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北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题12 图形的性质之解答题(1)(50道题)(解析版)

1、专题12 图形的性质之解答题(1)(50道题)参考答案与试题解析一解答题(共50小题)1(2019北京)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示,点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD(1)求证:ADCD;(2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM若ADCM,求直线DE与图形G的公共点个数【答案】(1)证明:到点O的距离等于a的所有点组成图形G,图形G为ABC的外接圆O,AD平分ABC,ABDCBD,ADCD;(2)如图,ADCM,ADCD,CD

2、CM,DMBC,BC垂直平分DM,BC为直径,BAC90,ODAC,ODAB,DEAB,ODDE,DE为O的切线,直线DE与图形G的公共点个数为1【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定2(2019北京)已知AOB30,H为射线OA上一定点,OH1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON(1)依题意补全图1;(2)求证:OMPOPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP写出一个OP的值,使得

3、对于任意的点M总有ONQP,并证明【答案】解:(1)如图1所示为所求(2)设OPM,线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150,PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN(3)OP2时,总有ONQP,证明如下:过点N作NCOB于点C,过点P作PDOA于点D,如图2NCPPDMPDQ90AOB30,OP2PDOP1ODOH1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中 PDMNCP(AAS)PDNC,DMCP设DMCPx,则OCOP+PC2+x,MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQM

4、Hx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中 OCNQDP(SAS)ONQP【点睛】本题考查了根据题意画图,旋转的性质,三角形内角和180,勾股定理,全等三角形的判定和性质,中心对称的性质第(3)题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度,并结合(2)的结论构造全等三角形;而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP3(2019北京)在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果上的所有点都在ABC的内部或边上,则称为ABC的中内弧例如,图1中是ABC的一条中内弧(1)如图2,在RtABC中,ABAC,D,E分别是AB,AC的中点,画出ABC的最长的中内弧,并直接写出此

5、时的长;(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t0),在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点若t,求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;若在ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围【答案】解:(1)如图2,以DE为直径的半圆弧,就是ABC的最长的中内弧,连接DE,A90,ABAC,D,E分别是AB,AC的中点,BC4,DEBC42,弧2;(2)如图3,由垂径定理可知,圆心一定在线段DE的垂直平分线上,连接DE,作DE垂直平分线FP,作EGAC交FP于G,当t时,C(2,0),D(0,1),E(1,1

6、),F(,1),设P(,m)由三角形中内弧定义可知,圆心线段DE上方射线FP上均可,m1,OAOC,AOC90ACO45,DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G,FGEF根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求;m综上所述,m或m1如图4,设圆心P在AC上,P在DE中垂线上,P为AE中点,作PMOC于M,则PM,P(t,),DEBCADEAOB90AE,PDPE,AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90,DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知,PDPMAE,AE3,即3,解得:t,t00t【点睛】此题是一道圆的综合题,考查了圆的性质,

7、弧长计算,直角三角形性质等,给出了“三角形中内弧”新定义,要求学生能够正确理解新概念,并应用新概念解题4(2019北京)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BEDF,连接EF(1)求证:ACEF;(2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O若BD4,tanG,求AO的长【答案】(1)证明:连接BD,如图1所示:四边形ABCD是菱形,ABAD,ACBD,OBOD,BEDF,AB:BEAD:DF,EFBD,ACEF;(2)解:如图2所示:由(1)得:EFBD,GADO,tanGtanADO,OAOD,BD4,OD2,OA1【点睛】本题考查了菱形的性质、平行

8、线的判定与性质、解直角三角形等知识;熟练掌握菱形的性质是解题的关键5(2019怀柔区二模)在平面直角坐标系xOy中,对于两个点A,B和图形,如果在图形上存在点P,Q(P,Q可以重合),使得AP2BQ,那么称点A与点B是图形的一对“倍点”已知O的半径为1,点B(0,3)(1)点B到O的最大值,最小值;在A1(5,0),A2(0,10),A3(,)这三个点中,与点B是O的一对“倍点”的是A1;(2)在直线yx+b上存在点A与点B是O的一对“倍点”,求b的取值范围;(3)正方形MNST的顶点M(m,1),N(m+1,1),若正方形上的所有点与点B都是O的一对“倍点”,直接写出m的取值范围【答案】解:

