1、2020年高考理科数学不等式题型归纳与训练【题型归纳】题型一 截距型线性规划问题例1.若，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】 6. 【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.例2若变量x，y满足则2xy的取值范围为_【答案】2,2【解析】作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2xy0，经过点A(1,0)时，2xy取得最大值2102，经过点B(1,0)时，2xy取得最小值2(1)02，所以2xy的取值范围为2,2例3.一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15
2、千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_.【答案】 600【解析】设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则得即目标函数z200x100y.作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z200x100y经过可行域上点B时，z取得最大值，解方程组得点B的坐标(2，2)，故20021002600.题型二 斜率型线性规划问题例1若实数x，y满足约束条件则的最小值为_【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与
3、定点P(0,1)连线的斜率由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以min.例2已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】 C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得，由得，所以可看作点和连线的斜率，记为，由图形可得，又，所以，因此或，所以的取值范围为故选C例3.已知实数x，y满足，则z的取值范围为_.【答案】0，1.【解析】 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z表示区域内的点(x，y)与A(0，1)连线的斜率k，由图可知，0，P为切点，设，x01，1，即z的取值范围为0，1. 题型三 距离型线性规划问题例1已知实数x，y满足约束条件则zx2y2的取值
4、范围为()A1,13 B1,4C. D. 【答案】 C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得zx2y2的最小值为点O到直线BC：2xy20的距离的平方，最大值为点O与点A(2,3)的距离的平方，|OA|213.例2若实数x，y满足：|x|y1，则x2y22x的最小值为()A. BC. D.1【答案】B【解析】作出不等式|x|y1表示的可行域如图中阴影部分所示x2y22x(x1)2y21，(x1)2y2表示可行域内的点(x，y)到点(1,0)距离的平方，由图可知，(x1)2y2的最小值为点(1,0)到直线yx的距离的平方，即为，所以x2y22x的最小值为1.题型四 线性规划中的
5、含参问题例1当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1axy4恒成立，结合图可知，a0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a1，且2a14，故a的取值范围为.例2.(2018郑州质检)已知x，y满足约束条件，若目标函数z3xy的最大值为10，则z的最小值为_【答案】 5【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3xy0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得231m0，m5.由图知，平移l经过B点时，z最小，当x2，y2251时，z最小，3215.例3若不
6、等式组解为坐标的点所表示的平面区域为三角形，且其面积为，则实数的值为（ ）A. B. 1 C. 或1 D. 3或【答案】B【解析】做出不等式组对应的平面区域如图所示，若不等式组表示的平面区域为三角形，由可得： ，即.满足题意时，点位于直线下方，即： ，解得： ，据此可排除ACD选项.本题选择B选项. 题型五 利用基本不等式求最值例1若实数x满足x4，则函数f(x)x的最小值为_【答案】2【解析】x4，x40，f(x)xx442 42，当且仅当x4，即x1时取等号故f(x)x的最小值为2.例2正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A3，) B(，
7、3C(，6 D6，)【答案】D【解析】因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，当且仅当，即a4，b12时，等号成立由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，令f(x)x24x2，则f(x)x24x2(x2)26，所以f(x)的最小值为6，所以6m，即m6.【巩固训练】题型一 截距型线性规划问题1.若实数满足约束条件,则的最小值为 .【答案】-28【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示,由图知,当目标函数z=x+6y经过点A(-10,-3)时取得最小值,即z=-10+6(-3)=-28.2. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为( )A. 6 B.
8、 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.3.某企业拟生产甲、乙两种产品,已知每件甲产品的利润为3万元,每件乙产品的利润为2万元,且甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台设备A,每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1 h和2 h,加工1件乙产品所需工时分别为2 h和1 h,A设备每天使用时间不超过4 h,B设备每天使用时间不超过5 h,则通过合理安排生产计划,该企业在一天内的最大利润是()A.18万元
9、B.12万元C.10万元D.8万元【答案】D【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x件,y件,企业获得的利润为z万元,则x,y满足约束条件x+2y4,2x+y5,x,yN,且z=3x+2y.作出不等式组x+2y4,2x+y5,x0,y0表示的可行域,如图所示.由xN,yN可知最优解为(2,1),即生产甲产品2件,乙产品1件,可使企业获得最大利润,最大利润为8万元.题型二 斜率型线性规划问题1.若实数x，y满足约束条件则当取最大值时，xy的值为()A1 B1C D.【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(3，1)与可行域内的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线
10、过点A(0，)时，斜率取得最大值，此时x，y的值分别为0，所以xy.2.设变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】所求可视为点与定点连线的斜率从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得在处的斜率最小，即，在处的斜率最大，为，结合图像可得的范围为故选D3若x，y满足约束条件则z的最小值为()A2 B C D.【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z表示区域内的点与点P(3,2)连线的斜率由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即，则有2，解得k或k0(舍去)，所以，故选C.题型三 距离型线性规划问
11、题1.若变量x，y满足约束条件则(x2)2y2的最小值为()A. B. C. D.5【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z(x2)2y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小.由得即C(0，1)，此时zmin(x2)2y2415，故选D.2已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心，且圆C与轴相切，则 a2b2的最大值为 ()A5 B29 C37 D49【答案】C【解析】平面区域为如图所示的阴影部分，因为圆心C(a，b)，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y1(2x6
12、)，由图形得，当点C在点N(6,1)处时，a2b2取得最大值621237，故选C.3.若x,y满足约束条件x-y+20,y+20,x+y+20,则(x+2)2+(y+3)2的最小值为()A. 1B. C. 5 D. 9【答案】B【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,由题意可知点P(-2,-3)到直线x+y+2=0的距离为|-2-3+2|2=32,所以(x+2)2+(y+3)2的最小值为322=92.题型四 线性规划中的含参问题1当实数x，y满足时，axy4恒成立，则实数a的取值范围是_om【答案】【解析】由约束条件作可行域如图，联立，解得，联立，解得，在中取得由得，要使恒成立，则平面
13、区域在直线的下方，若，则不等式等价于，此时满足条件，若，即，平面区域满足条件，若，即时，要使平面区域在直线的下方，则只要在直线上或直线下方即可，即，得，综上，所以实数的取值范围是.2已知实数， 满足条件若存在实数使得函数取到最大值的解有无数个，则_， =_【答案】 1【解析】由约束条件画出可行域如下图， ，目标函数可化为 ，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数与边界重合，当，截距为最小值，不符，当时，符合。，填(1). (2). 1。3已知直线yk(x1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为()A0，) B.C.D.【答案】C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴影
14、(不含x轴)部分所示，直线yk(x1)过定点M(1，0)，由解得过点M(1，0)与A(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知00，n0)过点(1，2)，则的最小值为()A2B6C12 D32【答案】D【解析】因为直线2mxny20(m0，n0)过点(1，2)，所以2m2n20，即mn1，所以(mn)332，当且仅当“，即nm”时取等号，所以的最小值为32，故选D.2已知正实数a，b满足ab4，则的最小值为_【答案】【解析】ab4，a1b38，(a1)(b3)(22)，当且仅当a1b3，即a3，b1时取等号，的最小值为.3设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S2 0174 034，则的最小值为_【答案】4【解析】由等差数列的前n项和公式，得S2 0174 034，则a1a2 0174.由等差数列的性质得a9a2 0094，所以 9 2104，当且仅当a2 0093a9时等号成立，故所求最小值为4.