1、第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1向量的概念既有大小又有_的量叫做向量只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等数量可进行代数运算，向量不能比较大小大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征温馨提示：（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度记作_（2）零向量：长度为0的向量记作_的方向是_（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做_2向量的表示法（1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的_，箭头所指的方向表示向量的_（2）字母表示：用加粗的单个小写字母
2、表示要注意手写体与印刷体的不同3相等向量和共线向量（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做_若向量、相等，则记作（2）共线向量：方向_的_向量叫做平行向量，也叫_向量、平行，记作规定：零向量与_平行，即对任一向量，都有4平面向量和空间向量向量是既有大小又有方向的量，向量的引入实现了几何问题代数化使得许多复杂问题得以迎刃而解，其实高中阶段，我们学习的向量主要有平面向量与空间向量，它们之间有着许多类似之处，现在我们已经学习了平面向量的有关知识，我们可以类比空间向量的有关知识类比点平面向量空间向量定义在平面中，既有大小又有方向的量在空间中，具有大小和方向的量几何表示法用有向线段表示用有向线段表示
3、字母表示法用小写字母表示或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母来表示相等向量长度相等并且方向相同的平面向量长度相等并且方向相同的空间向量共线向量方向相同或相反的非零平面向量方向相同或相反的非零空间向量空间向量往往是解立体几何的好工具，利用向量的加、减、乘可以表示很多几何意义，尤其是建立了空间坐标系之后，可以用向量求角度或证垂直等，而平面向量有时能单独出题，这相比较于空间向量，则很少单独考査学-科网K知识参考答案：1方向（1）（2），任意的（3）单位向量2（1）大小方向3（1）相等向量（2）相同或相反非零共线向量任一向量K重点1掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念
4、2会区分平行向量、相等向量和共线向量K难点了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示K易错会区分平行向量、相等向量和共线向量1向量的有关概念（1）向量的模用有向线段表示向量时，向量的大小就是对应有向线段的长度，也叫做向量的模，记作的取值范围为0，+）向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小，故故不能用“”“|b|且a与b同向，则ab两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同对任意非零向量a，b必有|a+b|a|+|b|学-科网其中正确的命题序号是ABCD11下列命题正确的是Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B单位向量都相等C向量a与b不共线，则a与b都
5、是非零向量D共线向量一定在同一直线上12下面命题说法正确的个数是（1）向量、共线，向量、共线，则与也共线；（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；（3）向量与不共线，则与都是非零向量；（4）有相同起点的两个非零向量不平行A1B2C3D413若，且，则四边形的形状为_14已知、是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则_15已知在边长为2的菱形中，则_16如图所示，已知，点是的对角线交点，且，（1）写出图中与相等的向量；（2）写出图中与相等的向量；（3）写出图中与相等的向量17如图，已知在四边形中，、分别是，的中点，又求证：123459101112DBCCD
6、CCCA1【答案】D【解析】A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B，A、B、C、D四点可能共线，故B不对；C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D，因和方向相反，是平行向量，故D对故选D4【答案】C【解析】A，当时，由于0向量和任何向量都是共线向量，则a与c不一定是共线向量，故A不对；B，由相等向量知，起点相同则终点一定相同，故B不对；C，由相反向量的定义知，C对；D，因，则直线AB与直线CD平行或重合，故D不对故选C5【答案】D【解析】对于，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故错，对于，|a|=|b|0，a，b都是非零向量
7、，ab，a与b的方向相同或相反，a+b=0或ab=0；对于，向量与向量方向相反，但长度相等；对于，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同故选D6【答案】【解析】平行向量即为共线向量其定义是方向相同或相反；相等向量的定义是模相等、方向相同；平行于零向量的两个向量不一定是共线向量，故不正确的命题有：7【答案】不能表示向量【解析】辨别某个量是不是向量，就是要看这个量是否具有“大小”和“方向”两个要素具有这两个要素的量是向量，否则，这个量不是向量8【答案】，【解析】正方体的棱长为1，11【答案】C【解析】在A中，当b=0时，a与c不一定共线，故A错误；在B中，单位向量的模
8、相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故B错误；在C中，由零向量与任意向量都共线，得到向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故C正确；在D中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故D错误故选C12【答案】A【解析】对于（1），由于零向量与任意向量共线，因此（1）不正确；对于（2），若能注意到向量都是自由向量，则两个相等向量可以在同一直线上，故（2）不正确；对于（4），向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故（4）不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，否则，不妨设为零向量，则，与、不共线矛盾，从而（3）正确13【答案】梯形【解析】由题意知四边形的一组对边，故四边形为梯形14【答案】【解析】、不共线，与不共线，又与、都共线，15【答案】【解析】易知，且，设与交于点，则在中，易得，17【答案】证明详见解析【解析】，且四边形. 为平行四边形从而，又、分别是、的中点，于是，又，四边形是平行四边形