9、(1)点B到O的最大值是BO+r3+14;点B到O的最小值是BOr312;A1到圆O的最大值6,最小值4;A2到圆O的最大值11,最小值9;A3到圆O的最大值3,最小值1;点B到O的最大值是4,最小值是2;在圆O上存在点P,Q,使得AP2BQ,则A1与B是O的一对“倍点”,故答案为A1;(2)点B到O的最大值是4,最小值是242BQ8,O到直线的最大距离是9,即OD9,DCO60,CO6;(3)当m0时,S(m+1,0),T(m,0),则m+14,m3,S(m+1,2),T(m,2),则OS9,9,m1;3m1;当m0时,S(m+1,0),T(m,0),则m4,S(m+1,2),T(m,2),

10、则OT9,9,m,m4;综上所述:3m1或m4;【点睛】本题考查圆的综合;熟练掌握圆与直线,圆与正方形的关系,点到圆上距离的最值的求法是解题的关键6(2019东城区二模)对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB,给出如下定义:M为图形P上任意一点,N为直线AB上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”,记作d(P,直线AB)已知A(2,0),B(0,2)(1)求d(点O,直线AB);(2)T的圆心为T(t,0),半径为1,若d(T,直线AB)1,直接写出t的取值范围;(3)记函数ykx,(1x1,k0)的图象为图形Q若d(Q,直线AB)

11、1,直接写出k的值【答案】解:(1)如图1中,作OHAB于HA(2,0),B(0,2),OAOB2,AB2,OAOBABOH,OH,d(点O,直线AB);(2)如图2中,作THAB于H,交T于D当d(T,直线AB)1时,DH1,TH2,AT2,OT22,T(22,0),根据对称性可知,当T在直线AB的右边,满足d(T,直线AB)1时,T(2+2,0),满足条件的t的值为22t(3)如图3中,当直线经过点D(2,0)与直线AB平行时,此时两直线之间的距离为1,该直线的解析式为yx+2,当直线ykx经过E(1,1)时,k1,当直线ykx经过F(1,3),k3,综上所述,满足条件的k的值为3或1【点

12、睛】本题属于圆综合题,考查了直线与圆的位置关系,图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型7(2019朝阳区二模)MON45,点P在射线OM上,点A,B在射线ON上(点B与点O在点A的两侧),且AB1,以点P为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90,得到线段CD(点C与点A对应,点D与点B对应)(1)如图,若OA1,OP,依题意补全图形;(2)若OP,当线段AB在射线ON上运动时,线段CD与射线OM有公共点,求OA的取值范围;(3)一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上,称这个圆为这条线段的覆盖圆若OA1,当点P在射线OM上运

13、动时,以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆,直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度【答案】解:(1)OA1,OP,MON45,PAOA,PA1OCOA,PC1由旋转性质可知:PCCD,CDAB1,D正好落在OM上补全图形,如图1所示(2)如图2,作PEOM交ON于点E,作EFON交OM于点FOP,MON45,OE2由题意可知,当线段AB在射线ON上从左向右平移时,线段CD在射线EF上从下向上平移,且OAEC如图2,当点D与点F重合时,OA取得最小值为1如图3,当点C与点F重合时,OA取得最大值为2综上所述,OA的取值范围是1OA2(3)如图4作PEOM交ON于点E,

14、作EFON交OM于点Q当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD1,Q在CD的中点,QC由(2)可知CEOA1,QE,MON45,OP,OQ【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是根据旋转的性质找到OACE,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型8(2019海淀区二模)对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N,给出如下定义:若在图形M上存在一点A,图形N上存在两点B,C,使得ABC是以BC为斜边且BC2的等腰直角三角形,则称图形M与图形N具有关系(M,N)(1)若图形X为一个点,图形Y为直线yx,图形X与

