1、【类型综述】线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短” 结合“ 垂线段最短”【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面” （如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3，PA 与 PB 的差
2、的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图 1 图 2 图 3如图 4，正方形 ABCD 的边 长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的最小值是线段 FQ第二步，应用“垂线段最短” 如图 6，在点 Q 运动过程中，FQ 的最小值是垂线段 FH这样，因
3、为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的图 4 图 5 图 6【典例分析】例 1 如图 1，二次函数 ya(x 22mx3m 2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分 DAE（1）用含 m 的式子表示 a；（2）求证： 为定值；DE（3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段GF、AD、AE 的长度为
4、三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图 1思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的结论 及其变形 反复用到21am21a3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（ 5，3，4） ，因此过点 F 作 AD 的平行线与x 轴的交点，就是要求的点 G满分解答（1）将 C(0,3)代入 ya(x 22mx 3m 2)，得33am 2因此 21am所以
5、 am(x3m)1结合 ，于是得到 x4m 21a当 x4m 时，ya(xm)(x 3m)5am 25所以点 E 的坐标为(4m, 5)所以 5ADE图 2 图 3（3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m ,3)、F(m ,4)，可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G证明如下：作 FFx 轴于 F，那么 3GAD因此 所以线段 GF、AD 、AE 的长围成一个直角三角形534AEG此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m, 0)考点伸展第（3）题中的点 G 的另一种情况，就是 GF
6、为直角三角形的斜边此时 因此 534AEDF34m所以 此时 (1)Om(,0)例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，(2)yx且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨1第（3）题是典型的
7、“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BH EH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBF EBC45 ，或者作 BF/EC再用含m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HEOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 234HP323(1,)2由 ，得 2BCEF22(4)()m整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBC CBF，所以 ，即 时， BCEBFCBEC2BE在 RtBFF中，由 FFBF
8、 ，得 1()xmx解得 x2m所以 F 所以 BF2m2， (2,0) 2()F由 ，得 解得 BCE ()综合 、 ，符合题意的 m 为 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长例 3 如图 1，抛物线 yax 2bx c 经过 A(1,0) 、B(3, 0) 、C (0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；图 1 思路点拨第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小满分解答当点
9、 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小， PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 ，BO CO ，得 PHBH2BHOC所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2考点伸展在直线 l 上是否存在点 M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由如图 5，当 CMCA 时，CM 2CA 2解方程 1( m3) 210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5例 4 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A， B以 A
