1、【类型综述】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母， 最后整理、变形，根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边” ，至少一边是动态的，求角的对边如图 1，已知点 A
2、的坐标为(3, 4)，点 B 是 x轴正半轴上的一个动点，设 OBx，ABy，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB5，点 O 沿直线 EF 翻折后，点 O的对应点 D 落在 AB 边上，设 ADx ，OE y，那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x的函数关系式来源:学|科|网 Z|X|X|K图 1 图 2【典例分析】例 1 如图 1，在 RtABC 中，BAC90，B60，BC16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为D，BE1cm，点 M 从点 B 出
3、发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C时停止运动设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？（2）设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围；（3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时，C PD 是等腰三角形？图 1 例 2 如图 1
4、，曲线 y1 是抛物线的一部分，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且表达式为（x3） ，曲线 y2 与曲线 y1 关于直线 x3 对称213()y（1）求 A、B 、C 三点的坐标和曲线 y2 的表达式；（2）过点 C 作 CD/x 轴交曲线 y1 于点 D，连结 AD，在曲线 y2 上有一点 M，使得四边形 ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形） ，请求出点 M 的横坐标；（3）设直线 CM 与 轴交于点 N，试问在线段 MN 下方的曲线 y2 上是否存在一点 P，使PMN 的面积最x大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在
5、，请说明理由图 1例 3 如图 1，ABC 为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC 边上，DFAB，EFAC，垂足分别为 D、E（1 ）求证：BDFCEF ； 来源:学+科+网（2 ）若 a4，设 BFm，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S取得最大值；（3 ）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF ，求此圆的直径（用含 a 的式子表示） 32来源:学科网 ZXXK例 4 如图 1，图 2，已知四边形 ABCD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PEAD（或延长线）于E，作 PFDC（或延长线）于 F，作射线 BP
6、 交 EF 于 G（1）在图 1 中，正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面 积为 y，设 AP ，求 y 关于 的函数表达xx式；（2）GBEF 对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明；来源:学*科*网 Z*X*X*K（3）请根据图 2 证明：FGCPFB 图 1 图 2例 5 已知抛物线 yx 2(2m1) xm 21 经过坐标原点，且当 0 时，y 随 x 的增大而减小。（1）求抛物线的解析式，并写出 y 0 时，对应 x 的取值范围；（2）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作ABx 轴于点
7、 B， DCx 轴于点 C. 当 BC1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长；设动点 A 的坐标为(a, b) ，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点 A 的坐标；如果不存在，请说明理由【变式训练】1如图，在平面直角坐标系 xy中，已知 ， 两点的坐标分别为 4,0， ,， C,0m是线段A上一点（与 ， 点不重合） ，抛物线 1L:21yaxbc（ a）经过点 A， ，顶点为 D，抛物线 2L:22yaxbc（ 0a）经过点 C， ，顶点为 ， D， 的延长线相交于点 F（1）若 1， m，求抛
8、物线 1， 2的解析式；（2）若 ， FA，求 的值；（3）是否存在这 样的实数 a（ 0） ，无论 m取何值，直线 FA与 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 a的两个不同的值；若不存在，请说明理由2(2017 江苏宿迁第 26 题)（本题满分 10 分）如图，在矩形纸片 中，已知 ， ，点 在边 上移动，连接 ，将多边形CDA1C3CDA沿直线 折叠，得到多边形 ，点 、 的对应点分别为点 、 （1）当 恰好经过点 时（如图 1） ，求线段 的长；（2） 若 分别交边 、 于点 、 ，且 （如图 2） ，求 的面积；FG.5AFG（3）在点 从点 移动到点 的过程中，求点 运动的路径长C
9、DC3如图 1，在平面直角坐 标系中， 是坐标原点，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，O23831yxxA与 轴交于点 ，连接 ，点 分别是 的中点. ，且 始终保持边yBA,MN,ABRtCDEtABOCDE经过点 ，边 经过点 ，边 与 轴交于点 ，边 与 轴交于点 .EDMCDEyHyG（1）填空， 的长是 ， 的度数是 度O（2）如图 2，当 ，连接/EH求证：四边形 是平行四边形；AN判断点 是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；D（3）如图 3，当边 经过点 时（此时点 与点 重合） ，过点 作 ，交 延长线上于点COGD/OBA，延长 到点 ，使 ，过点 作 ，在 上取一点 ，使得 （
10、若OEKDK/IOBKIP45DK在直线 的同侧） ，连接 ，请直接写出的 长.,PPP4(2017 山东日照第 22 题)如图所示，在平面直角坐标系中，C 经过坐标原点 O，且与 x 轴，y 轴分别相交于 M（4，0） ，N（0，3）两点已知抛物线开口向上，与C 交于 N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D（1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；（2）求抛物 线的函数表达式；（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形 OPMN=8SQAB ，且QABOBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存
11、在，请说明理由5(2017 山东滨州第 24 题)（本小题满分 14 分）如图 ，直线 ykxb（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A(4，0)、B(0 ，3)，抛物线yx 22x 1 与 y 轴交于点 C（1）求直线 ykxb 的解析式；（2）若点 P(x，y) 是抛物线 yx 22x 1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标； （3）若点 E 在抛物线 yx 22x1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CEEF 的最小值 来源:Z#xx#k.Com6 （2017 湖南长沙第 26 题
12、）如图，抛物线 21648(0)ymx与 x 轴交于 A,B 两点(点 B 在点A 左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的 一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD，延长AD 交 y 轴于点 E。（1）若 OAC为等腰直角三角形，求 m的值；（2）若对任意 0m， ,两点总关于原点对称，求点 D的坐标（用含 m的式子表示） ；（3）当点 D运动到某一位置时，恰好使得 OAB，且点 为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 ),(0yxP总有 503124610yn成立，求实数 n的最小值7(2017 河南第 23 题)如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
13、，抛物线23yxc(3,0)AyB经过点 ， .243yxbcAB（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，来源:学科网点 在线段 上运动，若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似， 求点 的坐标；OABPNAPM点 在 轴上自由运动，若三个点 ， ， 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，则称 ， ， 三点为“共谐点”.请直接写出使得 ， ， 三点成为“共谐点”的 的值.PNNm8 （2017 湖南株洲第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c+1，当 b=1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； 若 c= b22b，问：b 为何值时，二次函数的图象与 x 轴相切？14若二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B （x 2，0） ，且 x1x 2，与 y 轴的正半轴交于点M，以 AB 为直径的半圆恰好过点 M，二次函数的对称轴 l 与 x 轴、直线 BM、直线 AM 分别交于点 D、E、F，且满足 ，求二次函数的表达式3DEF