15、图形Y具有关系(X,Y),则点,P2(1,1),P3(2,2)中可以是图形X的是P1;(2)已知点P(2,0),点Q(0,2),记线段PQ为图形X当图形Y为直线yx时,判断图形X与图形Y是否既具有关系(X,Y)又具有关系(Y,X),如果是,请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标;如果不是,请说明理由;当图形Y为以T(t,0)为圆心,为半径的T时,若图形X与图形Y具有关系(X,Y),求t的取值范围【答案】解:(1)P1;如图1,过P1作P1Iy轴交直线yx于点C1,作P1B1x轴于B1(B1与O重合),P1(0,),P1O,将y代入yx中,得xC1(,),即:C1P1B1P12P1(0,)与图

16、形Y(直线yx)具有关系(X,Y);P2(1,1)在直线yx上,P2(1,1)与图形Y(直线yx)不具有关系(X,Y);P3(2,2)B3(2,2),C3(2,2),B3C342P3(2,2)与图形Y(直线yx)不具有关系(X,Y);故答案为P1(0,)(2)是,如图2,在直线yx上取点B,C,且BC2,则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A,在到直线yx距离为1的两条平行直线上这两条平行直线与PQ分别交于A1,A2两点故图形X与图形Y满足(X,Y)直线yx与线段PQ交于点M(1,1),过点M作MHy轴于H,与A1B交于点N,则MA11,可得A1(,)同理可求得A2(,)如图3,在线

17、段PQ上取点B,C,且BC2,则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上,这两条线段与直线yx交于A3,A4两点故图形X与图形Y满足(Y,X)同上可求得A3(,),A4(,)如图3,当QB1C1为等腰直角三角形,且斜边B1C12时,连接QT1交B1C1于S,则QSB1SC1S1,B1T1,T1S2,T1Q2+13T1OT1(,0),同理可求得:T2(1,0),T3(2,0),T4(5,0),或【点睛】本题是一道新定义的圆综合题,考查了等腰直角三角形的性质,圆的性质等,关键是要理解新定义,并能够运用新定义解决问题9(2019丰台区一模)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图

18、形G,给出如下定义:若在图形G上存在两个点A,B,使得以P,A,B为顶点的三角形为等边三角形,则称P为图形G的“等边依附点”(1)已知M(3,),N(3,)在点C(2,2),D(0,1),E(1,)中,是线段MN的“等边依附点”的是D,E;点P(m,0)在x轴上运动,若P为线段MN的“等边依附点”,求点P的横坐标m的取值范围;(2)已知O的半径为1,若O上所有点都是某条线段的“等边依附点”,直接写出这条线段长n的取值范围【答案】解:(1)D,E;如图1,过点C作CDMN于D,连接CM,过点E作EFMN于F,连接EN,EM,DM,DN,tanCMD2tan60,CMD60,点C不是线段MN的“等

19、边依附点”;tanDMNtanDNM,DMNDNM60D是线段MN的“等边依附点”;tanENF,tanEMNENF60,EMN60E是线段MN的“等边依附点”;故答案为D,E在图1中,分别在线段MN上方作NMQMNP60,角的一条边与MN重合,另一边分别与x轴交于Q,P,作QDMN于D,tan60,即:,解得:MD1Q(2,0)同理,可得P(2,0)点P的横坐标m的取值范围为:2m2;(2)如图2,ABC是等边三角形,点O为AB的中点,O与AC、BC分别相切于P、Q,ABC是等边三角形BACABC60连接CO,OP,OQ,则OCAB,OPAC,OQBCsin60,sin60;OPOQ1OAO

20、BAB的最小值为,【点睛】本题是有关圆的一道综合题,主要考查了圆的性质,切线的性质,等边三角形的性质等,解题的关键是正确理解新定义:图形G的“等边依附点”;并能够结合定义画出图形10(2019房山区二模)如图,在ABC中,ACB90,B4BAC延长BC到点D,使CDCB,连接AD,过点D作DEAB于点E,交AC于点F(1)依题意补全图形;(2)求证:B2BAD;(3)用等式表示线段EA,EB和DB之间的数量关系,并证明【答案】解:(1)补全图形如图:(2)证明:ACB90,CDCB,ADABBAD2BACB4BAC,B2BAD(3)EAEB+DB,证明:在EA上截取EGEB,连接DGDEAB,