10、 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成 ABC，设 x（1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积？图 1思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性3把ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2 的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分 CD 在三角形内部和外部两种情况满分解答（1）在ABC 中， ， ， ，所以 解得 1AC
11、xBxC3.31,x21x边平方，得 整理，得 两边平方，得222 1)3( hxhx 4312xhx整理，得16491(2hx 648x所以 （ ） 2xxS 2)3(当 时（满足 ） ， 取最大值 ，从而 S 取最大值 23 2S12图 2 图 3如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则 xhx221)3(同理可得， （ ） 462412xhS 43易知此时 综合得， ABC 的最大面积为 2考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设 ，aAD例如在图 2 中，由 列方程 22BDCA 222)()3(1xa整理，得 所以xa421a22164843xx因此46)
12、1(4222 aS例 5 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax 3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且CD4AC（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示） ；（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D 、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明
13、 理由图 1 备用图思路点拨1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F，那么 AEF 与 CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准讨论矩形，当 AD 为边时，AD 与 QP 平行且相等，对角线 APQD；当 AD 为对角线时，AD 与 PQ 互相平分且相等满分解答（1）由 yax 22ax 3aa (x1)( x3) ，得 A(1, 0) 由 CD4AC，得 xD4所以 D(4, 5a)由 A(1, 0) 、D(4, 5a)，得直线 l 的函数表达式为 yaxa由 yDy Ay P yQ，得 yP26a所以 P(1, 26a)由 AP2QD 2，得 22(26 a)28 2(16a)
14、 2整理，得 7a21所以 此时 P 767(1)，如图 3，如果 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等由 xDx Ax P xQ，得 xQ2所以 Q(2,3a)由 yDy Ay P yQ，得 yP8a所以 P(1, 8a)由 AD2PQ 2，得 52(5 a)21 2(11a) 2整理，得 4a21所以 此时 P (14)，图 1 图 2 图 3考点伸展第（3）题也可以这样解设 P(1,n)如图 2，当 AD 时矩形的边时，QPD 90 ，所以 ，即 AMDNP53an解得 所以 P 所以 Q 5an235(1,)a3(4,)a将 Q 代入 ya(x 1)(x 3) ，
15、得 所以 3(4,)17如图 3，当 AD 为矩形的对角线时，先求得 Q(2,3a)由AQD 90，得 ，即 解得 AGQKD2512【变式训练】1 （2017 年山东省泰安市第 20 题）如图，在 ABC中， 90， 1ABcm， 8Cc，点P从点 A沿 C向点 以 1/cms的速度运动，同时点 Q从点 沿 向点 以 2/s的速度运动(点Q运动到点 B停止)，在运动过程中，四边形 P的面积最小值为（ ）A 219cm B 216 C. 215m D 21 【答案】C【解析】PABQ 的面积取最小值，最小值为 15故选：C考点：二次函数的最值2 （2017 年湖北省宜昌市第 23 题） 正方形
16、 ABCD的边长为 1，点 O是 BC边上的一个动点（与 ,BC不重合)，以 O为顶点在 BC所在直线的上方作 90MON.(1)当 M经过点 A时，请直接填空： N （可能，不可能）过 D点；（图 1 仅供分析）如图 2,在 上截取 E，过 点作 EF垂直于直线 BC,垂足为点 F，册 EHCD于 ，求证：四边形 EFCH为正方形.（2）当 OM不过点 A时，设 OM交边 AB于 G,且 1O.在 N上存在点 P,过 点作 K垂直于直 线 BC,垂足为点 K，使得 4PKBGS，连接 P，求四边形 KB的最大面积.【答案】 （1）不可能 证明见解析（ 2） 94【解析】求得四边形 PKBG
17、面积的最大值试题解析： （1）若 ON 过点 D，则 OAAB，ODCD，OA2 AD2，OD 2AD 2，OA2+OD22AD 2AD2，AOD90，这与MON=90矛盾，ON 不可能过 D 点，故答案为：不可能；EHCD， EFBC，EHC=EFC=90，且HCF=90，四边形 EFCH 为矩形，MON=90，EOF=90AOB，在正方形 ABCD 中，BAO=90AOB ，EOF=BAO，在OFE 和 ABO 中EOFBAOP=2，SPOG= OGOP= 12=1，12设 OB=a，BG=b ，则 a2+b2=OG2=1，b= ，21SOBG= ab= a = = ，122142a121
