1、 2020年高考文科数学圆锥曲线题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点，是圆（为圆心）上的动点，的垂直平分线与交于点，设点的轨迹为. 求的方程.【答案】见解析【解析】由题意知，所以,又因为.所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，动点的轨迹方程为.例2 设为坐标原点，动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.求点的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设，.由知，即.又点在椭圆上，则有，即.例3 如图，矩形中， 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.【答案】的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为.【解
2、析】设，由,求得,，整理得.可知点的轨迹为第二象限的椭圆，由对称性可知曲线的轨迹方程为.【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简;定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹.题型
3、二 最值（范围）问题例1 已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ）A. 16 B. 14 C. 12 D. 10【答案】A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得， ，同理直线与抛物线的交点满足：，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求的方程；（2）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程【答案】见解析【解析】（1） （2）【
4、思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆：的离心率为，点 在上.（1）求的方程.（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】见解析【解析】 （1）由题意有，解得，.所以的方程为.（2）设直线：， ，.将 代入得.故， .于是直线的斜率，即.所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【思维点拨
5、】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线，点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. (1) 若，且直线的斜率为1，求以为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点，使得不论直线绕点如何转动，恒为定值？【答案】（1）. (2)存在定点M(2, 0).【解析】（1）当时，此时，点为抛物线的焦点，直线的方程为，设，联立，消去得， ， ，圆心坐标为(3, 2). 又，圆的半径为4，圆的方程为. (2)由题意可设直线的方程为
6、，则直线的方程与抛物线联立，消去得： ，则， ， 对任意恒为定值，于是，此时. 存在定点，满足题意.【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交
7、于点.证明为定值，并写出点的轨迹方程.【答案】（）【解析】因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为（）.2.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.求动圆的圆心点的轨迹方程；【答案】【解析】设动圆圆心，设圆交轴于两点，连接，则，过点作，则点是的中点，显然，于是，化简整理得，故的轨迹方程为.3.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（1）由于在线段上，故
8、.记的斜率为，的斜率为，则.所以. （2）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. 题型二 最值（范围）问题1.已知动点到点与点的直线斜率之积为，点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）过点作直线与曲线交于， 两点，求的最大值【答案】（1） （2）【解析】（1）设，则因为到点A，与点B的斜率之积为，所以，整理得C的方程为 （2）当垂直于轴时，的方程为，代入得， 当l不垂直于轴时，依题意可设，代入得因为，设， 则， 综上 ，当垂直于轴时等号成立，故的最大值是2.设椭圆经过点是椭圆的左、右焦点，
9、且的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过椭圆内的一点作斜率为的直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为，若对任意实数，存在实数，使得，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）略（2） 设直线的方程为，由，得，设，则，由对任意成立，得，又在椭圆内部中，即题型三 定点定值与存在性问题1.已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为， 分别是椭圆的上、下顶点， .（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于相异两点，且满足直线的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）（2）直线恒过定点.【解析】（1）由题知， 由，得 又 由联立解得：，椭圆的方程为.（2）证明：由椭圆
10、的方程得，上顶点，设，由题意知，由得：，又，由，得，化简得：解得：或，结合，知，即直线恒过定点.2.已知椭圆：的离心率为，的面积为1（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点求证：为定值【答案】（1） （2）见解析.【解析】（1）由题意得解得. 所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时， 所以.综上，为定值.3. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求
11、出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）见解析【解析】（1）由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以所以，当时，有最大值，可得，所以故椭圆的方程为：（2）存在点满足要求，使得面积最大假设直线与圆相交于不同两点,则圆心到的距离， 因为在椭圆上，所以 ，由得：所以，由得代入上式得，当且仅当，此时满足要求的点有四个此时对应的的面积为4.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.【答案】（1） （2）直线恒过定点.【解析】（1）抛物线的焦点，直线的方程为： 联立方程组，消元得： ，解得.，抛物线的方程为：.（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为.由题意可设直线的方程为.由，得.因为直线与曲线于两点，所以.所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得.于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点.综上所述，直线恒过定点.13