1、第二章 平面向量2.2.1、2.2.2 向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义1向量的加法（1）向量的加法求两个向量和的运算，叫做_（2）向量加法的三角形法则如图，已知向量，在平面上任取一点，作，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的_学-科网温馨提示：当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形（3）向量加法的平行四边形法则如图，已知两个不共线的向量和，作，则、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的_温馨提示：若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的_指向末
2、向量的_的向量就是它们的和，即，如图（4）和向量的模与原向量之间的关系一般地，我们有当与共线且同向时，；当与共线且异向时，；当与不共线时，（5）向量加法的运算律交换律：；结合律：注意：当、至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；当、共线时，交换律和结合律也成立（6）向量求和的多边形法则由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量，在平面上任选一点，作，则已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则（7）向量加法的实
3、际应用向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用2向量的减法（1）相反向量我们把与向量长度_、方向_的向量，叫做的相反向量，记作规定零向量的相反向量仍为_，且；若，互为相反向量，则，（2）向量减法的定义向量加上向量的_，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法3向量减法的几何意义（1）非零共线向量，的差；若，反向，则与同向，且若，同向，（）若，则与同向，且；（）若，则与反向，且；（）若，则其几何意义分别如图（1）
4、（2）（3）（4）（2）非零不共线向量，的差：如图，在平面内任取一点，作，则向量为所求，即即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量如图，在平面内任取一点，作，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义4向量减法的三角形法则和平行四边形法则从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则减法的三角形法则的作法：在平面内取一点，作，则，即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）具体作法如图（1）（，不共线）和图（2）、（3）（，共线）所示减法的平行四边形法则的
5、作法：当，不共线时如图（1），在平面内任取一点，作，则由向量加法的平行四边形法则可得，这是向量减法的平行四边形法则若，同向共线，如图（2）所示；若，异向共线如图（3）所示5向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“”改为“”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可如“”改为“”解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化
6、简结果K知识参考答案：1（1）向量的加法（2）三角形法则（3）平行四边形法则起点终点2（1）相等相反零向量（2）相反向量K重点1理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和2掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算3掌握向量减法的概念4掌握相反向量K难点2理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的2掌握向量加、减法的几何意义K易错向量减法运算是加法的逆运算在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握向量的减法运算1向量加法运算及其几何意义（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”（
7、2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义【例1】如图，在矩形ABCD中，=ABCD【答案】B【解析】在矩形ABCD中，则+，故选B【名师点睛】（1）向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量这个法则叫做向量加法的多边形法则多边形法则实质就是三角形法则的连续应用（2）|a+b|a|+|b|2向量加法的运算律（1）向量的加法与
8、实数加法类似，都满足交换律和结合律（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行例如，（a+b）+（c+d）=（b+d）+（a+c），a+b+c+d+e=d+（a+c）+（b+e）【例2】向量化简后等于ABCD3向量的減法运算及其几何意义（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义可以把减法化为加法在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可（2）以向量AB=a，A6=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC=a+b，BD=ba，DB=ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理
9、解【例3】在ABC中，则等于ABCD【答案】B【解析】=，故选B【例4】已知，则的取值范围是_【答案】3，13【解析】，=|，即313故答案为：3，13【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或的差模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键|ab|、|a|b|、|a|+|b|三者的大小关系（1）当向量a与b共线时，当两非零向量a与b同向时，|ab|=|a|b|a|b|；当a与b中至少有一个为零向量时，|ab|=|a|b|=|a|+|b|（2）当两非零向量a与b不共线时，如在ABC中，AC=a，AB=b，则BC=ACAB=ab，根据三角形中任意两边之差总小于
