1、 2020年高考理科数学不等式选讲题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式 例1、设函数f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)3；(2)若f(x)a对xR恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(，0)(3，)；（2）(，1).【解析】(1)因为f(x)|x1|x2|所以当x1时，32x3，解得x0；当1x2时，f(x)3无解；当x2时，2x33，解得x3.所以不等式f(x)3的解集为(，0)(3，).(2)因为f(x)所以f(x)min1.因为f(x)a恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对
2、值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】(1).【解析】(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2a23，解得a.即实数a的取值范围是.【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立acd，则；(2)是|ab|cd得()2()2.因此.(2)若
3、|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆【巩固训练】题型一 解绝对值不等式 1.不等式|x1|x2|5的解集为_【答案】x|x3或x2.【解析】原不等式等价于或或解得x
4、2或x3.故原不等式的解集为x|x3或x22.已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围【答案】（1）x|x1或x4；（2）3,0【解析】(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xk的解集为R，则实数k的取值范围是_【答案】(，3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PAPBk恒成立AB3，即|x1|x2|3.故当kk恒成立，从图象中可以看出，只要k3即可故k3满足题意题型三 不等式的证明与应用1. 已知a、b
5、、cR，且abc1；求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、cR，且abc1，所以要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因为(ab)(bc)20，(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件 【答案】略.【解析】证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设ab
6、cd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2， 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件3.设a、b、c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.【答案】略.【解析】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5