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2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练

1、2020年高考理科数学直线与圆题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线和.试确定、的值,使:(1)与相交于点;(2);(3),且在轴上的截距为1.【答案】(1),.(2),时或,时,.(3),【解析】(1)由题意得,解得,.(2)当时,显然不平行于;当时,由,得或.即,时或,时,.(3)当且仅当,即时,.又,.即,时,且在轴上的截距为1.【易错点】忽略对的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型,首先要注意特殊情况如斜率不存在时或时,并且对于直线平行和垂直时与和间的关系要熟练记忆。例2如图,设一直线过点(1,1),它被两平行直线l1:x2y10,l2:x2y30所截

2、的线段的中点在直线l3:xy10上,求其方程【答案】.【解析】与、平行且距离相等的直线方程为.设所求直线方程为,即.又直线过,.解.所求直线方程为.【易错点】求错与、平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到、平行且距离相等的直线方程,再利用这条直线求出和第三条支线的交点,从而求解本题.题型二 圆的方程(对称问题、圆的几何性质运用)例1已知实数、满足方程.(1)求的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值【答案】(1)的最大值为,最小值为.(2)的最大值为,最小值为.【解析】(1)原方程化为,表示以点为圆心,以为半径的圆设,即,当直线与圆相切时,斜率取最大值和最小值,此时,解得.故

3、的最大值为,最小值为. (2)设,即,当与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值,此时,即.故的最大值为,最小值为.【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义,在利用题中的条件解决问题。例2已知点,为圆上一动点,当点在圆上运动时,的中点的轨迹方程是.【答案】.【解析】设点为所求轨迹上任意一点,.因为M为PQ的中点,所以即又因为点在圆上,所以,故所求的轨迹方程为.【易错点】中点的错误应用【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系例1在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆

4、C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围是.【答案】PQ.【解析】设PCA=,所以PQ=2sin .又cos =,AC3,+),所以cos ,所以cos2,sin2=1-cos2,所以sin ,所以PQ.【易错点】直接去求线段的长度【思维点拨】转化思想,把要求的线段长度转化为角度的关系,从而解决问题.例2已知圆(1)若圆的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆外一点向该圆引一条切线,切点为为坐标原点,且有求使得取得最小值时点的坐标 【答案】(1),或.(2)【解析】(1)将圆配方得.当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 ,由,解得,得.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,

5、设直线方程为,由,得,. 直线方程为,或. (2)由,得,即点在直线上 当取最小值时,即取得最小值,直线,直线的方程为.得点的坐标为.【易错点】没有分类讨论【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法,利用分类讨论思想来解决问题题型四 定点定值轨迹问题例1已知tR,圆C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上,求圆C的方程.(2)圆C是否过定点?如果过定点,求出定点的坐标;如果不过定点,请说明理由.【答案】(1)圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)过定点,定点坐标为【解析】(1)由原方程配方得(x-t)

6、2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4,其圆心为C(t,t2).依题意知t-t2+2=0,所以t=-1或2.即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0,令所以圆C过定点(2,0).【易错点】漏解【思维点拨】判定圆是否过定点,或是求圆所过定点坐标的问题,可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程,结合恒等式的关系,再构造关于x,y的方程组求该点的坐标.若方程组有解,则说明圆过定点,否则圆不过定点.例2如图,已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过点A(-1,0)与圆C相交于P,

7、Q两点,M是PQ的中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于点N.(1)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C.(2)当PQ=2时,求直线l的方程.(3)探索是否与直线l的倾斜角有关?若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)x=-1或4x-3y+4=0.(3)与直线l的倾斜角无关,且=-5.【解析】(1)因为l与m垂直,且km=-,所以kl=3.又kAC=3,所以当l与m垂直时,l的方程为y=3(x+1),l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1,符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.因为PQ=2 ,所以CM=

8、1,则由CM=1,得k=,所以直线l:4x-3y+4=0,从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(3) 因为CMMN,所以=(+)=+=.当l与x轴垂直时,易得N,则=.又=(1,3),所以=-5;当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则由得N,则=,所以=+=-5.综上,与直线l的倾斜角无关,且=-5.【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论【思维点拨】一般地,涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时,若需要求直线的方程,则务必要全面考虑问题,即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.【巩固训练】题型一直线方程、两直线的位置关系1.已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a

