1、专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1（2019北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共点个数【答案】（1）证明：到点O的距离等于a的所有点组成图形G，图形G为ABC的外接圆O，AD平分ABC，ABDCBD，ADCD；（2）如图，ADCM，ADCD，CD
2、CM，DMBC，BC垂直平分DM，BC为直径，BAC90，ODAC，ODAB，DEAB，ODDE，DE为O的切线，直线DE与图形G的公共点个数为1【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定2（2019北京）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得
3、对于任意的点M总有ONQP，并证明【答案】解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中 PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQM
4、Hx+1DQDH+HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中 OCNQDP（SAS）ONQP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP3（2019北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此
5、时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A90，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC42，弧2；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1
6、），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G，FGEF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBCADEAOB90AE，PDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知，PDPMAE，AE3，即3，解得：t，t00t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，
7、弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题4（2019北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD4，tanG，求AO的长【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD，OBOD，BEDF，AB：BEAD：DF，EFBD，ACEF；（2）解：如图2所示：由（1）得：EFBD，GADO，tanGtanADO，OAOD，BD4，OD2，OA1【点睛】本题考查了菱形的性质、平行
8、线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键5（2019怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形，如果在图形上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP2BQ，那么称点A与点B是图形的一对“倍点”已知O的半径为1，点B（0，3）（1）点B到O的最大值，最小值；在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是O的一对“倍点”的是A1；（2）在直线yx+b上存在点A与点B是O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围【答案】解：
9、（1）点B到O的最大值是BO+r3+14；点B到O的最小值是BOr312；A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP2BQ，则A1与B是O的一对“倍点”，故答案为A1；（2）点B到O的最大值是4，最小值是242BQ8，O到直线的最大距离是9，即OD9，DCO60，CO6；（3）当m0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+14，m3，S（m+1，2），T（m，2），则OS9，9，m1；3m1；当m0时，S（m+1，0），T（m，0），则m4，S（m+1，2），T（m，2），
10、则OT9，9，m，m4；综上所述：3m1或m4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键6（2019东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）已知A（2，0），B（0，2）（1）求d（点O，直线AB）；（2）T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（T，直线AB）1，直接写出t的取值范围；（3）记函数ykx，（1x1，k0）的图象为图形Q若d（Q，直线AB）
11、1，直接写出k的值【答案】解：（1）如图1中，作OHAB于HA（2，0），B（0，2），OAOB2，AB2，OAOBABOH，OH，d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作THAB于H，交T于D当d（T，直线AB）1时，DH1，TH2，AT2，OT22，T（22，0），根据对称性可知，当T在直线AB的右边，满足d（T，直线AB）1时，T（2+2，0），满足条件的t的值为22t（3）如图3中，当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为yx+2，当直线ykx经过E（1，1）时，k1，当直线ykx经过F（1，3），k3，综上所述，满足条件的k的值为3或1【点
12、睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2019朝阳区二模）MON45，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）（1）如图，若OA1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆若OA1，当点P在射线OM上运
