1、2020年高考文科数学极坐标系与参数方程题型归纳与训练【题型归纳】题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 （1）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段的极坐标方程（2）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线和交点的直角坐标【答案】（1）. （2） 【解析】（1） 化成极坐标方程为即. ，线段在第一象限内(含端点)， （2）因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为.由，得曲线的直角坐标方程为.由得，故曲线与曲线交点的直角坐标为【易错点】容易忽略参数范围【思维点拨】(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点
2、与原点重合；极轴与轴的正半轴重合；取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，的形式，进行整体代换题型二 伸缩变换及求曲线的极坐标方程例1 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.(1)写出曲线的方程；(2)设直线：与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程【答案】(1)曲线C的方程为.(2).【解析】(1)设为圆上的点，在已知变换下变为曲线上的点，依题意，得，由得，即曲线的方程为.(2)由解得或不妨
3、设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得，即.【易错点】伸缩变换易变错【思维点拨】求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程题型三 参数方程与普通方程的互化例1 已知直线的参数方程为(参数)，圆的参数方程为(参数)，求直线被圆所截得的弦长【答案】【解析】由，消参数后得普通方程为，由，消参数后得普通方程为，显然圆心坐标为，半径为.由于圆心到直线的距离为，根据勾股定理，所求弦长为.【易错点】参数
4、方程化普通方程.【思维点拨】本题考查直线和圆的联立问题，就是把参数方程转化为直角坐标系下的普通方程.例2在直角坐标系中，已知椭圆的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(参数)，直线垂直于直线且过椭圆的右焦点.（1）求椭圆的普通方程和直线的参数方程；（2）直线交椭圆于、两点，求【答案】（1）椭圆的方程为，直线的参数方程为(为参数).（2）.【解析】（1）椭圆中的，椭圆的方程为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的参数方程为(为参数)（2） 将直线的参数方程(为参数)代入椭圆的方程中得到关于的一元二次方程，设是所对应的参数，则根据参数的几何意义可知:【易错点】直线参数方程的表示要用标准形式，参数几
5、何意义及参数的符号【思维点拨】线段长度与参数几何意义之间的联系考点四 极坐标方程与参数方程的综合应用例1在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为.（2）【解析】（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为.（2）将代入，得，解得.故，即.由于的半径为1，所以为等腰直角三角形，所以的面积为.【易错点】第二问求三角形面积易化为直角坐标求点，求距离求面积，计算量大易错.【思维点拨】(1)已知直角坐标方程化极坐标系方程直接运用公式带入化简即可；(2
6、)注意运用极坐标求解例2在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标系方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）的最小值为，此时的直角坐标为.【解析】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为因为是直线，所以的最小值即为到距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. 【易错点】解题方法选择不当导致计算量太大而出错.【思维点拨】与圆锥曲线有关的最值问题转化为参数形式比较容易求
7、解.【巩固训练】题型一 极坐标与直角坐标的互化1. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于，两点当是等边三角形时，求的值【答案】【解析】由可得，即由可得.设圆的圆心为，与的两交点，与构成等边三角形，如图所示由对称性知，.在中，易求，点的坐标为又在上，即，解得(舍去)或.2.已知圆的极坐标方程为，求圆的半径【答案】【解析】 由题意得，所以，即，从而，即，故圆的半径为3.在直线坐标系中，曲线：（为参数，）其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：. (1)求与交点的直角坐标；(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值.【答案】(1)与交点的直角坐标为和(2)当时，最大值为【解析】 （
8、1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立，解得或所以与交点的直角坐标为和（2）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为题型二 伸缩变换及求曲线的极坐标方程1.已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离【答案】（1）， （2）【解析】（1）由（为参数）消去参数得直线的普通方程.，.即曲线的直角坐标方程. （2）由可得代入方程可得.已知
9、为曲线上任意一点，可设，其中为参数；则点到直线的距离；点到直线的最小距离.题型三 参数方程与普通方程的互化1.(1)求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数(2)在平面直角坐标系中，若直线：(为参数)过椭圆：(为参数)的右顶点，求常数的值【答案】(1)直线与曲线有2个交点； (2).【解析】(1)将消去参数得直线；将消去参数得圆.又圆心到直线的距离.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点(2)直线的普通方程为，椭圆的普通方程为椭圆的右顶点坐标为，若直线过，则，.2. 在直角坐标系中，圆的方程为.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（
10、为参数），与交于两点，求的斜率.【答案】(1)圆的极坐标方程为. （2）的斜率.【解析】（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入圆:化简得，设两点处的参数分别为，则，所以，解得，的斜率.考点四 极坐标方程与参数方程的综合应用1.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数)，直线和圆交于，两点，是圆上不同于，的任意一点(1)求圆心的极坐标；(2)求面积的最大值【答案】(1) . （2）.【解析】（1）由圆的极坐标方程为得把代入可得圆C的直角坐标方程为，即圆心坐标为， 圆心的极坐标为.（2）由题意，得直线的直角坐标方程为.圆心到直线的距离，.点到直线的距离的最大值为，面积的最大值为.2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.【答案】(1)极坐标方程. （2）.【解析】 （1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆.令，代入得极坐标方程.（2）将化为直角坐标方程为，.两式相减可得它们的公共弦所在直线为.又公共点都在上，故的方程即为公共弦.又为，即为，从而可知.