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专题08 图形运动中的有关函数关系问题-2019届突破中考数学压轴题讲义(原卷版)

1、【类型综述】图形运动的过程中,求面积随某个量变化的函数关系,是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法,一是规则图形的面积用面 积公式;二是不规则图形的面积通过割补进行计算;三是同高(或同底)三角形的面积比等于对应边(或高)的比;四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到,但是灵活使用第三种和第四种方法,可以使得运算简单【方法揭秘】一般情况下,在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后,会提出在什么情况下(x 为何值时) ,S 取得最大值或最小值关于面积的 最值问题,有许多经典 的结论例 1,周长一定的矩形,当正方形时,面积最大例 2,面积一定的矩形,当正方形时,周长最小例

2、3,周长一定的正多边形,当边数越大时,面积越大,极限值是圆例 4,如图 1,锐角ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y,ADx,当点 D 是 AB 的中点时,面积 y 最大例 5,如图 2,点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点,当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时,PAB 的面积最大例 6,如图 3,ABC 中, A 和对边 BC 是确定的,当 ABAC 时, ABC 的面积最大图 1 图 2 图 3【典例分析】例 1 如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O(0,0) 、A(2,0) 、B(6,3) (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标 ;(2)将图

3、 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S,A 1、 B1 的坐标分别为 (x1,y 1)、(x 2,y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1,并求出当 S=36 时点 A1 的坐标;(3)在图 1 中,设点 D 的坐标为 (1,3),动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发,当点 Q 到达点M 时,P 、

4、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由图 1 图 2例 2 如图 1,抛物线 yax 2bx c(a、b、c 是常数,a0)的对称轴为 y 轴,且经过(0,0)和 两点,1(,)6a点 P 在该抛物线上运动,以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2)(1)求 a、b、c 的值;(2)求证:在点 P 运动的过程中,P 始终与 x 轴相交;(3)设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N( x2, 0)两

5、点,当 AMN 为等腰三 角形时,求圆心 P 的纵坐标图 1例 3 如图 1,已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A,且与 x 轴交于点 B43yx( 1) 求点 A 和点 B 的 坐标;(2)过点 A 作 ACy 轴于点 C,过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度,沿 OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ; 同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线 l交 x 轴于点 R,交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 , 点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运 动过

6、程 中 , 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时,以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8?是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由例 4 如图 1,在 RtABC 中, ACB90 ,AB13,CD/ AB,点 E 为射线 CD 上 一动点(不与点 C 重合) ,联结 AE 交边 BC 于 F,BAE 的平分线交 BC 于点 G (1)当 CE3 时,求 SCEFSCAF 的值;(2)设 CEx ,AE y,当 CG2GB 时,求 y 与 x 之间的函数关系式;(3)当 AC5 时,联结 EG,若 A

7、EG 为直角三角形,求 BG 的长图 1 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 与 x 轴的交点分别为原点 O 和22534myxm点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上( 1)求点 B 的坐标;(2)点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发向点 A 运动,过点 P 作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点 E,延长 PE到点 D,使得 EDPE ,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当点 P 运动时,点 C、D 也随之运动) 来源:学科网 ZXXK当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长; 来源:学_科_网若点 P 从点 O 出发向点

8、 A 作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动,速度为每秒 2 个单位(当点 Q 到达点 O 时停止运动,点 P 也停止运动) 过 Q 作 x轴的垂线,与直线 AB 交于点 F,延长 QF 到点 M,使得 FMQF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当点 Q 运动时,点 M、N 也随之运动) 若点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值来源:Z&xx&k.Com图 1图 4 图 5 图 6【变式训练】1 (2017 年贵州省毕节地区第 27 题)如图,在平

9、面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(1, 0) ,B(4,0) ,C( 0,4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的解析式;(2)是否存在点 P,使 POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;(3)动点 P 运动到什么位置时,PBC 面积最大,求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积2 (2017 年贵州省黔东南州第 24 题)如图,M 的圆心 M(1,2) ,M 经过坐标原点 O,与 y 轴交于点 A,经过点 A 的一条直线 l 解析式为:y= x+4 与 x 轴交于点 B,以 M 为顶点的抛物线经过 x

10、轴上点D(2,0)和点 C( 4,0) (1)求抛物线的解析式;(2)求证:直线 l 是M 的切线;(3)点 P 为抛物线上一动点,且 PE 与直线 l 垂直,垂足为 E,PFy 轴,交直线 l 于点 F,是否存在这样的点 P,使PEF 的面积最小?若存在,请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值;若不存在,请说明理由3 (2017 年湖北省荆州市第 25 题) (本题满分 12 分)如图在平面直角坐标系中,直线 与 x34y轴、y 轴分别交于 A、 B 两点,点 P、 Q 同时从点 A 出发,运动时间为 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位长度,点 Q 沿射线 A

11、O 运动,速度为每秒 5 个单位长度.以点 Q 为圆心,PQ 长为半径 作Q.(1)求证:直线 AB 是Q 的切线;(2)过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C(m ,0),作直线 AB 的垂线 CM,垂足为 M,若 CM 与Q 相切于点 D,求 m 与 t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围) ;(3)在(2)的条件下,是否存在点 C,直线 AB、 CM、 y 轴与Q 同时相切,若存在,请直接写出此时点 C 的坐标,若不存在,请说明理由.4 (2017 年山东省东营市第 25 题)如图,直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点,点 A 在3x 轴上,ACB=90,抛物线

12、 y=ax2+bx+ 经过 A,B 两点(1)求 A、B 两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点,过点 M 作 MHBC 于点 H,作 MDy 轴交 BC 于点 D,求DMH 周长的最大值5 (2017 年四川省内江市第 28 题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 (a0)与 y 轴2yxbc交与点 C(0,3) ,与 x 轴交于 A、B 两点,点 B 坐标为(4,0) ,抛物线的对称轴方程为 x=1 来源:Zxxk.Com(1)求抛物线的解析式;(2)点 M 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动,同时点 N 从

13、 B 点出发,在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动,其中一个点到达终点 时,另一个点也停止运动,设MBN 的面积为 S,点 M 运动时间为 t,试求 S 与 t 的函数关系,并求 S 的最大值;(3)在点 M 运动过程中,是否存在某一时刻 t,使 MBN 为直角三角形?若存在,求出 t 值;若不存在,请说明理由6 (2017 年湖北省黄冈市第 24 题)已知:如图所示,在平面直角坐标系 xoy中,四边形 OABC是矩形,4,3OAC.动点 P从点 C出发,沿射线 B方向以每秒 2 个单位长度的速度运动;同时,动点 Q从点 出发,沿 x轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速

14、度运动.设点 P、点 Q的运动时间为 ts.(1)当 ts时,求经过点 ,OPA 三点的抛物线的解析式;(2)当 时,求 tanQ的值;(3)当线段 P与线段 B相交于点 M,且 2BA时,求 ts的值;(4)连接 C,当点 ,在运动过程中,记 CQP与矩形 OB重叠部分的面积为 S,求 与的函数关系式7 (2017 年山东省日照市第 22 题)如图所示,在平面直角坐标系中,C 经过坐标原点 O,且与 x 轴,y轴分别相交于 M(4,0) ,N(0,3)两点已知抛物线开口向上,与C 交于 N,H ,P 三点,P 为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D 来源:学_科_网(1)求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标;(2)求抛物线的函数表达式;(3)设抛物线交 x 轴于 A, B 两点,在抛物线上是否存在点 Q,使得 S 四边形 OPMN=8SQAB,且QABOBN 成立?若存在,请求出 Q 点的坐标; 若不存在,请说明理由