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2020年高考文科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练

1、 2020年高考文科数学圆锥曲线题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点,是圆(为圆心)上的动点,的垂直平分线与交于点,设点的轨迹为. 求的方程.【答案】见解析【解析】由题意知,所以,又因为.所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长为的椭圆,动点的轨迹方程为.例2 设为坐标原点,动点在椭圆上,过点作轴的垂线,垂足为,点满足.求点的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示,设,.由知,即.又点在椭圆上,则有,即.例3 如图,矩形中, 且, 交于点.若点的轨迹是曲线的一部分,曲线关于轴、轴、原点都对称,求曲线的轨迹方程.【答案】的轨迹为第二象限的椭圆,由对称性可知曲线的轨迹方程为.【解

2、析】设,由,求得,,整理得.可知点的轨迹为第二象限的椭圆,由对称性可知曲线的轨迹方程为.【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法:直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简;定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法:找动点之间的转化关系(平移,伸缩,中点,垂直等),用要求的代替已知轨迹的,代入化简3.参数法:可用联立求得参数方程,消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法:联立求交点,变形的轨迹.题型

3、二 最值(范围)问题例1 已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为( )A. 16 B. 14 C. 12 D. 10【答案】A【解析】设,直线的方程为,联立方程,得, ,同理直线与抛物线的交点满足:,由抛物线定义可知,当且仅当(或)时,取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点(1)求的方程;(2)设过点的动直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程【答案】见解析【解析】(1) (2)【

4、思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个:(1)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系;(2)利用基本不等式求出参数的取值范围;(3)利用函数的值域的求法(甚至求导),确定参数的取值范围题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆:的离心率为,点 在上.(1)求的方程.(2)直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为.直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】见解析【解析】 (1)由题意有,解得,.所以的方程为.(2)设直线:, ,.将 代入得.故, .于是直线的斜率,即.所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【思维点拨

5、】解析几何是高考必考内容之一,在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算,在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题,并会结合中点坐标,方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线,点在轴的正半轴上,过点的直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点. (1) 若,且直线的斜率为1,求以为直径的圆的方程;(2) 是否存在定点,使得不论直线绕点如何转动,恒为定值?【答案】(1). (2)存在定点M(2, 0).【解析】(1)当时,此时,点为抛物线的焦点,直线的方程为,设,联立,消去得, , ,圆心坐标为(3, 2). 又,圆的半径为4,圆的方程为. (2)由题意可设直线的方程为

6、,则直线的方程与抛物线联立,消去得: ,则, , 对任意恒为定值,于是,此时. 存在定点,满足题意.【易错点】定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果(取特殊位置或特殊值),因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于,两点,过作的平行线交

7、于点.证明为定值,并写出点的轨迹方程.【答案】()【解析】因为,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为().2.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为.求动圆的圆心点的轨迹方程;【答案】【解析】设动圆圆心,设圆交轴于两点,连接,则,过点作,则点是的中点,显然,于是,化简整理得,故的轨迹方程为.3.已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点(1)若在线段上,是的中点,证明;(2)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.【答案】(1)见解析; (2)【解析】由题设.设,则,且.记过两点的直线为,则的方程为.(1)由于在线段上,故

8、.记的斜率为,的斜率为,则.所以. (2)设与轴的交点为,则.由题设可得,所以(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时,由可得.而,所以.当与轴垂直时,与重合.所以,所求轨迹方程为. 题型二 最值(范围)问题1.已知动点到点与点的直线斜率之积为,点的轨迹为曲线(1)求的方程;(2)过点作直线与曲线交于, 两点,求的最大值【答案】(1) (2)【解析】(1)设,则因为到点A,与点B的斜率之积为,所以,整理得C的方程为 (2)当垂直于轴时,的方程为,代入得, 当l不垂直于轴时,依题意可设,代入得因为,设, 则, 综上 ,当垂直于轴时等号成立,故的最大值是2.设椭圆经过点是椭圆的左、右焦点,

9、且的面积为(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,过椭圆内的一点作斜率为的直线与椭圆交于两点,直线的斜率分别为,若对任意实数,存在实数,使得,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【解析】(1)略(2) 设直线的方程为,由,得,设,则,由对任意成立,得,又在椭圆内部中,即题型三 定点定值与存在性问题1.已知分别是椭圆的左、右焦点,离心率为, 分别是椭圆的上、下顶点, .(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于相异两点,且满足直线的斜率之积为,证明:直线恒过定点,并求定点的坐标.【答案】(1)(2)直线恒过定点.【解析】(1)由题知, 由,得 又 由联立解得:,椭圆的方程为.(2)证明:由椭圆

10、的方程得,上顶点,设,由题意知,由得:,又,由,得,化简得:解得:或,结合,知,即直线恒过定点.2.已知椭圆:的离心率为,的面积为1(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点求证:为定值【答案】(1) (2)见解析.【解析】(1)由题意得解得. 所以椭圆的方程为.(2)由(1)知,设,则.当时,直线的方程为.令,得.从而.直线的方程为.令,得.从而.所以.当时, 所以.综上,为定值.3. 在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆O: 相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求

11、出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】(1)由,所以设是椭圆上任意一点,则,所以所以,当时,有最大值,可得,所以故椭圆的方程为:(2)存在点满足要求,使得面积最大假设直线与圆相交于不同两点,则圆心到的距离, 因为在椭圆上,所以 ,由得:所以,由得代入上式得,当且仅当,此时满足要求的点有四个此时对应的的面积为4.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于 两点,且.(1)求该抛物线的方程;(2)过点任意作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点和.设线段的中点分别为,求证:直线恒过一个定点.【答案】(1) (2)直线恒过定点.【解析】(1)抛物线的焦点,直线的方程为: 联立方程组,消元得: ,解得.,抛物线的方程为:.(2)设两点坐标分别为,则点的坐标为.由题意可设直线的方程为.由,得.因为直线与曲线于两点,所以.所以点的坐标为.由题知,直线的斜率为,同理可得点的坐标为.当时,有,此时直线的斜率.所以,直线的方程为,整理得.于是,直线恒过定点;当时,直线的方程为,也过点.综上所述,直线恒过定点.13