1、第二章 平面向量2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1向量的数乘一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做_，记作_它的长度和方向规定如下：（1）；（2）时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，温馨提示：（1）对于：从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量的条件是或从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍（2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义2向量数乘的运算律实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：结合律：_；第一分配律：_
2、；第二分配律：_3向量共线定理（1）内容：向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使_（2）向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意特别地，若，实数仍存在，但不唯一定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可学科-网K知识参考答案：1向量的数乘2；3K重点1掌握向量数乘的定义2了解向量数乘的运算律3理解向量数乘的几何意义K难点掌握向量共线定理K易错能熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义判断两向量共线，
3、能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用1“姐妹式”巧解向量问题我们经常会遇到这样一些基本图形：两条相交直线及两条直线外的点（作为多条向量的起点）（如下例1中的图）解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段（直线）被从同一起点出发的向量所截得两线段的比两次应用上述结论得到一对“姐妹式”，“殊途同归”后利用共线向量定理得到一个方程组，最后或解方程组或设而不求整体消元，则问题可迎刃而解【例1】如图，在AOB的边，上分别有，已知，连接，设它们交点为，若，试用，表示【答案】【名师点睛】“姐妹式”在处理两直线相交且与这两条直线外点有关的向量分解、计算、证明等问题时有着广泛的应
4、用2用向量证明三线共点与三点共线问题实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广，学习实数与向量的积及运算律时，应联想数与数的积的定义及运算律，加深理解，并注意到实数与向量的积仍是一个向量，化简向量代数式时可类比多项式的合并同类项【例2】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线【答案】证明详见解析【解析】设，=3，又，有公共点M，M，N，C三点共线学-科网【名师点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共线的判定方法用解释；用解释或与共线证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看
5、能否找到唯一的实数使两向量相等把向量共线问题转化为寻求实数使向量相等的问题1已知在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，则向量=A+BC+D2已知AD、BE分别是ABC的边BC，AC上的中线，且，则=A+B+C+D+3在ABC中，若点D满足，则=ABCD4已知向量a，b，那么等于ABa4bCaDb5已知M为ABC的边AB的中点，ABC所在平面内有一个点P，满足，若，则的值为A2B1CD46在梯形ABCD中，=3，则等于A+B+C+D7设D为ABC所在平面内一点，=4，则A=+B=+C+D8如图，D是ABC的边AB的中点，则向量等于ABCD9如图，已知ABC，=3，则
6、=A+B+C+D+10已知点P在线段AB上，且，设，则实数=_11已知，若=，则等于_12如图，已知D为ABC的边AB的中点，M在DC上满足5+3，则ABM与ABC的面积比为ABCD13ABC中，若，则m+n=ABCD114在ABC中，O为其内部一点，且满足0，则AOB和AOC的面积比是A34B32C11D1315在梯形ABCD中，则等于ABCD16点O为ABC内一点，且满足，设OBC与ABC的面积分别为S1、S2，则=ABCD17在ABC中，AB=4，AD=AC=3，则BC=_18已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点学!科网（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段
7、DE上，且满足，BOC的面积为2，求ABC的面积19如图，M、N、P分别是三角形ABC三边BC、CA、AB上的点，且满足，设，（1）用a，b表示；（2）若点G是三角形MNP的重心，用a，b表示20（2018新课标）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=ABC+D+123456789121314151620CCDCAABACCBDDBA1【答案】C【解析】如图所示，点E为CD的中点，CDAB，=2，=+，故选C4【答案】C【解析】=故选C5【答案】A【解析】由题意满足，可得四边形PACB是平行四边形，又M为ABC的边AB的中点，PC=2PM，=2故选A6【答案】A【解析】在梯形A
8、BCD中，=3，+，故选A7【答案】B【解析】+=+故选B8【答案】A【解析】D是ABC的边AB的中点，（+），（）=+故选A学-科网9【答案】C【解析】故选C10【答案】【解析】如图所示，点P在线段AB上，且，；又，=故答案为：11【答案】【解析】作线段P1P，延长P1P至P2，如图，假设PP2=3，P1P=2=故答案为：12【答案】C【解析】因为D是AB中点，所以，设h1，h2分别是三角形ABM，三角形的ABC的AB边上的高，且在三角形ADM中，可得+，又在三角形ABC中，+，且由已知条件5+3，把代入得：+5=+3（+），整理可得：10=3+6=3+3，因为D是三角形ABC边AB的中点，
9、所以（+），即+=2，把代入可得10=6，则得，所以=|=故选C13【答案】B【解析】，故选B14【答案】D【解析】根据题意，如图：在ABC中，M为AC的中点，则+=2，又由，则有2=3，从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；由2OM=3BO可得，SAOB+SBOC=SABC，又由SAOB=SBOC，则SAOB=SABC，则故选D15【答案】D【解析】，AB=3CD，过D作DEBC交AB于E，则AE=AB，=故选D17【答案】【解析】由，得D是BC的三等分点，设BD=x，则DC=2x，在ADC中，由余弦定理可得cosC=，在ABC中，由余弦定理可得cosC=，解得x=，BC=3x=，故答案为：18【答案】（1）证明详见解析；（2）12【解析】（1）D为BC边中点，由得，（2）如图，根据条件，得：=0，DE=3DO，又AB=2DE，AB=6DO，SABC=6SBOC=12，即ABC的面积为1219【答案】答案详见解析20【答案】A【解析】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，=（+）=，故选A学-科网