 时，S QBF 有最大值，最大4值为 +1，此时 Q 点坐标为（2，2） 5试题解析：（1）把点（2，2） ， （4，5）代入 y=ax2+c 得 ，解得 ，42165ac14ac所以抛物线解析式为 y= x2+1；1（2）BF=BC理由如下：设 B（x， x2+1） ，而 F（0，2） ，14BF 2=x2+（ x2+12） 2=x2+（ x21） 2=（ x2+1） 2，BF= x2+1，144414BCx 轴
31、，BC= x2+1，BF=BC ；（3）如图 1，m 为自然数，则点 P 在 F 点上方，以 B、C 、F、P 为顶点的四边形是菱形，CB=CF=PF，而 CB=FB， BC=CF=BF，BCF 为等边三角形，BCF=60 ，OCF=30，在 RtOCF 中，CF=2OF=4，PF=CF=4，P（0，6） ，即自然数 m 的值为 6；考点：二次函数综合题.5.（2017 山东临沂第 26 题）如图，抛物线 经过点 ，与 轴负半轴交于点 ，23yaxb2,3AxB与 轴交于点 ，且 .yC3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点 在 轴上，且 ，求点 的坐标；DDACD（3）点 在抛物线上，点 在
32、抛物线的对称轴上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是MNABMN平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由.M【答案】 （1）y=x 22x3；（2）D 1（0，1） ，D 2（0，1） ；（3）存在，M（4，5）或（2，5）或（0，3）试题解析：（1）由 y=ax2+bx3 得 C（03） ，OC=3，OC=3OB，OB=1，B（1，0） ，把 A（2，3） ，B（1，0）代入 y=ax2+bx3 得 ，3042ab ，1ab抛物线的解析式为 y=x22x3；（2）设连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，A（2，3） ，C（0，3） ，AFx
33、 轴，F（1，3） ，BF=3，AF=3，BAC=45，设 D（0，m） ，则 OD=|m|，BDO=BAC，BDO=45，OD=OB=1，|m|=1，m=1，D 1（0，1） ，D 2（0，1） ；以 AB 为对角线，BN=AM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重合，M（0，3） ，综上所述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，5）或（0，3） 考点：1、二次函数的综合，2、待定系数法求二次函数的解析式，3、全等三角形的判定和性质，4、平行四边形的判定和性质6.（2017 湖北省襄阳市）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A
34、 的坐标为（10，0） ，抛物线过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（2，0） ，点 P 是线段 CB 上的动点，设24yaxbCP=t（0t10） （1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点 P 作 PEBC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，PBE=OCD？（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PMBQ，交 CQ 于点 M，作 PNCQ，交 BQ 于点 N，当四边形PMQN 为正方形时，请求出 t 的值【答案】 （1）B（10，4） ，C（0，4） ， ；（2）3；（3）t 的值为 或 21546yx1032（3）当四边形 PMQN
35、 为正方形时，则可证得 COQ QAB，利用相似三角形的性质可求得 CQ 的长，在 Rt BCQ 中可求得 BQ、CQ，则可用 t 分别表示出 PM 和 PN，可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值试题解析：（1）在 中，令 x=0 可得 y=4，C （0，4） ，四边形 OABC 为矩形，且 A（10，0） ，24yaxbB（10，4） ，把 B、D 坐标代入抛物线解析式可得： ，解得： ，抛物线1420ab1653ab解析式为 ；215463yx（2）由题意可设 P（t，4） ，则 E（t， ） ，215463tPB=10t，PE= 4= ，BPE=COD=90，PBE=OCD，2PBE
36、 OCD， ，即 BPOD=COPE，2（10t）=4（ ） ，解得 t=3 或 t=10（不BCOD 2156t合题意，舍去） ，当 t=3 时， PBE=OCD ；考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3动点型；4压轴题7.（2017 郴州第 25 题） 如图，已知抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点，且285yaxcx,AByC，直线 与 轴交于 点，点 是抛物线 上的一动点，(,0),)AC1:42lyxDP285yaxc过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 .PExElF（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1） ，若点 在第三象限，四边形 是平行四边形，求 点的坐标；PPCOF
37、P（3）如图（2） ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ，HxA求证： 是直角三角形；ACD试问当 点横坐标为何值时，使得以点 为顶点的三角形与 相似？,HCD【答案】 （1）y= x2+ x4；（2 ）点 P 的坐标为（ ， ）或（8 ，4）；（3 ）详见解析；，点 P58527的横坐标为5.5 或10.5 或 2 或 18 时，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似试题解析：（1 ）由题意得： ，解得： ，84205ac154ac抛物线的表达式为 y= x2+ x41（2 ）设 P（m， m2+ m4），则 F（m， m4）5812PF=（ m4） （ m2+ m4）= m2 m1
38、510PE x 轴，PFOCPF=OC 时，四边形 PCOF 是平行四边形 m2 m=4，解得：m= 或 m=815052当 m= 时， m2+ m4= ，8574当 m=8 时， m2+ m4=41点 P 的坐标为（ ， ）或（ 8，4 ）57由得ACD=90当ACD CHP 时， ，即 或 ，ACHDP21854n21854n解得：n=0（舍去）或 n=5.5 或 n=10.5当ACD PHC 时， ，即 或 ACPHD25184n25184n解得：n=0（舍去）或 n=2 或 n=18综上所述，点 P 的横坐标为5.5 或 10.5 或 2 或18 时，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似考点：二次函数综合题.8.（2017 青海西宁第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 分别在 轴， 轴的OAB,xy正半轴上，且 .若抛物线经过 两点，且顶点在 边上，对称轴交 于点 ，点4,3OAC,ACBEF的坐标分别为 .,DE0,1