10、第三边，任意两边之和总大于第三边，可得|a|b|ab|a|Bs|a|Cs=|a|Ds与|a|不能比大小22如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则+=A0BCD23如图所示，在ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是ABCD24如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是A+B+C+D+25设P是ABC所在平面内的一点，则AP、A、C三点共线BP、A、B三点共线CP、B、C三点共线D以上均不正确26已知点P在正ABC所确定的平面上，且满足，则ABP的面积与BCP的面积之比为A1：1B1：2C1：3D1：427河水的流速为2 m/s，一艘
11、小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为_ m/s28有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成_角的方向行驶29已知在菱形ABCD中，DAB=60，|=2，则|+|=_30给出下面四个结论：若线段AC=AB+BC，则向量+；若向量+，则线段AC=AB+BC；若向量与共线，则线段AC=AB+BC；若向量与反向共线，则|=AB+BC其中正确的结论有_学-科网31如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点求证：32某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际
12、沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？33如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15，BC=10公里现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由34（2014福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于AB2C3D4123456789
13、17ABBDBDDDBD18192021222324252634CCDAADBABD1【答案】A【解析】在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，+，故选A3【答案】B【解析】+，故选B4【答案】D【解析】，故选D5【答案】B【解析】+，故选B6【答案】D【解析】画出图形，如图所示+=（+）+=+=+=故选D7【答案】D【解析】A，不正确；B，因此不正确；C，+，不正确；D，正确故选D学-科网8【答案】D【解析】=（+）（+）=0，故选D9【答案】B【解析】画出图形，如图所示，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，对于A，+=+=+=；对于B，+（）=+=0；对于C，+=+=+
14、=2；对于D，+=+=+=故选B10【答案】0【解析】+，（+）+（）=+0，故答案为：011【答案】【解析】+故答案为：12【答案】【解析】（）+=故答案为：15【答案】【解析】在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，+，故答案为：16【答案】|a|=|b|【解析】作，以OA和OB为邻边作平行四边形OABC，由图和向量加法的四边形法则得：+b，当|a|=|b|时，满足条件故答案为：|a|=|b|17【答案】D【解析】由向量的运算可得（+）+，与向量的共线；（+）+，与向量的共线；（+）+，与向量的共线；（+）+，与向量的共线故选D18【答案】C【解析】由平行四边形的性质，可得，选项A正确；
15、由向量加法的平行四边形法则，可得，选项B正确；，选项D正确；，选项C错误故选C19【答案】C【解析】设AB的中点为F，点M是ABC的重心，故选C20【答案】D【解析】由向量模的不等关系可得：|a|b|a+b|a|+|b|；|a+b|a|+|b|故A恒成立；|a|b|a+b|故B恒成立；|a|b|a+b|a|+|b|，故C恒成立令a=（2，0），b=（2，0），则|a|=2，|a+b|=0，则D不成立故选D学-科网21【答案】A【解析】由三角形ABC中，两边之和大于第三边，s=，得故选A22【答案】A【解析】D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，故四边形ADEF为平行四边形，且EF=BE，
16、故+=0，故选A23【答案】D【解析】ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，（+）=+，A错误；+=2，B错误；+，C错误；，D正确故选D24【答案】B【解析】，故选B25【答案】A【解析】如图，取AC中点D，则；D和P重合；P，A，C三点共线故选A26【答案】B【解析】，=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，ABP的面积与BCP的面积之比=，故选B29【答案】2【解析】在菱形ABCD中，DAB=60，|=2，|+|2=|2+|2+2|cosDAB=4+4+222=12，|+|=|+|=2，故答案为：230【答案】【解析】若线段AC=AB+BC，可得三点A，B，C共线，则
17、向量+，正确；若向量+，则可能线段AC=BCAC，因此不正确；若向量与共线，则可能线段AC=BCAB；若向量与反向共线，则|=AB+BC，正确其中正确的结论有故答案为：31【解析】如图，E、F分别是AD、BC的中点，+0，+0，又+0，+，同理+，由+得，2+学-科网32【答案】（1）他必须沿与河岸成60角的方向前进，实际前进速度的大小为8 km/h；（2）他必须沿与水流方向成90+（锐角满足）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）【解析】（1）如图，由于V实=V水+V人，|V实|=（km/h），又tan=，=60，他必须沿与河岸成60角的方向前进，实际前进速度的大小为8 km/h（2）如
18、图，解直角三角形可得|v实|=（km/h），又tan=，他必须沿与水流方向成90+（锐角满足）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）33【答案】应选择方案一，理由详见解析【解析】如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知CAD=15，BAD=45，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15=tan（4530）=，故AD=（2）x，BC=10公里，BAD=45，BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）（）=5+，AC=1014.14，AB=（5+）=19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：0.4023（时）；方案二：0.4293（时）；显然选择方案一34【答案】D【解析】法一：考虑用特殊值法去做O为任意一点，不妨把A点看成O点，则，M是平行四边形ABCD的对角线的交点，=2=4，故选D法二：由平行四边形的性质可得：点M是对角线的中点，=2，=2，=4，故选D学-科网法三：由已知得：点M是对角线的中点，=，=，=，=，=4=4，故选D