9、1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)l1l2时,求a的值【答案】(1)当a1时,l1l2,否则l1与l2不平行(2)a【解析】(1)由A1B2A2B10,得a(a1)120,由A1C2A2C10,得a(a21)160,l1l2,故当a1时,l1l2,否则l1与l2不平行(2)由A1A2B1B20得a2(a1)0a.2.已知A(4,3),B(2,1)和直线l:4x3y20,在坐标平面内求一点P,使PAPB,且点P到直线l的距离为2.【答案】P的坐标为或【解析】设点P的坐标为(a,b),A(4,3),B(2,1),线段AB的中点M的坐标为(3,2),线段AB的垂直平分线方程为y2

10、x3,即xy50.点P(a,b)在上述直线上,ab50.又P(a,b)到直线l:4x3y20的距离为2,2,即4a3b210,联立可得或.所求点P的坐标为或.3.如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是_【答案】CD2【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(2,0),则光线所经过的路程PMN的长为CD2.题型二 圆的方程(对称问题、圆的几何性质运用)1.根据下列条件,求圆的方程:(1)经过P(2,4)、Q(3,1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6

11、;(2)圆心在直线y4x上,且与直线l:xy10相切于点P(3,2)【答案】(1)x2y22x4y80,或x2y26x8y0(2)(x1)2(y4)28【解析】(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0,将P、Q点的坐标分别代入得又令y0,得x2DxF0.设x1,x2是方程的两根,由|x1x2|6有D24F36,由、解得D2,E4,F8,或D6,E8,F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80,或x2y26x8y0.(2)如图,设圆心(x0,4x0),依题意得1,x01,即圆心坐标为(1,4),半径r2,故圆的方程为(x1)2(y4)28.2.在平面直角坐标系xOy中,二次函数f(x)=x2+2x

12、+b(xR)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程;(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.【答案】(1)x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圆C必过定点(0,1),(-2,1)【解析】(1)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b;令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一个根为b,代入得E=-b-1,所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圆C必过定点(0,1),(-2,1).证明如下:原方程转化为(x2+y2+2x-y)

13、+b(1-y)=0,即解得或.3.点P(4,2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_【答案】(x2)2(y1)21【解析】设圆上任一点坐标为(x0,y0),xy4,连线中点坐标为(x,y),则,代入xy4中得(x2)2(y1)21.题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.若过点P(1,1)的直线将圆形区域(x,y)|x2+y24分为两部分,且使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为.【答案】x+y-2=0【解析】当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1,所以所求直线的斜率为-1,故所求直线方程为x+y-2=0.2. 直线与圆相交于两点,若,则的取

14、值范围是_ 【答案】【解析】设圆心为,弦的中点为,当时,.当时,圆心到直线的距离.,3.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是.【答案】【解析】依题意得OO1=5,且OO1A是直角三角形,=OO1=OAAO1,因此AB=4.题型四 定点定值轨迹问题1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长.(1)求证:动圆圆心C在一条定直线上运动.(2)动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理

15、由.【答案】(1)动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动(2)动圆C过定点,定点的坐标为和.【解析】(1)设圆心C(x,y),由题意,得CC1=CC2,即=,化简得x+y-3=0,即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.(2)圆C过定点.设C(m,3-m),则动圆C的半径为=.于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理,得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,联立方程组解得或所以动圆C过定点,定点的坐标为和.2. 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切,求直线l1的方程.(2)若l1与圆相

16、交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AMAN是否为定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)x=1或3x-4y-3=0.(2)AMAN是定值且为6.【解析】(1)若直线l1的斜率不存在,即直线为x=1,符合题意.若直线l1斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.由题意知,圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2,即=2,解得k=,所以所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.(2)方法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.又因为直线CM与l1垂直,由得M,所以

17、AMAN=6为定值.故AMAN是定值且为6.方法二:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=,得M.以下同方法一.方法三:(几何法)(变式)连接CA并延长交l2于点B,由题知kAC=2,=-,所以CBl2.如图,AMCABN,所以=,可得AMAN=ACAB=2=6,是定值.3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M

18、,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【答案】(1)y=3或3x+4y-12=0.(2)【解析】(1)由得圆心C为(3,2),因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.由题知切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,所以=1,所以|3k+1|=,所以2k(4k+3)=0,所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,所以设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为MA=2MO,所以设点M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D.所以点M应该既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以|2-1|2+1|,由5a2-12a+80得aR;由5a2-12a0,得0a.终上所述,实数a的取值范围为