21、DGDBDGBBB2BAD,DGB2BADDGBBAD+ADG,BADADGGAGDGADBEAEG+AGEB+DB【点睛】本题是三角形的综合问题,解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识11(2019通州区三模)如图,已知线段AB6cm,过点B做射线BF且满足ABF40,点C为线段AB中点,点P为射线BF上的动点,连接PA,过点B作PA的平行线交射线PC于点D,设PB的长度为xcm,PD的长度为y1cm,BD的长度为y2cm(当点P与点B重合时,y1与y2的值均为6cm)小腾根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过

22、程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x (0x6)的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:x/cm0123456y1/cm6.04.73.94.15.16.68.4y2/cm6.05.34.74.23.94.1(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出y1,y2的图象;(3)结合函数图象解决问题:当PDB为等腰三角形时,则BP的长度约为3.1或3.9cm;(4)当x6时,是否存在x的值使得PDB为等腰三角形否(填“是”或者“否”)【答案】解:(1)由画图可得,x4时,

23、BDy23.9(2)如图所示,(3)由y1与y2的交点的横坐标可知,x3.1cm时,PDBD,由直线yx与y2的交点的横坐标可知,x3.9cm时,PBBD,观察图象可知,PB不可能等于PD,故答案为3.1或3.9(4)观察图象可知,x6时,PDB不可能为等腰三角形故答案为否【点睛】本题考查函数的图象,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象法解决问题,属于中考常考题型12(2019石景山区二模)如图,在RtABC中,C90,点O在边AC上,O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E,过点D作DPBC交AB于点P(1)求证:PDPE;(2)连接CP,若点E是AP的中点,OD

24、:DC2:1,CP13,求O的半径【答案】(1)证明:DPBC,C90,ADPC90PDODPD是O的切线,PE是O的切线,PDPE;(2)解:连接OE,DE点E是AP的中点,DEEPEAPDPE,PDPEDEDEP是等边三角形,APD60,A30PE与O切点E,AEO90OD:DC2:1,设DCx,则OD2x在RtAOE中,tanA则OEOD2x,则AEPD2x在RtCPD中,DC2+PD2CP2,x2+(2x)2132,解得xO的半径为2【点睛】本题考查了切线的判定和性质,切线长定理,直角三角形斜边中线的性质,直角三角函数等,作出辅助线构建等边三角形是解题的关键13(2019丰台区二模)如

25、图1,M是圆中上一定点,P是弦AB上一动点,过点A作射线MP的垂线交圆于点C,连接PC已知AB5cm,设A、P两点间的距离为xcm,A、C两点间的距离为y1cm,P、C两点的距离为y2cm小帅根据学习函数的经验,分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小帅的探究过程,请补充完整:(1)按照表中自变量x的值进行取点,画图、测量,分别得到了y1、y2与x的几组对应值;x/cm012345y1/cm2.553.153.954.764.954.30y2/cm2.552.642.672.111.132.55(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x

26、,y1),(x,y2),并画出函数y1、y2的图象;(3)结合函数图象,解决问题:在点P的运动过程中,当AC与PC的差为最大值时,AP的长度约为4cm【答案】解:(1)经测量得:当x3时,y22.11;(2)用描点法,描绘如下图象,(3)从图象可以看出,当x4时,AC与PC的差为最大值,故答案为4【点睛】本题为圆的综合运用题,主要考查的是描点作图,根据图象,确定题设已知条件,从图中观察、测量出求解得结论,一般难度不大14(2019西城区二模)对于平面内的MAN及其内部的一点P,设点P到直线AM,AN的距离分别为d1,d2,称和这两个数中较大的一个为点P关于MAN的“偏率”在平面直角坐标系xOy

27、中,(1)点M,N分别为x轴正半轴,y轴正半轴上的两个点若点P的坐标为(1,5),则点P关于MON的“偏率”为5;若第一象限内点Q(a,b)关于MON的“偏率”为1,则a,b满足的关系为ab;(2)已知点A(4,0),B(2,2),连接OB,AB,点C是线段AB上一动点(点C不与点A,B重合)若点C关于AOB的“偏率”为2,求点C的坐标;(3)点E,F分别为x轴正半轴,y轴正半轴上的两个点,动点T的坐标为(t,4),T是以点T为圆心,半径为1的圆若T上的所有点都在第一象限,且关于EOF的“偏率”都大于,直接写出t的取值范围【答案】解:(1)点M,N分别在x轴正半轴,y轴正半轴上点P(1,5)到