18、()4a当 a2= 时，OBG 有最大值 ，此时 SPKO=4SOBG=1，四边形 PKBG 的最大面积为 1+1+ = 149考点：1、矩形的判定和性质，2、全等三角形的判定和性质，3、 相似三角形的判 定和性质，4、三角形的面积，5、二次函数的性质，6、方程思想3 （2017 年内蒙古通辽市第 26 题）在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， ，xOy22bxay)0,(A与 轴交于点 .yC（1）求抛物线 的函数表达式；22bxay（2）若点 在抛物线 的对称轴上，求 的周长的最小值；DACD（3）在抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，直接写出2xy P点 的坐标，
19、若不存在，请说明理由.P【答案】 （1）y= x2+ x+2（2）ACD 的周长的最小值是 2 +2 （3）存在，点 P 的坐标为41 5（1，1）或（1，3）【解析】（3）存在，当 A 和 C 分别为直角顶点时，画出直角三角形，设 P（1，y） ，根据三角形相似列比例式可得P 的坐标试题解析：（1）把点 A（2，0） ，B（2，2）代入抛物线 y=ax2+bx+2 中，42ab解得： ，142b抛物线函数表达式为：y= x2+ x+2；14（2）y= x2+ x+2= （x 1） 2+ ；149答：ACD 的周长的最小值是 2 +2 ，5（3）存在，CG=1，OG=21=1，P（ 1，1）
20、； 当CAP=90时，ACP 是直角三角形，如图 3，综上所述，ACP 是直角三角形时，点 P 的坐标为（1，1）或（1，3） 考点：二次函数综合题4 （2017 年四川省内江市第 27 题）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，点 E 在 AB 上，且 AE=CE（1）求证：AC 2=AEAB；（2）过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；（3）设O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值【答案】 （1）证明见解析；（2）PB=PE；（3） 4213【
21、解析】OBN+COB=90，PBN=COB，PEB=A+ ACE=2A，COB=2 A，PEB =COB， PEB=PBN， PB=PE；（3）如图 3，N 为 OC 的中点，ON= OC= OB，RtOBN 中，OBN=30，COB=60，12OC=OB，OCB 为等边三角形， Q 为O 任意一点，连接 PQ、OQ，因为 OQ 为半径，是定值 4，则PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，当 P、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，Q 为 OP 与O 的交点时，PQ 最小，A= COB=30，PEB=2 A=60， ABP=9030=60，PBE 是等边三角形，Rt OBN 中，BN=12= ，
22、AB=2BN= ，设 AE=x，则 CE=x，EN= x，RtCNE 中，434323，x= ，BE=PB= = ，Rt OPB 中，OP= =22()x4382PBO= ，PQ= 4= 则线段 PQ 的最小值是 283()414212413考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题5 （2017 年湖南省岳阳市第 24 题） （本题满分 10 分）如图，抛物线 23yxbc经过点 3,0， C,2，直线 :l23yx交 y轴于点 ，且与抛物线交于 A， D两点 为抛物线上一动点（不与 A， D重合） （1）求抛物线的解析式；（2）当点 在直线 l下方时，过点 作 /x轴交 l于点 ， /y轴
23、交 l于点 求 的最大值；（3）设 F为直线 l上的点，以 ， C， ， F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 F的坐标；若不能，请说明理由【答案】 （1）抛物线的解析式为：y= x2- x-2；（2） ；（3）能， （1，0）345【解析】试题分析：（1）把 B（3，0 ） ，C （0，-2 ）代入 y= x2+bx+c 解方程组即可得到结论；3（2）设 P（m， m2- m-2） ，得到 N（m ，- m- ） ，M（-m 2+2m+2， m2- m-2） ，根据二次函数的4 34性质即可得到结论；试题解析：（1）把 B（3，0 ） ，C （0，-2 ）代入 y= x2+bx+
24、c 得，3230bcc 42抛物线的解析式为：y= x2- x-2；34（2）设 P（m， m2- m-2） ，PMx 轴，PNy 轴，M，N 在直线 AD 上，N（ m，- m- ） ，M（-m 2+2m+2， m2- m-2） ，334PM+PN=-m2+2m+2-m- m- - m2+ m+2=- m2+ m+ =- （m- ） 2+ ，51035154当 m= 时，PM+PN 的最大值是 ；114（3）能，理由：y=- x- 交 y 轴于点 E，23E（ 0，- ） ，CE= ，43设 P（m， m2- m-2） ，以 E，C ，P，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形， 以 CE 为
