1、 2020年高考文科数学解三角形题型归纳与训练【题型归纳】题型一 利用正、余弦定理解三角形例1 在中，则A B C D【答案】【解析】因为，所以由余弦定理，得，所以，故选A例2 的内角,的对边分别为，若，则 【答案】【解析】，所以，所以，由正弦定理得：解得例3 的内角，的对边分别为，已知，则（ ）.A B C D【答案】B【解析】由题意得，即，所以.由正弦定理，得，即，得.故选.【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.题型二
2、角的正弦值和边的互化例1 的三个内角，所对的边分别为，则A B C D【答案】B【解析】由正弦定理，得，即，例2 设的内角所对边的长分别为若，则则角_.【答案】【解析】，所以例3 在中，内角，所对的边分别为，已知（1）求角的大小； （2）设，求和的值【答案】（1） （2），【解析】(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得(2)在中，由余弦定理及，有，故由，可得因为，故因此， 所以， 例4 在中，内角，所对的边分别为，已知 （1）求；（2）若的面积为，求的周长【答案】（1） （2）【解析】(1)由正弦定理得：， 由余弦定理得： 周长为题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
3、例1 设，内角，所对的边分别为，若, 则的形状为A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定【答案】B【解析】，由正弦定理得，是直角三角形例2 设，内角，所对的边分别为，若，则为()A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形【答案】C【解析】由，得，所以，即，所以，因为在三角形中，所以，即为钝角，所以为钝角三角形.例3 在中，已知，则的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】【解析】由已知可得,即或,可得或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.【易错点】诱导公式易出错【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化
4、边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.题型四 和三角形面积有关的问题例1 的内角，的对边分别为，若的面积为，则A B C D【答案】【解析】根据题意及三角形的面积公式知，所以，所以在中，故选C例2 在中，分别为内角，所对的边长，若，则的面积是A3 B C D【答案】【解析】由可得，由余弦定理及可得所以由得，所以例3 的内角的对边分别为 ，已知，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面
5、积【答案】(1)4 (2) 【解析】（1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得.又因为代入并整理得，解得.（2）因为，由余弦定理得.因为，即为直角三角形，则，得.从而点为的中点，.【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边【思维点拨】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【巩固训练】题型一 利用正、余弦定理解三角形1.在中，若，则A B C D【答案】【解析】由正弦定理得：2. 在中，角所对的边分别为，若，则角的大小为 【答案】【解析】由得，即，因，所以.又因为由正弦定理得，解得，
6、而则,故3.在中，边上的高等于，则（ ）.A. B. C. D.【答案】【解析】如图所示.依题意，.在中，由余弦定理得故选C.4.在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】见解析【解析】（1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得.（2）由（）及，得，所以，故.5. 如图中，已知点在边上，则的长为_【答案】【解析】根据余弦定理可得，题型二 角的正弦值和边的互化1. 在，内角所对的边长分别为若，且，则=A B C D 【答案】【解析】边换后约去，得，所以，但B非最大角，所以2. 在，内角所对的边长分别为，若，且，则角的大小为_.【答案】【
7、解析】由，根据正弦定理得，代入得，由余弦定理得：，.3.已知、分别为三个内角、的对边，（1）求；（2）若，的面积为，求、【答案】（1） （2）【解析】（1）由正弦定理得：（2），解得：题型三 利用正、余弦定理判定三角形的形状1.在中，若，则的形状是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定【答案】【解析】由已知可得，所以的形状是钝角三角形 2. 在中，、分别为三个内角、的对边，若，则的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】，由正弦定理得，,，或，为等腰或直角三角形.题型四 和三角形面积有关的问题1.中，分别为
8、内角，所对的边长已知（1）求的值；（2）求的面积【答案】（1） （2）【解析】（1）在中，由题意知，又因为，所有，由正弦定理可得（2）由得，由，得所以因此，的面积2. 在内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，求面积的最大值【答案】（1） （2）【解析】（1）因为，所以由正弦定理得：，所以，即，因为0，所以，解得B=；（2）由余弦定理得：，即，由不等式得：，当且仅当时，取等号，所以，解得，所以ABC的面积为=，所以面积的最大值为3. 设的内角所对边的长分别为，且有（1）求角A的大小；（2）若，为的中点，求的长【答案】(1) (2) 【解析】（1）（2）在中，4.在中，内角所对的边分别为，.已知.（1）求证：；（2）若的面积，求出角的大小.【答案】(1) 见解析 (2) 或【解析】（1）由正弦定理得，故，于是,又，故，所以 或，因此（舍去）或，所以（2）由，得.由正弦定理得，因为，得又，所以当时，由，得；当时，由，得综上所述，或11