13、动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度【答案】解：（1）OA1，OP，MON45，PAOA，PA1OCOA，PC1由旋转性质可知：PCCD，CDAB1，D正好落在OM上补全图形，如图1所示（2）如图2，作PEOM交ON于点E，作EFON交OM于点FOP，MON45，OE2由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OAEC如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2综上所述，OA的取值范围是1OA2（3）如图4作PEOM交ON于点E，
14、作EFON交OM于点Q当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD1，Q在CD的中点，QC由（2）可知CEOA1，QE，MON45，OP，OQ【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OACE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型8（2019海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得ABC是以BC为斜边且BC2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系（M，N）（1）若图形X为一个点，图形Y为直线yx，图形X与
15、图形Y具有关系（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，2）中可以是图形X的是P1；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X当图形Y为直线yx时，判断图形X与图形Y是否既具有关系（X，Y）又具有关系（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的T时，若图形X与图形Y具有关系（X，Y），求t的取值范围【答案】解：（1）P1；如图1，过P1作P1Iy轴交直线yx于点C1，作P1B1x轴于B1（B1与O重合），P1（0，），P1O，将y代入yx中，得xC1（，），即：C1P1B1P12P1（0，）与图
16、形Y（直线yx）具有关系（X，Y）；P2（1，1）在直线yx上，P2（1，1）与图形Y（直线yx）不具有关系（X，Y）；P3（2，2）B3（2，2），C3（2，2），B3C342P3（2，2）与图形Y（直线yx）不具有关系（X，Y）；故答案为P1（0，）（2）是，如图2，在直线yx上取点B，C，且BC2，则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A，在到直线yx距离为1的两条平行直线上这两条平行直线与PQ分别交于A1，A2两点故图形X与图形Y满足（X，Y）直线yx与线段PQ交于点M（1，1），过点M作MHy轴于H，与A1B交于点N，则MA11，可得A1（，）同理可求得A2（，）如图3，在线
17、段PQ上取点B，C，且BC2，则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上，这两条线段与直线yx交于A3，A4两点故图形X与图形Y满足（Y，X）同上可求得A3（，），A4（，）如图3，当QB1C1为等腰直角三角形，且斜边B1C12时，连接QT1交B1C1于S，则QSB1SC1S1，B1T1，T1S2，T1Q2+13T1OT1（，0），同理可求得：T2（1，0），T3（2，0），T4（5，0），或【点睛】本题是一道新定义的圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质等，关键是要理解新定义，并能够运用新定义解决问题9（2019丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图
18、形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”（1）已知M（3，），N（3，）在点C（2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是D，E；点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知O的半径为1，若O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围【答案】解：（1）D，E；如图1，过点C作CDMN于D，连接CM，过点E作EFMN于F，连接EN，EM，DM，DN，tanCMD2tan60，CMD60，点C不是线段MN的“等
19、边依附点”；tanDMNtanDNM，DMNDNM60D是线段MN的“等边依附点”；tanENF，tanEMNENF60，EMN60E是线段MN的“等边依附点”；故答案为D，E在图1中，分别在线段MN上方作NMQMNP60，角的一条边与MN重合，另一边分别与x轴交于Q，P，作QDMN于D，tan60，即：，解得：MD1Q（2，0）同理，可得P（2，0）点P的横坐标m的取值范围为：2m2；（2）如图2，ABC是等边三角形，点O为AB的中点，O与AC、BC分别相切于P、Q，ABC是等边三角形BACABC60连接CO，OP，OQ，则OCAB，OPAC，OQBCsin60，sin60；OPOQ1OAO
20、BAB的最小值为，【点睛】本题是有关圆的一道综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，等边三角形的性质等，解题的关键是正确理解新定义：图形G的“等边依附点”；并能够结合定义画出图形10（2019房山区二模）如图，在ABC中，ACB90，B4BAC延长BC到点D，使CDCB，连接AD，过点D作DEAB于点E，交AC于点F（1）依题意补全图形；（2）求证：B2BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）补全图形如图：（2）证明：ACB90，CDCB，ADABBAD2BACB4BAC，B2BAD（3）EAEB+DB，证明：在EA上截取EGEB，连接DGDEAB，
21、DGDBDGBBB2BAD，DGB2BADDGBBAD+ADG，BADADGGAGDGADBEAEG+AGEB+DB【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识11（2019通州区三模）如图，已知线段AB6cm，过点B做射线BF且满足ABF40，点C为线段AB中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过