28、OM距离d15,到ON距离d21点P关于MON的“偏率”为:5故答案为:5点Q(a,b)在第一象限,到OM距离d1b,到ON距离d2a点Q关于MON的“偏率”为:1或1ab故答案为:ab(2)过点C作CDOA于点D,CHOB于点H,如图1,CDACHB90点A(4,0),B(2,2)OA4,OB4,AB4OAOBABOAB是等边三角形OABOBA60CDACHB90CDACHB点C关于AOB的“偏率”为22或2当2,则2CAABDACAcos60,CDCAsin60ODOADA4C(,)当2,则2CAABDACAcos60,CDCAsin60ODOADA4C(,)综上所述,点C的坐标为(,)或

29、(,)(3)T(t,4)点T在直线y4上T上的所有点都在第一象限,且半径为1T与y轴相离t1设T上的点R坐标为(x,y)(x0,y0)点R关于EOF的“偏率”都大于或若,则yx点R在直线yx的上方,即T在直线yx左侧且与其相离当T与直线yx相切于点I,如图2,设直线y4与y轴交于点G,与直线yx交于点JGTt,OGyJ4,GJxJtanOJGOJG60TI1,TIOJRtTIJ中,sinOJGTJTIGTGJTJ当T在直线yx左侧与其相离时,1t若,则yx点R在直线yx的下方,即T在直线yx右侧且与其相离当T与直线yx相切于点K,如图3,设直线y4与y轴交于点G,与直线yx交于点LGLxLyL

30、4tanOLGKLTOJG30TK1,TKOKRtTKL中,sinKLTLT2TK2GTGL+LT42当T在直线yx右侧与其相离时,t42综上所述,t的取值范围为1t或42【点睛】本题考查了新定义的理解,点到直线距离,平面直角坐标系点的特征,等边三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,特殊三角函数值的应用,圆的切线性质解题关键是新定义的理解和应用,根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题第(3)题问题转化到圆与直线相离后,先计算相切时t的值,再判断相离时t的范围15(2019平谷区二模)如图,点P是半圆O中 上一动点,连接AP,作APC45,交弦AB于点C已知AB6cm,设A,P两点间的

31、距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm(当点P与点A重合时,y1,y2的值为0)小元根据学习函数的经验,分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小元的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值;x/cm0123456y1/cm01.212.09m2.992.820y2/cm00.871.572.202.833.616经测量m的值是2.7(保留一位小数)(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;(3)结合函

32、数图象,解决问题:当ACP为等腰三角形时,AP的长度约为4.2或2.3cm(保留一位小数)【答案】解:(1)经测量:m2.7;(2)通过描点,画出如下图象;(3)当ACPC时,即:y1y2,从图象可以看出:x4.2;当APPC时,画出函数:yx的图象,图象与y1的交点处x的为2.3;故:答案为4.2或2.3【点睛】本题为圆的综合题,主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律,此类题目,主要通过画出函数图象,根据题设条件,找出图象对应的点的值即可16(2019通州区三模)在平面直角坐标系xOy中,点P,Q(两点可以重合)在x轴上,点P的横坐标为m,点Q的横坐标为n,若平面内的点M的坐标为(n,

33、|mn|),则称点M为P,Q的跟随点(1)若m0,当n3时,P,Q的跟随点的坐标为(3,3);写出P,Q的跟随点的坐标;(用含n的式子表示);记函数ykx1(1x1,k0)的图象为图形G,若图形G上不存在P,Q的跟随点,求k的取值范围;(2)A的圆心为A(0,2),半径为1,若A上存在P,Q的跟随点,直接写出m的取值范围【答案】解:(1)把m0,n3代入点P,Q的跟随点的坐标(n,|mn|)(3,|03|)(3,3)故答案为:(3,3);把m0代入P,Q的跟随点的坐标(n,|mn|),当n0时,(n,n);当n0时,(n,n)所以P,Q的跟随点的坐标为(n,n)或(n,n);由可知,当m0时,