25、边，CEPF，CE=PF，F（ m，- m- ） ，23- m- - m2+ m+2= ，343m=1，m=0 （舍去） ，此方程无实数根，综上所述，当 m=1 时，以 E，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形考点：二次函数综合题6 （2017 年湖北省宜昌市第 24 题）已知抛物线 2yaxbc，其中 20abc，且 0abc.（1）直接写出关于 x的一元二次方程 20axbc的一个根；（2）证明：抛物线 2yabc的顶点 A在第三象限；（3）直线 xm与 ,轴分别相交于 ,BC两点，与抛物 线 2yaxbc相交于 ,AD两点.设抛物线2yabc的对称轴与 x轴相交于 E,如果在
26、对称轴左侧的抛物线上存在点 F,使得 与 BOC相似.并且 1ADFAES，求此时抛物线的表达式.【答案】 （1）x=1（2）证明见解析（3）y=x 2+2x3【解析】关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根为 x=1；（2）证明：2a=b，对称轴 x= =1，ba把 b=2a 代入 a+b+c=0 中得：c=3a ，a0，c0，=b24ac0， 0，4cba则顶点 A（1， ）在第三象限；24cba（3）由 b= 2a，c= 3a，得到 x= = ，24bac设对称轴 x=1 与 OF 交于点 G，直线 y=x+m 过顶点 A（1， 4a） ，m=14a，直线解析式为 y=x
27、+14a，联立得： ，2143yxa解得： 或 ，14xya4xya这里（1， 4a）为顶点 A， （ 1， 4a）为点 D 坐标，点 D 到对称轴 x=1 的距离为 1（ 1）= ，AE=| 4a|=4a，aSADE= 4a=2，即它的面积为定值，2a这时等腰直角ADF 的面积为 1，底边 DF=2，而 x=1 是它的对称轴，此时 D、C 重合且在 y 轴上，由 1=0，1a解得：a=1，此时抛物线解析 式为 y=x2+2x3考点：1、二次函数的图象与性质，2、二次函数与一次函数的关系，3、待定系数法求函数解析式7 （2017 广东广州第 25 题）如图 14， 是 的直径， ，连接 ABO
28、:,2ACBAC（1）求证： ；045CAB（2）若直线 为 的切线， 是切点，在直线 上取一点 ，使 所在的直线与 所在lO:lD,BAAC的直线相交于点 ，连接 ED试探究 与 之间的数量关系，并证明你的结论；A 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由BCD【答案】 （1）详见解析；（2） AE2BCD【解析】（2） 如图所示，作 于 FBl由（1）可得， 为等腰直角三角形.AC,ADEAE当 为钝角时，如图所示，同样， ABD1,302BFDC8151509052ECEA， ，E（3）当 D 在 C 左侧时，由（2）知, AB:,30AEDCBA1,22, 5AECBABA
29、,30I在 中， Rt22EIECD2BECD2BECD考点：圆的相关知识的综合运用8(2017 湖南湘潭第 26 题)如图，动点 M在以 O为圆心， AB为直径的半圆弧上运动（点 M不与点AB、及 :的中点 F重合），连接 .过点 作 E于点 ，以 E为边在半圆同侧作正方形CDE，过 M点作 O的切线交射线 DC于点 N，连接 、 N.（1）探究：如左图，当 动点在 :A上运动时；判断 N:是否成立？请说明理由； 设 k， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设 MB， 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点 在 :FB上运动时；分别判断（
30、1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）来源:学科网【答案】(1)成立，理由见解析；为定值 1； 为定值 45；（2）不发生变化.【解析】（1） 成立，理由如下：过点 M 作 MEAB 于点 E，以 BE 为边在半圆同侧作正方形 BCDE，MEO=MDN=90，MOE+EMO=90过 M 点的 O:的切线交射线 DC 于点 N，OMN=90，DMN+EMO=90MOE=DMNOEMMDNk 是定值 1，理由如下：BM=MG,BG=BE,正方形 BCDE，BG=BCBNGBCN,GN=CNMN=MG+NG=ME+CN来源:学科网 ZXXK即 1MENCk
31、为定值 45，理由如下：由知： OBM=MBG, BNGBCN,GBN=CBN,正方形 BCDE，EBC=90，MBN= 01452EBC(2)不发生变化.8. (2017 天津第 25 题)已知抛物线 （ 是常数）经过点 .32bxy )0,1(A（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点， 关于原点的对称点为 .PP当点 落在该抛物线上时，求 的值；Pm当点 落在第二象限内， 取得最小值时，求 的值. 2A【答案】 （1） ，顶点的坐标为（1，-4） ；（2） ；（3） .23yx12,m214m【解析】的性质求得 的值最小是 t 的值，再代入二次函数 中求
32、得 m 的值即可.2AP23yx试题解析：(1) 抛物线 经过点 ，32bxy)0,1(A0=1-b-3，解得 b=-2.抛物线的解析式为 ，2 ，23(1)4yxx顶点的坐标为（1，-4）. (2)由点 P(m，t)在抛物线 上，有 .23yx23tm 关于原点的对称点为 ，有 P（-m，-t）.PP ，即2()()3tm23tm 2解得 12, ，即22PAH24(0)PAtt记 ，则 ，4(0)ytt215)y当 t=- 时， y取得最小值.12把 t=- 代入 ，得23tm23m解得 12414,由 m0，可知 不符合题意 214m9. (2017 北京第 29 题)在平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在xOyPMM一点 ，使得 两点间的距离小于或等于 1，则称 为图形 的关联点QP、（1）当 的半径为 2 时，O: