1、【类型综述】函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。【方法揭秘】相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理
2、 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求 ABC 与DEF 相似，只要把夹A 和D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程BECFAD应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 A、B 两
3、点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是A、B 两点间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减图 1【典例分析】例 1 如图 1，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 yx 2bxc 经过A、B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的速
4、度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒2（1）求抛物线的解析式；（2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形与以 O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 例 2 二次函数 ya x2bxc（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B (1, 0)两点，与 y 轴交于点C(0,3m)
5、（m 0） ，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ；（2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为 S，试求出 S与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？图 1 图 2例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值；（2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结AB、 AC，求 ABC
6、 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点A、C 、E 所组成的三角形与 ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标图 1 例 4 如图 1，RtABC 中，ACB90，AC 6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0 t2） ，连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值；（3
7、）试证明：PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上图 1 图 2例 5 如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点21()44yxA、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看
8、作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1例 6 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点(2)yxE，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1【变式训练】1 (2017 河南第
9、 23 题)如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线23yxc(3,0)AyB经过点 ， .243yxbcAB（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，点 在线段 上运动，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标；OABPNAPM点 在 轴上自由运动，若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，则称 ， ， 三点为“共谐点”.请直接写出使得 ， ， 三点成为“共谐点”的 的值.PNNm2 （2017 四川省眉山市）如图，抛物线 与 x 轴
10、交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知2yaxbA（3，0） ，且 M（1， ）是抛物线上另一点83（1）求 a、b 的值；（2）连结 AC，设点 P 是 y 轴上任一点，若以 P、A、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 P 点的坐标；（3）若点 N 是 x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 O、A 重合） ，过点 N 作 NHAC 交抛物线的对称轴于 H 点设 ON=t，ONH 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式3 （2017 山东省济宁市）定义：点 P 是ABC 内部或边上的点（顶点除外） ，在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC 相似，则称点
11、 P 是ABC 的自相似点例如：如图 1，点 P 在ABC 的内部，PBC =A，PCB=ABC，则BCPABC，故点 P 是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 （x0）上的任意一点，点 N 是 x 轴正半轴上的任意一点3y（1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，ONP=M ，试说明点 P 是MON 的自相似点；当点 M 的坐标是（，3） ，点 N 的坐标是（ ，0）时，求点 P 的坐标；3（2）如图 3，当点 M 的坐标是（ 3， ） ，点 N 的坐标是（2，0）时，求MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点 M 和点 N，使
12、MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由4 （2017 年湖北省宜昌市第 24 题）已知抛物线 2yaxbc，其中 20abc，且 0abc.（1）直接写出关于 x的一元二次方程 20axbc的一个根；（2）证明：抛物线 2yabc的顶点 A在第三象限；（3）直线 xm与 ,轴分别相交于 ,BC两点，与抛物线 2yaxbc相交于 ,AD两点.设抛物线2yabc的对称轴与 x轴相交于 E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 F,使得 与 BOC相似.并且 1ADFAES，求此时抛物线的表达式.5 （2017 年湖南省郴州市第 25 题）如图，已知抛物线 与 轴交于
13、两点，与 轴交285yaxcx,ABy于 点，且 ，直线 与 轴交于 点，点 是抛物线 上C(2,0),4)A1:42lyxDP285yaxc的一动点，过点 作 轴，垂足为 ，交直线 于点 .PExElF（1）试求该抛物线的表达式；（2）如图（1） ，若点 在第三象限，四边形 是平行四边形，求 点的坐标；PPCOFP（3）如图（2） ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ，HxA求证： 是直角三角形；ACD试问当 点横坐标为何值时，使得以点 为顶点的三角形与 相似？,HCD6 （2017 年山东省日照市第 22 题）如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y轴分别相交于 M
14、（4，0） ，N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D（1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形 OPMN=8SQAB ，且QABOBN成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由7. （2017 湖南株洲第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c+1，当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c= b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？14若
15、二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B （x 2，0） ，且 x1x 2，与 y 轴的正半轴交于点M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满足 ，求二次函数的表达式3DEF8. （ 2017 湖南常德第 25 题）如图，已知抛物线的对称轴是 y 轴，且点（2，2） ， （1， ）在抛物线上，54点 P 是抛物线上不与顶点 N 重合的一动点，过 P 作 PAx 轴于 A，PCy 轴于 C，延长 PC 交抛物线于E，设 M 是 O 关于抛物线顶点 N 的对称点，D 是 C 点关于 N 的对称点（1）
16、求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标；（2）求证：四边形 PMDA 是平行四边形；（3）求证：DPEPAM ，并求出当它们的相似比为 时的点 P 的坐标39. （2017 海南第 24 题）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0 ）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，35yx直线 PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N连结 PC、PD，如图 1，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结 PB，过点 C 作 CQPM，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得CNQ 与PBM相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由