1、【类型综述】线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短” 结合“ 垂线段最短”【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型 的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图 2） 两条线段差的最大 值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3，PA 与 PB
2、的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图 1 图 2 图 3如图 4，正方形 ABCD 的边长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的最小值是线段 FQ第二步，应用“垂线段最短” 如图 6，在点 Q 运动过程中，FQ 的最小值是垂线段 FH这样，
3、因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的图 4 图 5 图 6【典例分析】例 1 如图 1，二次函数 ya(x 22mx3m 2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分 DAE（1）用含 m 的式子表示 a； 来源:学科网（2）求证： 为定值；DE（3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段GF、AD
4、、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图 1例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，(2)yx且点 B 在点 C 的左侧来源:Zxxk.Com（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的 条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； 来源:学#科#网（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、
5、C 、F 为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1例 3 如图 1，抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0) 、 C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；来源:学科网图 1 例 4 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， A， 1B以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成 ABC，设 x（1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角
6、形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积？图 1例 5 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax 3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且CD4AC（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示 ） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？
7、若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由图 1 备用图来源:Z。xx。k.Com【变式训练】1 （2017 年山东省泰安市第 20 题）如图，在 ABC中， 90， 1ABcm， 8Cc，点P从点 A沿 C向点 以 1/cms的速度运 动，同时点 Q从点 沿 向点 以 2/s的速度运动( 点Q运动到点 B停止)，在运动过程中，四边形 P的面积最小值为（ ）A 219cm B 216 C. 215m D 21 2 （2017 年湖北省宜昌市第 23 题） 正方形 ABC的边长为 1，点 O是 BC边上的一个动点（与 ,BC不重合)，以 O为顶点在 C所在直线的上方作 90MON.(1)当 M
8、经过点 A时，请直接填空： N （可能，不可能）过 D点；（图 1 仅供分析）如图 2,在 上截取 E，过 点作 EF垂直于直线 BC,垂足为点 F，册 EHCD于 ，求证：四边形 EFCH为正方形.（2）当 OM不过点 A时，设 OM交边 AB于 G,且 1O.在 N上存 在点 P,过 点作 K垂直于直线 BC,垂足为点 K，使得 4PKBGS，连接 P，求四边形 KB的最大面积.3 （2017 年内蒙古通辽市第 26 题）在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， ，xOy22bxay)0,(A与 轴交于点 .yC（1）求抛物线 的函数表达式；22bxay（2）若点 在抛物线 的对称轴上，求
9、的周长的最小值；DACD（3）在抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，直接写出2xy P点 的坐标，若不存在，请说明理由.P4 （2017 年四川省内江市第 27 题）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，点 E 在 AB 上 ，且 AE=CE（1）求证：AC 2=AEAB；（2）过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；（3）设O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值5 （2017 年湖南省岳阳市第 24 题） （本题满分 10 分
10、）如图，抛物线 23yxbc经过点 3,0， C,2，直线 :l23yx交 y轴于点 ，且与抛物线交于 A， D两点 为抛物线上一动点（不与 A， D重合） （1）求抛物线的解析式；（2）当点 在直线 l下方时，过点 作 /x轴交 l于点 ， /y轴交 l于点 求 的最大值；（3）设 F为直线 l上的点，以 ， C， ， F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F的坐标；若不能，请说明理由6 （2017 年湖北省宜昌市第 24 题）已知抛物线 2yaxbc，其中 20abc，且 0abc.（1）直接写出关于 x的一元二次方程 20axbc的一个根；（2）证明：抛物线 2yabc的顶点
11、 A在第三象限；（3）直线 xm与 ,轴分别相交于 ,BC两点，与抛物线 2yaxbc相交于 ,AD两点.设抛物线2yabc的对称轴与 x轴相交于 E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 F,使得 与 BOC相似.并且 1ADFAES，求此时抛物线的表达式.7 （2017 广东广州第 25 题）如图 14， 是 的直径， ，连接 ABO:,2ACBAC（1）求证： ；045CAB（2）若直线 为 的切线， 是切点，在直线 上取一点 ，使 所在的直线与 所在lO:lD,BAAC的直线相交于点 ，连接 ED试探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；A 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说
12、明理由BCD8(2017 湖南湘潭第 26 题)如图，动点 M在以 O为圆心， AB为直径的半圆弧上运动（点 M不与点A、及 :的中点 F重合），连接 .过点 作 E于点 ，以 E为边在半圆同侧作正方形BE，过 M点作 O的切线交射线 DC于点 N，连接 、 N.（1）探究：如左图，当 动点在 :A上运动时；判断 N:是否成立？请说明理由； 设 Ck， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设 MB， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点 在 :FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化 ，请直接写出正确的结论.（均不必说
13、明理由）8. (2017 天津第 25 题)已知抛物线 （ 是常数）经过点 .32bxy )0,1(A（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点， 关于原点的对称点为 .PP当点 落在该抛物线上时，求 的值；Pm当点 落在 第二象限内， 取得最小值时，求 的值. 2A9. (2017 北京第 29 题)在平面直角坐标系 中的点 和图 形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在xOyPMM一点 ，使得 两点间的距离小于或等于 1，则称 为图形 的关联点QP、（1）当 的半径为 2 时，O:在点 中， 的关联点是_1235,0,0O:点 在直线 上，若 为 的关联点，求
14、点 的横坐标的取值范围PyxPP（2） 的圆心在 轴上，半径为 2，直线 与 轴、 轴交于点 若线段 上的所有C: 1yxyAB、点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标的取值范围C10. (2017 山东菏泽第 24 题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 12bxay交 y轴于点 ，交 x轴正半轴于点 0,4(B，与过 A点的直线相交于另一点 )25,3(D，过点 作 DC轴，垂足为 .（1）求抛物线的表达式；（2）点 P在线段 OC上（不与点 、 C重合） ，过 P作 xN轴，交直线 AD于 M，交抛物线于点 N，连接 M，求 面积的最大值；（3）若 是 x轴正半轴上的一动点，设 O的长为，是否存在，使以点 C、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.