1、【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便【方法揭秘】我们先看三个问题：1已知线段 AB，以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？2已知线段 AB，以线段 AB 为斜边的直角三角形 ABC 有多少个？
2、顶点 C 的轨迹是什么？3已知点 A(4,0)，如果OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标图 1 图 2 图 3如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外如图 2，点 C 在以 AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外如图 3，以 OA 为边画两个正方形，除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共6 个如图 4，已知 A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标我们可以用几何的方法，作 AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点 C如果作 BDy 轴于 D，那么 AOCCDB设 OCm，那么 341这个方
3、程有两个解，分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 【典例分析】例 1 如图 1，已知抛物线 E1：yx 2 经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B(2,2)，点A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、B（1 ）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式；（2 ）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛物线 E2 相交于点 P，求PAA 与P BB的面积之
4、比图 1 图 2例 2 如图 1，二次函数 yx 2bx c 的图象与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C，连结BC动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒 个单位长度的速度从点 B向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动设运动的时间为 t 秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图 1，当BPQ 为直角三角形时，求 t 的值；（3）如图 2，当 t2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为MN 的中点，若存在，求出点
5、 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2例 3 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB13，CD/ AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 SCEF S CAF 的值；（2）设 CEx ，AE y，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长图 1 例 4 如图 1，二次函数 ya(x 22mx3m 2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交于 A、
6、 B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0, 3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分 DAE（1）用含 m 的式子表示 a；（2）求证： 为定值；DE（3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图 1例 5 如图 1，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y
7、 轴交于点2134yxC，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 例 6 如图 1，抛物线 与 x 轴交于
8、 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点2384yxC（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 1 【变式训练】1. （2017 黑龙江齐齐哈尔第 19 题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的直角边 在12OA1轴的正半轴上，且 ，以 为直角边作第二个等腰直角三角形 ，以 为直角边y12OA2OA33作第三个等腰直角三角形 ，则
9、点 的坐标为 07180172. （2017 黑龙江绥化第 21 题）如图，顺次连接腰长为 2 的等腰直角三角形各边中点得到第 1 个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第 2 个小三角形，如此操作下去，则第 个小三角形的面积n为 3. （2017 内蒙古通辽第 26 题）在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， ，与xOy22bxay)0,(A轴交于点 .yC（1）求抛物线 的函数表达式；22bxay（2）若点 在抛物线 的对称轴上，求 的周长的最小值；DACD（3）在抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使 是直角三角形？若存在，直接写出22bxay PAC点 的坐标，若不存在，请说明理
10、由.P4. (2017 山东潍坊第 25 题)（本题满分 13 分）如图 1，抛物线 经过平行四边形 的cbxay2 ABCD顶点 、 、 ，抛物线与 轴的另一交点为 .经过点 的直线 将平行四边形)30(，A1(，B32(，DxEl分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 .点 为直线 上方抛物线上一动点，设点 的CDPl P横坐标为 . t（1）求抛物线的解析式； （2）当 何值时， 的面积最大?并求最大值的立方根； tPFE（3）是否存在点 使 为直角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. At5. (2017 浙江温州第 24 题)（本题 14 分）如图，已知线段 AB=2
11、，MN AB 于点 M，且 AM =BM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C（点 C 在线段BD 上） ，连结 AC，DE（1）当APB=28时，求B 和 AC的度数；（2）求证：AC=AB。（3）在点 P 的运动过程中当 MP=4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段 MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 Q 为锐角顶点，求所有满足条件的 MQ 的值；记 AP 与圆的另一个交点为 F，将 点 F 绕点 D 旋转 90得到点 G，当点 G 恰好落在 MN 上时，连结AG，CG ，DG，EG，
12、直 接写出 ACG 和DEG 的 面积之比 NCEDMAB P6.（2017 湖北荆门市第 24 题）已知：如图所示，在平面直角坐标系 xoy中，09,25,0COBC.若点 是边 O上的一个动点（与点 ,OC不重合） ，过点 M作/MN交 于点 N.（1）求点 的坐标；（2）当 的周长与四边形 MB的周长相等时，求 M的长；（3）在 OB上是否存在点 Q，使得 为等腰直角三角形？若存在，请求出此时 N的长；若不存在，请说明理由.7.（2017 江苏淮安市第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与坐标轴交13于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3
13、，0） ，点 B 的坐标为（4，0 ） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接 PQ（1 ）填空：b= ，c= ；（2 ）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3 ）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；（4 ）如图，点 N
14、 的坐标为（ ，0 ） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点 Q 关于直线 NH 的对称点32Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标8. （2017 郴州第 26 题）如图， 是边长为 的等边三角形，边 在射线 上，且ABC4cmABOM，点 从点 出发，沿 的方向以 的速度运动，当 不与点 重合是，将6OAcmDOM1/sD绕点 逆时针方向旋转 得到 ，连接 .C06E（1）求证： 是等边三角形；CDE（2）当 时，的 周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长；610tBBDE若不存在，请说明理由.（3）当点 在射线 上运动时，是否存在以 为顶点的三角形是直角三角形？
15、DOM,DEB若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.t9. （2017 湖南长沙第 26 题）如图，抛物线 21648(0)ymx与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点A 左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD，延长AD 交 y 轴于点 E。（1）若 O为等腰直角三角形，求 m的值；（2）若对任意 0m， ,两点总关于原点对称，求点 D的坐标（用含 m的式子表示） ；（3）当点 D运动到某一位置时，恰好使得 OAB，且点 为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 ),(0yxP总有 503124610yn成立，求实数 n的最小值10. （2017 年山东省潍坊市第 25 题）（本题满分 13 分）如图 1，抛物线 cbxay2经过平行四边形ABCD的顶点 )30(， 、 )1(，B、 )32(，D，抛物线与 x轴的另一交点为 E.经过点 的直线 l将平行四边形 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 P.点 为直线 l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为 t. （1）求抛物线的解析式； （2）当 t何值时， PFE的面积最大?并求最大值的立方根； （3）是否存在点 使 A为直角三角形?若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由.