1、2020年高考文科数学立体几何题型归纳与训练【题型归纳】题型一 立体几何证明例1 如图五面体中,四边形是矩形,面,、分别为、的中点.（1）求证：面；（2）求证：面.【答案】 见解析【解析】（1）连结.因为四边形是矩形,且为的中点,所以为的中点. 又因为为AE的中点,所以, 又因为面,面,所以面. （2）取的中点,连结.因为,且, 所以四边形为平行四边形,所以,且. 在中,.所以,故. 由面,得, 因为,所以面. 【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.如该题中的（1）问需要利用五面体中的面是
2、矩形,根据对角线的性质确定线段与的中点.（2）问中利用勾股定理验证线线垂直关系,这些都是证明空间平行与垂直关系的基础.例2 在平行六面体中，求证：(1)平面；(2)平面平面【答案】 见解析【解析】(1)在平行六面体中，因为平面，平面，所以平面(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形又因为，所以四边形为菱形，因此又因为，所以又因为=，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.题型二 立体几何体积求解例1 如图所示，在三棱锥中，平面平面，三角形为等边三角形
3、，且，分别为，的中点.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面 .（3）求三棱锥的体积. 【答案】 见解析【解析】（1）依题意，分别为，的中点，则是的中位线，所以，平面，平面，故平面.（2）因为在中，且为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）由（2）知，平面，所以【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.例2 如图所示，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）当平面时，求三棱锥的体积【答案】 见解析【解析】（1）因为
4、， ，所以平面.又因为平面，所以.（2）因为，为线段的中点，所以在等腰中，.又由（1）可知，所以平面.由为线段上一点，则平面，所以又因为平面，所以平面平面.（3）当平面时，平面,且平面平面,可得.由是边的中点知，为边的中点.故而，因为平面，所以平面.由，为边中点知，又，有，即因此，.【易错点】注意体积几何证明题条件的严谨性【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.掌握线面平行的性质定理的应用及其体积的求解方法.题型三 几何体的外接球问题例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）A B
5、 C D（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .【答案】C； 【解析】（1），选C； （2），【易错点】 外接球球心位置不好找【思维点拨】 应用补形法找外接球球心的位置题型四 立体几何的计算例1 如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边边长分别为和,过直角顶点的侧棱长为,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是()【答案】 【解析】显然由空间直角坐标系可知,该几何体在面内的点保持不动,在轴上的点在面内的射影为坐标原点,所以该几何体的主视图就是其在面面的表面图形,即主视图应为高为,底面边长为的直角三角形故选.【易错点】 该题易出现的问题是误以为轴上的点在面的射影落在轴的正
6、半轴上而误选,【思维点拨】判断几何体的三视图应注意以下几个方面：（1）明确几何体的放置位置和角度,注意投影线和投影面；（2）准确把握几何体的结构特征,特别是几何体中的线面垂直关系等；（3）注意实线和虚线的区别.【巩固训练】题型一 立体几何的证明1.如图,在四棱锥中,底面为菱形, ,点在线段上,且,为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面,求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）为的中点, 底面为菱形, ,平面.（2）, 平面平面,平面平面,平面, ,.平面,平面.,.2.如图,在直三棱柱中,是的中点.（1）证明：平面；（2）若,求证：.【答案】见解析.【解析】证明：（1
7、）如图,连接,交于点,连结.据直三棱柱性质知四边形为平行四边形,所以为的中点.又因为是的中点,所以. 又因为平面,平面,所以平面. （2）因为,为的中点,所以. 据直三棱柱性质知平面,又因为平面,所以.又因为,平面,所以平面, 又因为平面,所以,即. 题型二 立体几何体积求解1. 如图所示，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点.（1）证明平面；（2）求四面体的体积【答案】（1） （2）【解析】（1）取中点，连接、，因为是中点，且，又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1) 平面.所以.所以.2.如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，.（
8、1）证明：直线平面；（2）若面积为，求四棱锥的体积.【答案】（1） （2）【解析】（1）在平面内，因为，所以.又平面，平面，故平面.（2）取的中点，联结，.由，及，得四边形为正方形，则.因为侧面是等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.设，则，.取的中点，联结，则，所以.因为的面积为，所以，解得（舍去），于是，.所以四棱锥的体积.题型三 几何体的外接球问题1. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .【答案】【解析】正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，平面，
9、同理：，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ，平面，平面，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，即，正三棱锥外接球的表面积是2. 在四面体中，则该四面体的外接球的表面积为（ ） 【答案】D【解析】在中，的外接球直径为，选D3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .【答案】【解析】解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，底面积为，球的体积为4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.
10、【答案】D【解析】根据三视图，还原原图如图所示，为棱中点，根据几何体判断解得该几何体外接球的表面积为，故选D题型四 立体几何的计算1.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A. B. C. D.【答案】【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选D.2.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）.A B C D【答案】【解析】由该几何体的三视图，在长为2，宽为1，高为1的长方体中还原其立体图形，如图所示.由图及三视图中所给的数据可知，与为等腰直角三角形，与为等边三角形，所以四面体的表面积为.故选C.3.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. B. C. D.【答案】【解析】由三视图可知,半球的半径是，体积为,四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为 .故选C.4.已知正三棱锥的主视图、左视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积【答案】 (1)见解析 (2)6【解析】（2）如图所示（2）根据三视图间的关系可得, 左视图中,.