1、 2020年高考理科数学导数的综合应用题型归纳与训练【题型归纳】题型一 含参数的分类讨论例1 已知函数，导函数为，（1）求函数的单调区间；（2）若在1，3上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I），（下面要解不等式，到了分类讨论的时机，分类标准是零） 当单调递减； 当的变化如下表：+00+极大值极小值 此时，单调递增， 在单调递减； （II）由 由（I）知，单调递增。【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，
2、要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数， 若函数在上是单调增函数，求的取值范围【答案】【解析】,依题意在上恒有成立，方法1：函数，对称轴为，故在上单调递增，故只需即可，得，所以的取值范围是；方法2： 由，得，只需，易得，因此，所以的取值范围是；【易错点】本题容易忽视中的等号【思维点拨】已知函数在区间可导：1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；说明：1.已知函数在区间可导,则
3、在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则或者，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.题型三 方程与零点1已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】很明显 ，由题意可得： ，则由 可得 ，由题意得不等式： ，即： ，综上可得的取值范围是 .本题选择D选项. 【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。【思维点拨】函数零点
4、的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点题型四、导数证明不等式例1 当时，证明不等式成立。【答案】略【解析】设则 在内单调递减，而 故当时，成立。【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为
5、函数的极值、最值问题。【巩固训练】题型一 含参的分类讨论1. 已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。【答案】略【解析】（I） 当且仅当时取“=”号，单调递增。 当变化时，、的变化如下表：1+00+极大值极小值 （II）当恒成立。 由（I）可知 若上单调递减，上不单增，不符合题意；综上，a的取值范围是0，1 2. 已知函数，求函数的极值. 【答案】略【解析】由可知: 当时,函数为上的增函数,函数无极值; 当时,由,解得; 时,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. 3. 已知,求的单调区间
6、。【答案】略【解析】函数的导数 （）当时，若，则；若,则；则在（，0）内为减函数，在（0，）内为增函数。（）当a0时，由0则在（，）内为增函数，在（0，）内为增函数。由0，在（，0）内为减函数。（）当a0时，由00x-，在（0，）内为增函数。由0x-，在（,0）（-，+）内为减函数。4. 若函数没有极值点，求的取值范围。【答案】略【解析】由已知可得 ，若函数不存在极值点，则在方程即中，有，解之得规律小结：极值点的个数，一般是使方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。题型二 已知单调性求参数范围已知在R上是减函数，求的取值范围。【答
7、案】略【解析】：对求导得，由题意可知对任意实数恒有, 讨论：（1） 当，显然不符合题意；（2） 当时也不符合题意；（3） 当时，依题意必有，即，综上可知的取值范围是3.已知，函数在是一个单调函数。(1) 试问函数在上是否为单调减函数？请说明理由；(2) 若函数在上是单调增函数，试求的取值范围。【答案】略【解析】解：（1），若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即对恒成立，这样的值不存在。所以函数在区间上不是单调减函数。 （2）函数在区间上是单调增函数，则，即在上恒成立，在此区间上，从而得规律小结：函数在区间上递增，递减在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参
8、数的值要是使恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。题型三 方程与零点1.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】当时，函数有两个零点，不符合；当时，令，得，可知在必有一个零点，也不符合；当时，得，故选C2.设为实数，函数 ，当为何值时，方程恰好有两个实数根.【答案】略【解析】求导得，当或时，；当，；在和单调递减，在在单调递增，的极小值为，的极大值为； 要使方程恰好有两个实数根，只需的图象与轴恰有两个公共点，画出的草图，且或且；或故当或时，方程恰有两个实数根.3.若函数，当时，函数有极值，（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围
9、【答案】略【解析】求导得， （1）由题意，得 所求解析式为（2）由（1）可得： 令，得或 当变化时，、的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值 当时，有极小值 函数的图象大致如图： 由图可知： 题型四、导数证明不等式1、当时，证明不等式成立。【答案】略【解析】设则令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。2、已知函数其中,为常数.当时，证明：对任意的正整数,当时，有。【答案】略【解析】证法一：， 当为偶数时，令则.当时，单调递增，又 ，恒成立，成立。当为奇数时， 要证,由于，只需证, 令 , 则 当时，单调递增，又， 当时，恒有, 即，命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令,则当时，故在上单调递增，因此，当时，即成立.故当时，有.即.3、 设函数，证明：当时，；【答案】略【解析】证明：所以在上单增，而故当时，4、已知函数，设，证明：【答案】略【解析】证明：，设 当时 ，当时 ，即在上为减函数，在上为增函数，又 ，即 设 ，当时，因此在区间上为减函数；因为，又 ，即 故综上可知，当 时，9