1、【类型综述】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面 积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单【方法揭秘】一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何值时） ，S 取得最大值或最小值关于面积的 最值问题，有许多经典 的结论例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小例
2、3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆例 4，如图 1，锐角ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y，ADx，当点 D 是 AB 的中点时，面积 y 最大例 5，如图 2，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点，当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时，PAB 的面积最大例 6，如图 3，ABC 中， A 和对边 BC 是确定的，当 ABAC 时， ABC 的面积最大图 1 图 2 图 3【典例分析】例 1 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A（2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标 ；（2）将图
3、 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点M 时，P 、
4、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2例 2 如图 1，抛物线 yax 2bx c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0)和 两点，1(,)6a点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2)（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交；（3）设P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N( x2, 0)两
5、点，当 AMN 为等腰三 角形时，求圆心 P 的纵坐标图 1例 3 如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B43yx（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 l/y 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ； 同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l交 x 轴于点 R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点 P 和 直 线 l 都 停 止 运 动 在 运 动过
6、程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的 时 间 为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由例 4 如图 1，在 RtABC 中， ACB90 ，AB13，CD/ AB，点 E 为射线 CD 上 一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 SCEFSCAF 的值；（2）设 CEx ，AE y，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC5 时，联结 EG，若 A
7、EG 为直角三角形，求 BG 的长图 1 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴的交点分别为原点 O 和22534myxm点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（ 1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE到点 D，使得 EDPE ，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动） 来源:学科网 ZXXK当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 来源:学_科_网若点 P 从点 O 出发向点
8、 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值来源:Z&xx&k.Com图 1图 4 图 5 图 6【变式训练】1 （2017 年贵州省毕节地区第 27 题）如图，在平
9、面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（1， 0） ，B（4，0） ，C（ 0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点 P，使 POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积2 （2017 年贵州省黔东南州第 24 题）如图，M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y= x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x
10、轴上点D（2，0）和点 C（ 4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线 l 是M 的切线；（3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点 P 的坐标及PEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由3 （2017 年湖北省荆州市第 25 题） （本题满分 12 分）如图在平面直角坐标系中，直线 与 x34y轴、y 轴分别交于 A、 B 两点，点 P、 Q 同时从点 A 出发，运动时间为 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 A
11、O 运动，速度为每秒 5 个单位长度.以点 Q 为圆心，PQ 长为半径 作Q.（1）求证：直线 AB 是Q 的切线；（2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m ，0）,作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M，若 CM 与Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、 CM、 y 轴与Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点 C 的坐标，若不存在，请说明理由.4 （2017 年山东省东营市第 25 题）如图，直线 y= x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在3x 轴上，ACB=90，抛物线
12、 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MHBC 于点 H，作 MDy 轴交 BC 于点 D，求DMH 周长的最大值5 （2017 年四川省内江市第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a0）与 y 轴2yxbc交与点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x=1 来源:Zxxk.Com（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从
13、 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点 时，另一个点也停止运动，设MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值；（3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由6 （2017 年湖北省黄冈市第 24 题）已知：如图所示，在平面直角坐标系 xoy中，四边形 OABC是矩形，4,3OAC.动点 P从点 C出发，沿射线 B方向以每秒 2 个单位长度的速度运动；同时，动点 Q从点 出发，沿 x轴正半轴方向以每秒 1 个单位长度的速
14、度运动.设点 P、点 Q的运动时间为 ts.（1）当 ts时，求经过点 ,OPA 三点的抛物线的解析式；（2）当 时，求 tanQ的值；（3）当线段 P与线段 B相交于点 M，且 2BA时，求 ts的值；（4）连接 C，当点 ,在运动过程中，记 CQP与矩形 OB重叠部分的面积为 S，求 与的函数关系式7 （2017 年山东省日照市第 22 题）如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y轴分别相交于 M（4，0） ，N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H ，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D 来源:学_科_网（1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交 x 轴于 A， B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形 OPMN=8SQAB，且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由