1、专题13 图形的性质之解答题（2）（50道题）一解答题（共50小题）1（2019怀柔区二模）如图，E为AB中点，CEAB于点E，AD5，CD4，BC3，求证：ACD902（2019西城区二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD求作：点M，使点M为边AD的中点作法：如图，作射线BA；以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；连接EC交AD于点M所以点M就是所求作的点根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AC，ED四边形ABCD是平行四边形，AECDAE ，四边形EACD是平
2、行四边形（ ）（填推理的依据）AMMD（ ）（填推理的依据）点M为所求作的边AD的中点3（2019怀柔区二模）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，交BC于点E，作EFAB，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接CF，CFEF（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF4，tanFBC，求EC的长4（2019门头沟区二模）如图，在ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得AFCDEC，连接CF，DE（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB13，DF14，tanDCB，求CF的长5（2019怀柔区二模）如图，AB是O的直径，弦EFAB于点C，点D是AB
3、延长线上一点，A30，D30（1）求证：FD是O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若MF，求O的半径6（2019西城区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CFAE，连接DE，DF，EFFH平分EFB交BD于点H（1）求证：DEDF；（2）求证：DHDF：（3）过点H作HMEF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明7（2019门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为dmax，P，Q两点间距离的最小值为dmin，我们把dmax+dmin的值叫点
4、P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB） ；设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）7，求点P的坐标（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6d（M，线段AC）6+3，直接写出M点横坐标t取值范围8（2019丰台区二模）如图，在ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD6，E60，求四边形
5、ABEF的面积9（2019丰台区二模）如图，AB是O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C（1）求证：BD平分ABC；（2）如果AB6，sinCBD，求PD的长10（2019丰台区二模）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且AFB45，G为DC边上一点，且DGBE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM（1）依据题意，补全图形；（2）求证：DAGMAB；（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明11（2019平谷区二模）下面是小元设计的“经过已知直线
6、外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图1，直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P，作法：如图2，（1）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作APB的角平分线，交AB于点H；（4）作直线PH，交直线l于点H所以直线PH就是所求作的垂线根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：PH平分APB，APH PA ，PH直线l于H（ ） （填推理的依据）12（2019平谷区二模）如图，AB是O直径，BCAB于点B，点C是射线BC上任意一点，
7、过点C作CD切O于点D，连接AD（1）求证：BCCD；（2）若C60，BC3，求AD的长13（2019平谷区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AEBC交CB延长线于E，CFAE交AD延长线于点F（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若cosBAE，AB5，求OE的长14（2019石景山区二模）如图，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN已知AB6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化
8、而变化的规律进行了探究下面是小欣的探究过程，请补充完整；（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm6.305.40 4.223.133.254.52y2/cm6.306.346.436.695.754.813.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN为等腰三角形时，AM的长度约为 cm15（2019石景山区二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程已知：AOB求作：APC，使得APC2
9、AOB作法：如图，在射线OB上任取一点C；作线段OC的垂直平分线，交OA于点P，交OB于点D；连接PC；所以APC即为所求作的角根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）证明：DP是线段OC的垂直平分线，OP （ ）OPCOAPCO+PCO（ ）APC2AOB16（2019石景山区二模）如图，AB平分CAD，ACB+ADB180，（1）求证：BCBD（2）若BD10，cosADB，求ADAC的值17（2019朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2
10、）|x1x2|+|y1y2|为P1、P2两点的直角距离（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A） ；（2）已知：B是直线yx+3上的一个动点如图1，求d（O，B）的最小值；如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值18（2019怀柔区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G上任意一点M，给出如下定义：图形G关于原点O的中心对称图形为G，点M在G上的对应点为M，若MPM90，则称点P为图形G，G的“直角点”，记作Rt（G，P，G）已知点A（2，0），B（2，0），C（0，2）（1）如图1，在点P1（1，1），P2（0，3），P3（0，2）这三个点中，
11、Rt（OA，P，OA）是 ；（2）如图2，D的圆心为D（1，1），半径为1，在直线yx+b上存在点P，满足Rt（D，P，D），求b的取值范围；（3）T的半径为，圆心（t，t），若T上存在点P，满足Rt（ABC，P，ABC），直接写出T的横坐标的取值范围19（2019西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PMQN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是 ，最大值是 ；在P1（），P2（1，4），P3（3，0）这三个点中，与点O是线段