34、P,Q的跟随点在函数yx(x0)或 yx(x0)的图象上,且函数yx(x0)或 yx(x0)的图象上的每一个点都是P,Q的跟随点令x1,则y1,图形G经过点(1,1)时,k2;令x1,则y1,图形G经过点(1,1)时,k2;由图可知,k的取值范围是2k0或0k2(2)因为A的圆心为A(0,2),半径为1,若A上存在P,Q的跟随点,m的取值范围为:2m2或2m2【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,属于中考压轴题17(2019昌平区二模)如图,在ABC中,C90,ACBC,AB6cm,E是线段AB上一动点,D是BC的中点,过点C作

35、射线CG,使CGAB,连接ED,并延长ED交CG于点F,连接AF设A,E两点间的距离为xcm,A,F两点间的距离为y1cm,E,F两点间的距离为y2cm小丽根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程,请补充完整:(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值;x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并

36、画出函数y1,y2的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当AEF为等腰三角形时,AE的长度约为3.50或5或6cm【答案】解:(1)当x3时,点E是AB的中点,易证ECF是等腰直角三角形,EFEC34.24(2)函数图象如图所示:(3)由直线yx与两个函数图象的交点A,B,以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知,当AEF为等腰三角形时,AE的长度约为3.50或5或6故答案为:3.50或5或6【点睛】本题属于三角形综合题,考查了画出的图象与性质,解题的关键是理解题意,学会利用描点法画出函数图象,学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型18(2019昌平区二模)在数学课上,老师提出如下

37、问题:如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”小明的作法如下:在直线l上取一点A,以点A为圆心,AP长为半径作弧,交直线l于点B;分别以P,B为圆心,以AP长为半径作弧,两弧相交于点Q(与点A不重合);作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小明的作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明证明:ABAPPQBQ四边形ABQP是菱形(四边相等的四边形是菱形)(填推理的依据)PQl【答案】解:(1)如图所示(2):ABAPPQBQ四边形ABQP是菱形(四边相等的四边形是菱形)PQl故答案为:PQ,BQ,四边相等的四边形是菱形【点睛】本题考查作图

38、复杂作图,菱形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型19(2019房山区二模)如图,在ABC中,ABC90,CAB30,AB4.5cmD是线段AB上的一个动点,连接CD,过点D作CD的垂线交CA于点E设ADxcm,CEycm(当点D与点A或点B重合时,y的值为5.2)探究函数y随自变量x的变化而变化的规律(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组对应值,如下表:x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.65.2(要求:补全表格,相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系xOy,描出以补全后的表中各对

39、对应值为坐标的点,画出该函数的图象;(3)结合画出的函数图象,解决问题:当CE2AD时,AD的长度约为1.9cm(结果保留一位小数)【答案】解:(1)如图1,过E作EFAB于F,由表格可知:AC5.2,AB4.5,RtACB中,A30,BCAC2.6,当x4时,即AD4,BD0.5,EDC90,易得EFDDBC,设EF5a,FD26a,则AE10a,AF5a,AD4,5a+26a4,a,yACAE5.2105.24.0;x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.64.05.2故答案为:4.0;(2)如图2所示:(3)设EFa,则AE2

40、a,AFa,如图,由(1)知:EFDDBC,即,AC2a+y5.2,当CE2AD时,y2x,则2a+2x5.2,a+x2.6,a2.6x,2.6(2.6x)(4.5x)x(2.6x),2.73x219.383x+27.0010,x15.2(舍),x21.9,答:AD的长度约为1.9cm;故答案为:1.9【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题,主要考查了含30度角的直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,函数图象的画法,直角三角形的性质,勾股定理,并与方程相结合,计算量比较大20(2019房山区二模)阅读下面材料:小明遇到一个问题:如图,MON,点A在射线OM上,点B在MON内部,用直尺和圆规作点P,使点P同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法):a点P到A,B两点的距离相等;b点P到MON的两边的距离相等小明的作法是:连接AB,作线段AB的垂直平分线交AB于E,交ON于F;作MON的平分线交EF于点P所以点P即为所求根据小明的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(2)证明:EF垂直平分线段AB,点P在直线EF上,PAPB