1、 2020年高考文科数学函数的定义与性质题型归纳与训练【题型归纳】题型一 函数的概念及其表示例1 函数的定义域为（ ）A B C D【答案】【解析】，解得例2 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）A. B. C. D 【答案】【解析】，定义域与值域均为，只有满足，故选【易错点】对数运算公式中参数的取值范围【思维点拨】按部就班,分别求出各函数的定义域与值域.也可以用排除法.例3 设函数，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】 当时，不等式为恒成立；当，不等式恒成立；当时，不等式为，解得，即；综上，的取值范围为例4 若函数在区间0，1上的最大值是，最小值是，则（ ）A与
2、有关，且与有关 B与有关，但与无关C与无关，且与无关 D与无关，但与有关【答案】B【解析】B【解析】函数的对称轴为，当，此时，；当，此时，；当，此时，或，或综上，的值与有关，与无关选B【易错点】常数项的变化不影响最高点与最低点纵坐标的差.【思维点拨】二次函数中参数对函数图像的影响.常数项变化时,函数图象上下平移,不影响最大值与最小值的差.题型二 函数单调性及应用例1 函数的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.【易错点】函数有意义,必须要在定义域范
3、围内研究函数【思维点拨】定义域优先原则,先求出函数定义域,再利用复合函数单调性求出单调区间.例2 函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为函数是上的偶函数，所以 ，又因为 在上单调递增，所以，故.本题选择C选项.【易错点】函数奇偶性单调性的几何意义.【思维点拨】抽象函数单调性问题,可以大致画出一个符合条件的函数图像,结合图像解决问题.题型三 函数奇偶性及应用例1 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数【答案】C【解析】设，则，是奇函数，是偶函数
4、，为奇函数，选C.【易错点】混淆奇偶性的定义【思维点拨】本题主要考查了函数奇偶性的判定,只要利用奇偶性的定义判断即可.例2 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )A B C D 【答案】【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数例3 若是上周期为5的奇函数，且满足，则( )A1 B1 C2 D2【答案】【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是题型四 函数与方程例1 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )A B C D【答案】【解析】，零点的区间是例2 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A B C D【答案】【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇
5、函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点故选例3 已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】函数恰有三个不同的零点，即和恰有三个不同的交点，画出函数的图象，如图所示：，时,的最小值是，结合图象,，故选：. 【易错点】分段函数图象画的不够准确【思维点拨】分离参数将题目转化为:和恰有三个不同的交点.再结合函数图像,解决问题.【巩固训练】题型一 函数的三要素1.函数的定义域为 【答案】【解析】由，得，因些函数定义域为2.设函数，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，.又由，故有，所以有.故选C.3.已知函数，则 ，的最小值是
6、【答案】【解析】利用分段函数表达式，逐步求值.当时，；当时，.综上，所以，.题型二 函数单调性及应用1.已知函数，不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于,所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故,所以,故选A.2.设函数，则是（ ）.A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】由已知的定义域为，关于原点对称. 又因为，所以为奇函数.，当时，即在上为增函数.故选A.3.能说明“若对任意的 都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数为 . 【答案】等【解析】函数需要满足在上的最小值为，并且在
7、上不单调. 选取开口向下，对称轴在上的二次函数均可，其余符合题意的答案也正确.题型三 函数奇偶性及应用1.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】 由题意得.2.若函数为偶函数，则 . 【答案】1【解析】由题意可知函数是奇函数，所以，即 ，解得3.已知函数， 其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是 【答案】【解析】 易知的定义域为.因为，所以是奇函数又，且不恒成立，所以在上单调递增因为，所以，于是，即，解得故填题型四 函数与方程1.函数的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点2.已知函数，若存
8、在2个零点，则的取值范围是A B C D【答案】C【解析】函数存在2个零点等价于函数的图像与直线有2个交点，如图所示，则，即.故选C.3.已知函数, 且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A BC D【答案】【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，当直线与和都相交时；当直线与有两个交点时，由，消元得，即，化简得，当，即时直线与相切，当直线过点时，所以，综上实数的取值范围是4.如图所示，函数的图像为折线，则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数不等式的求解，利用函数图像求解不等式.在同一坐标系中画出及的图像，如图所示.可知的解集为.故选C. 5.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象,如图所示同时绘制函数的图象，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.9