12、AB的一对平衡点的是 （2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围（3）如图3，已知点H（3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b0）是坐标平面内一个动点，且OC5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围20（2019大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，如果等边三角形的一边与x轴平行或在x轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形（1）已知A（1，0），B（1，0），若ABC是水平正三角形，则点C坐标的是（
13、只填序号）； （1，2），（0，），（0，1），（0，）（2）已知点O（0，0），E（1，），F（0，2），以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是，并求出此时点P的坐标；（3）已知O的半径为，点M是O上一点，点N是直线y上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为M，N，直接写出点N的横坐标xN的取值范围21（2019大兴区一模）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，连接AC，点P是AC上一个动点，连接BP，作PDBP交AB于点D，交半圆于点E已知：AC5cm，设PC的长度为xcm，PD的长度为y1cm，PE的长度为y2cm（当点P与点C重合时，y15，y2
14、0，当点P与点A重合时，y10，y20）小青同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请补全表格；x/cm00.511.522.533.544.55y1/cm52.851.981.521.210.970.760.560.370.190y2/cm00.461.291.611.841.961.951.791.410（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象
15、；（3）结合函数图象，解决问题：当PD，PE的长都大于1cm时，PC长度的取值范围约是 ；点C，D，E能否在以P为圆心的同一个圆上？ （填“能”或“否”）22（2019怀柔区一模）如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且点C是的中点连接AC，过点C作O的切线EF交射线AD于点 E（1）求证：AEEF；（2）连接BC若AE，AB5，求BC的长23（2019大兴区一模）如图，AB为O的直径，CB与O相切于点B，连接AC交O于点D（1）求证：DBCDAB；（2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC6，sinABD，求AF的长24（2019怀柔区一模）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作
16、图过程已知：线段AB求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边作法：如图，过A任意作一条射线l；在射线l上任取两点D，E；分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交射线l于点 C所以ABC就是所求作的直角三角形思考：（1）按上述方法，以线段AB为斜边还可以作 个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是 ，理由是 25（2019大兴区一模）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程已知：线段AB求作：等边三角形ABC作法：如图，以点A为圆心，以AB的长为半径作A；以点B为圆心，以AB的长为半径作B，交于A于C，D两点；连接AC，BC所以AB
17、C就是所求作的三角形根据小方设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：点B，C在A上，ABAC（ ）（填推理的依据）同理点A，C在B上，ABBC ABC是等边三角形 （ ）（填推理的依据）26（2019丰台区一模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l上一点A求作：直线AB，使得ABl作法：以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；分别以点C和点D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；作直线AB所以直线AB就是所求作的垂线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，
18、补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AC ，BC ，ABl（ ）（填推理的依据）27（2019大兴区一模）如图，矩形ABCD，延长CD到点E，使得DECD，连接AE，BD（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若tanDBC，CD6，求ABDE的面积28（2019怀柔区一模）在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD，过点C作CEDB交AB的延长线于点E，连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DAB60，且AB4，求OE的长29（2019朝阳区一模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线
19、l及直线l外一点P求作：直线PQ，使得PQl作法：如图在直线l上取两点A，B；以点P为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AP为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；作直线PQ根据小东设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PA ，AB ，四边形PABQ是平行四边形PQl（ ）（填写推理的依据）30（2019怀柔区一模）如图，等边ABC中，P是AB上一点，过点P作PDAC于点D，作PEBC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MDME31（2019大
20、兴区一模）在RtABC中，ACB90，CACB点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DEDA作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF（1）依题意补全图形；（2）求证：CADBDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明32（2019怀柔区一模）如图1，正方形ABCD中，AB5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形AEFG，连接CF、DF设BEx（当点E与点B重合时，x的值为0），DFy1，CFy2小明根据学习函数的经验，对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探
21、究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y1、y2的几组对应值；x012345y15.004.123.614.125.00y201.412.834.245.657.07（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象2，解决问题：当CDF为等腰三角形时，BE的长度约为 cm33（2019丰台区一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE（1）求证：四边形ODEC为菱形；（2）连接OE，若BC2，求OE的长34（2
