1、2020年高考文科数学不等式题型归纳与训练【题型归纳】题型一 一元二次不等式解法及其应用例1 若，则一定有（ ）A B C D【答案】【解析】由，又，由不等式性质知：，所以例2 关于的不等式（）的解集为，且，则（ ）A B C D【答案】【解析】由 ()，得，即，.，故选A例3 不等式的解集是_【答案】【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可例4 已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得题型二 应用基本不等式求函数最值例1 已知，则函数的最大值 .【答案】1【解析】因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项.，当
2、且仅当，即时，上式等号成立，故当时，.【易错点】注意,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例 2 当时，则的最大值是 .【答案】.【解析】因为当且仅当，即时取等号，所以当时，的最大值为.【思维点拨】由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可.例3 函数的值域为 。【答案】【解析】当,即时,（当且仅当x1时取“”号）.【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离.例4 已知，且，则的最小值为 .【
3、答案】16【解析】，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，.【易错点】错解：，且， 故 错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.例5 已知，为正实数，则函数的最小值是 .【答案】 【易错点】本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.
4、【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。题型三 线性规划例1 已知，则：(1)的最大值 ； (2)的最小值 ； (3)的取值范围是 .【答案】（1）； （2） ； （3）.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线过点时，z最大. 所以x7，y9时，z取最大值21.(2)表示可行域内任一
5、点到定点M(0,5)的距离的平方，过点作直线的垂线，易知垂足在线段上，故的最小值是.(3)表示可行域内任一点与定点连线斜率的2倍.因为，所以的取值范围为.【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域.【思维点拨】(1)把直线直线变形为可知在轴上你的截距越大就越大;（2） 根据点线距离求即可；（3）先确定定点再利用斜率求.例2 已知则的最小值是 .【答案】【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方，由图易知是满足条件的最优解，的最小值是为.【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
6、题型四 基本不等式的应用例1 已知、，且。求证：.【答案】、，同理，上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:，当且仅当时取等号.【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手.例2 若，则的大小关系是 .【答案】【解析】 ，则（ .【思维点拨】因为所以可以利用均值不等式进行判断大小.【巩固训练】题型一 一元二次不等式解法及其应用1.不等式的解集为_【答案】【解析】易得不等式的解集为.2.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】因为不等式在上恒成立=，解得3.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为
7、 【答案】【解析】因为的值域为0,+），所以即,所以的两根，由韦达定理得解得.4.已知函数,则满足不等式的的范围是_【答案】【解析】5.已知的定义域为的偶函数，当时，那么，不等式的解集_【答案】(7,3)【解析】当0时，令，解得，又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即73；故解集为(7,3)题型二 应用基本不等式求函数最值1.已知，则的最小值是 。【答案】【解析】.当且仅当时，即，上式取“=”，故.2.已知，则函数的最小值是 .【答案】【解析】因为，所以。所以.当且仅当时，即，上式取“=”，故.3. 若,则的最小值是（ ）A B C D【答案】D【解析】由已知得，且，可知，所以()，当
8、且仅当时取等号4.若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，即，所以，当且仅当，即时取等号5.若正实数， 满足 ，则的最小值是 .【答案】【解析】因为， ，所以，解得或（舍）等号当且仅当时成立，故的最小值为.题型三 线性规划 1.设变量、满足约束条件，则的最大值为。【答案】【解析】如图，画出可行域，得在直线与直线的交点处，目标函数最大值为2.在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出可行域如图所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D.3.在平面直角坐标系中，不等式
9、组表示的平面区域的面积是( )A. B.4 C. D.2 【答案】【解析】如图，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为，.于是三角形的面积为：从而选.题型四 基本不等式的应用1.已知且，则使不等式恒成立的实数的取值范围是 .【答案】【解析】令， 。 ，.2.若对任意，恒成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以有即的最大值为，故。3.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出正确命题的编号)； ； ； 【答案】【解析】令，排除；由，命题正确；，命题正确；，命题正确4.已知，成等差数列，成等比数列，则的取值范围是 .【答案】.【解析】由等差数列、等比数列的性质得，所以，当时，；当时，故的取值范围是.