1、2020年高考理科数学直线与圆题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线和.试确定、的值，使：(1)与相交于点；(2)；(3)，且在轴上的截距为1.【答案】（1），.（2），时或，时，.（3），【解析】(1)由题意得，解得，.(2)当时，显然不平行于；当时，由，得或.即，时或，时，.(3)当且仅当，即时，.又，.即，时，且在轴上的截距为1.【易错点】忽略对的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或时，并且对于直线平行和垂直时与和间的关系要熟练记忆。例2如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截
2、的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程【答案】.【解析】与、平行且距离相等的直线方程为.设所求直线方程为，即.又直线过，.解.所求直线方程为.【易错点】求错与、平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到、平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）例1已知实数、满足方程.(1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）的最大值为，最小值为.【解析】(1)原方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆设，即，当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时，解得.故
3、的最大值为，最小值为. (2)设，即，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时，即.故的最大值为，最小值为.【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。例2已知点，为圆上一动点，当点在圆上运动时，的中点的轨迹方程是.【答案】.【解析】设点为所求轨迹上任意一点，.因为M为PQ的中点，所以即又因为点在圆上，所以，故所求的轨迹方程为.【易错点】中点的错误应用【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆
4、C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是.【答案】PQ.【解析】设PCA=，所以PQ=2sin .又cos =，AC3，+)，所以cos ，所以cos2，sin2=1-cos2，所以sin ，所以PQ.【易错点】直接去求线段的长度【思维点拨】转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题.例2已知圆(1)若圆的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为为坐标原点，且有求使得取得最小值时点的坐标 【答案】（1），或.（2）【解析】(1)将圆配方得.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ，由，解得，得.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
5、设直线方程为，由，得，. 直线方程为，或. (2)由,得，即点在直线上 当取最小值时，即取得最小值，直线，直线的方程为.得点的坐标为.【易错点】没有分类讨论【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类讨论思想来解决问题题型四 定点定值轨迹问题例1已知tR，圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.(2)圆C是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.（2）过定点，定点坐标为【解析】(1)由原方程配方得(x-t)
6、2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圆心为C(t，t2).依题意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0，令所以圆C过定点(2，0).【易错点】漏解【思维点拨】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.例2如图，已知圆C：x2+(y-3)2=4，一动直线l过点A(-1，0)与圆C相交于P，
7、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当PQ=2时，求直线l的方程.(3)探索是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）x=-1或4x-3y+4=0.（3）与直线l的倾斜角无关，且=-5.【解析】(1)因为l与m垂直，且km=-，所以kl=3.又kAC=3，所以当l与m垂直时，l的方程为y=3(x+1)，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1，符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0.因为PQ=2 ，所以CM=
8、1，则由CM=1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0，从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(3) 因为CMMN，所以=(+)=+=.当l与x轴垂直时，易得N，则=.又=(1，3)，所以=-5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，则由得N，则=，所以=+=-5.综上，与直线l的倾斜角无关，且=-5.【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论【思维点拨】一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.【巩固训练】题型一直线方程、两直线的位置关系1.已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a
9、1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值【答案】（1）当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行（2）a【解析】（1）由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行（2）由A1A2B1B20得a2(a1)0a.2.已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使PAPB，且点P到直线l的距离为2.【答案】P的坐标为或【解析】设点P的坐标为(a，b)，A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)，线段AB的垂直平分线方程为y2
10、x3，即xy50.点P(a，b)在上述直线上，ab50.又P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，联立可得或.所求点P的坐标为或.3.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_【答案】CD2【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD2.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）1.根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6
11、；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)【答案】（1）x2y22x4y80，或x2y26x8y0（2）(x1)2(y4)28【解析】(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36，由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(2)如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x
12、+b(xR)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.【答案】（1）x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.（2）圆C必过定点(0，1)，(-2，1)【解析】(1)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b；令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1，所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圆C必过定点(0，1)，(-2，1).证明如下：原方程转化为(x2+y2+2x-y)
13、+b(1-y)=0，即解得或.3.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_【答案】(x2)2(y1)21【解析】设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则，代入xy4中得(x2)2(y1)21.题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.若过点P(1，1)的直线将圆形区域(x，y)|x2+y24分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为.【答案】x+y-2=0【解析】当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线方程为x+y-2=0.2. 直线与圆相交于两点，若，则的取
14、值范围是_ 【答案】【解析】设圆心为，弦的中点为，当时，.当时，圆心到直线的距离.，3.若圆O：x2+y2=5与圆O1：(x-m)2+y2=20(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是.【答案】【解析】依题意得OO1=5，且OO1A是直角三角形，=OO1=OAAO1，因此AB=4.题型四 定点定值轨迹问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1.设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长.(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动.(2)动圆C是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理
15、由.【答案】（1）动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动（2）动圆C过定点，定点的坐标为和.【解析】(1)设圆心C(x，y)，由题意，得CC1=CC2，即=，化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.(2)圆C过定点.设C(m，3-m)，则动圆C的半径为=.于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2，整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0，联立方程组解得或所以动圆C过定点，定点的坐标为和.2. 已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1，0).(1)若l1与圆相切，求直线l1的方程.(2)若l1与圆相
16、交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AMAN是否为定值?若是，则求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）x=1或3x-4y-3=0.（2）AMAN是定值且为6.【解析】(1)若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即=2，解得k=，所以所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.(2)方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.又因为直线CM与l1垂直，由得M，所以
17、AMAN=6为定值.故AMAN是定值且为6.方法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0，所以x1+x2=，得M.以下同方法一.方法三：(几何法)(变式)连接CA并延长交l2于点B，由题知kAC=2，=-，所以CBl2.如图，AMCABN，所以=，可得AMAN=ACAB=2=6，是定值.3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M
18、，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0.(2)【解析】(1)由得圆心C为(3，2)，因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.由题知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，所以=1，所以|3k+1|=，所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3，即y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，所以设圆心C为(a，2a-4)，则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为MA=2MO，所以设点M(x，y)，则=2，整理得x2+(y+1)2=4，设为圆D.所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，所以|2-1|2+1|，由5a2-12a+80得aR；由5a2-12a0，得0a.终上所述，实数a的取值范围为