22、019丰台区一模）在ABC中，ACB90，ACBC，D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DFDE交CB的延长线于点F（1）求证：BFCE；（2）若CEAC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明35（2019丰台区一模）如图，AB是O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CDAB于点D，交AE于点F（1）求证：GCAE；（2）若sinEAB，OD，求AE的长36（2019朝阳区一模）如图，在RtABC中，ABC90，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DFED，连接BE、BF、CF、AD（1）求证：四边形BFC
23、E是菱形；（2）若BC4，EF2，求AD的长37（2019朝阳区一模）小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在RtABC中，C90，AC6cm，BC8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？小超猜想当DEAB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C
24、，D两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为ycm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是 ；（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm012345y/cm6.04.83.8 2.73.0（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题，小组的猜想 ；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了 s时，DE取得最小值，为 cm38（2019朝阳区一模）如图，四边
25、形ABCD内接于O，点O在AB上，BCCD，过点C作O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F（1）求证：AFEF；（2）若cosDAB，BE1，求AD的长39（2019顺义区一模）已知：如图，在ABC中，ABAC，B45，点D是BC边上一点，且ADAC，过点C作CFAD于点E，与AB交于点F（1）若CAD，求BCF的大小（用含的式子表示）；（2）求证：ACFC；（3）用等式直接表示线段BF与DC的数量关系40（2019东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、
26、Q两点即为“等距点”（1）已知点A的坐标为（3，1）在点E（0，3）、F（3，3）、G（2，5）中，点A的“等距点”是 ；若点B在直线yx+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；（2）直线l：ykx3（k0）与x轴交于点C，与y轴交于点D若T1（1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；当k1时，半径为r的O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围41（2019北京一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且rPQ3r，则称点P为M的称心点（1
27、）当O的半径为2时，如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，O的称心点是 ；如图2，点D在直线yx上，若点D是O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；（2）T的圆心为T（0，t），半径为2，直线yx+1与x轴，y轴分别交于点E，F若线段EF上的所有点都是T的称心点，直接写出t的取值范围42（2019东城区一模）如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面
28、是小明的探究过程，请补充完整（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm00.781.762.853.984.954.47y2/cm44.695.265.965.944.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BE，则BE的长约为 cm当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为 cm43（2019西城区一模）如图，AB是O的直径，CB与O相切于点B点D在O上，且BCBD，连接C
29、D交O于点E过点E作EFAB于点H，交BD于点M，交O于点F（1）求证：MEDMDE（2）连接BE，若ME3，MB2求BE的长44（2019西城区一模）如图，是直径AB所对的半圆弧，C是上一定点，D是上一动点，连接DA，DB，DC已知AB5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y1cm，D，C两点间的距离为y2cm小腾根据学习函数的经验分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值； x/cm012345y1cm54.9430y2cm43.322.
30、471.403（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y1），（x，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为 cm45（2019石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（1，0），C（0，1），D（1，0）对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）（1）已知点E（0，4），直接写出d（点E）的值；直线ykx+4（k0
31、）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；（2）T的圆心为T（t，3），半径为1若d（T）6，直接写出t的取值范围46（2019顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”（1）已知A（1，0），B（3，2），在点C（1，3）、D（2，1）、E（4，2）、F（3，0）中，线段AB的“似中点”是点 ；（2）直线y与x轴交于点M，与y轴交于点N若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；若P的半径为2，圆心P为（t，0），若P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围47（2
32、019平谷区一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）已知点A（4，0），B（0，4），连接AB（1）d（点O，AB） （2）O半径为r，若d（O，AB）0，求r的取值范围；（3）点C（3，2），连接AC，BC，T的圆心为T（t，0），半径为2，d（T，ABC），且0d2，求t的取值范围48（2019东城区一模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C，连接AC并延长交直线D
33、E于点P，F是AC的中点，连接DF（1）求FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出ACC的面积最大值49（2019石景山区一模）如图，Q是上一定点，P是弦AB上一动点，C为AP中点，连接CQ，过点P作PDCQ交于点D，连接AD，CD已知AB8cm，设A，P两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm（当点P与点A重合时，令y的值为1.30）小荣根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小荣的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm012345678y/cm1.301.791.741.661.631.692.082.39（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DADP时，AP的长度约为 cm50（2019东城区一模）如图，在ABC中，CD平分ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若ACB30，B45，ED6，求BG的长