22、程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x （0x6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm6.04.73.94.15.16.68.4y2/cm6.05.34.74.23.94.1（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为3.1或3.9cm；（4）当x6时，是否存在x的值使得PDB为等腰三角形否（填“是”或者“否”）【答案】解：（1）由画图可得，x4时，
23、BDy23.9（2）如图所示，（3）由y1与y2的交点的横坐标可知，x3.1cm时，PDBD，由直线yx与y2的交点的横坐标可知，x3.9cm时，PBBD，观察图象可知，PB不可能等于PD，故答案为3.1或3.9（4）观察图象可知，x6时，PDB不可能为等腰三角形故答案为否【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型12（2019石景山区二模）如图，在RtABC中，C90，点O在边AC上，O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DPBC交AB于点P（1）求证：PDPE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD
24、：DC2：1，CP13，求O的半径【答案】（1）证明：DPBC，C90，ADPC90PDODPD是O的切线，PE是O的切线，PDPE；（2）解：连接OE，DE点E是AP的中点，DEEPEAPDPE，PDPEDEDEP是等边三角形，APD60，A30PE与O切点E，AEO90OD：DC2：1，设DCx，则OD2x在RtAOE中，tanA则OEOD2x，则AEPD2x在RtCPD中，DC2+PD2CP2，x2+（2x）2132，解得xO的半径为2【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形斜边中线的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键13（2019丰台区二模）如
25、图1，M是圆中上一定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC已知AB5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C两点的距离为y2cm小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm012345y1/cm2.553.153.954.764.954.30y2/cm2.552.642.672.111.132.55（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x
26、，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为4cm【答案】解：（1）经测量得：当x3时，y22.11；（2）用描点法，描绘如下图象，（3）从图象可以看出，当x4时，AC与PC的差为最大值，故答案为4【点睛】本题为圆的综合运用题，主要考查的是描点作图，根据图象，确定题设已知条件，从图中观察、测量出求解得结论，一般难度不大14（2019西城区二模）对于平面内的MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于MAN的“偏率”在平面直角坐标系xOy
27、中，（1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点若点P的坐标为（1，5），则点P关于MON的“偏率”为5；若第一象限内点Q（a，b）关于MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为ab；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）若点C关于AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），T是以点T为圆心，半径为1的圆若T上的所有点都在第一象限，且关于EOF的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）点M，N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上点P（1，5）到
28、OM距离d15，到ON距离d21点P关于MON的“偏率”为：5故答案为：5点Q（a，b）在第一象限，到OM距离d1b，到ON距离d2a点Q关于MON的“偏率”为：1或1ab故答案为：ab（2）过点C作CDOA于点D，CHOB于点H，如图1，CDACHB90点A（4，0），B（2，2）OA4，OB4，AB4OAOBABOAB是等边三角形OABOBA60CDACHB90CDACHB点C关于AOB的“偏率”为22或2当2，则2CAABDACAcos60，CDCAsin60ODOADA4C（，）当2，则2CAABDACAcos60，CDCAsin60ODOADA4C（，）综上所述，点C的坐标为（，）或
29、（，）（3）T（t，4）点T在直线y4上T上的所有点都在第一象限，且半径为1T与y轴相离t1设T上的点R坐标为（x，y）（x0，y0）点R关于EOF的“偏率”都大于或若，则yx点R在直线yx的上方，即T在直线yx左侧且与其相离当T与直线yx相切于点I，如图2，设直线y4与y轴交于点G，与直线yx交于点JGTt，OGyJ4，GJxJtanOJGOJG60TI1，TIOJRtTIJ中，sinOJGTJTIGTGJTJ当T在直线yx左侧与其相离时，1t若，则yx点R在直线yx的下方，即T在直线yx右侧且与其相离当T与直线yx相切于点K，如图3，设直线y4与y轴交于点G，与直线yx交于点LGLxLyL
30、4tanOLGKLTOJG30TK1，TKOKRtTKL中，sinKLTLT2TK2GTGL+LT42当T在直线yx右侧与其相离时，t42综上所述，t的取值范围为1t或42【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值的应用，圆的切线性质解题关键是新定义的理解和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题第（3）题问题转化到圆与直线相离后，先计算相切时t的值，再判断相离时t的范围15（2019平谷区二模）如图，点P是半圆O中 上一动点，连接AP，作APC45，交弦AB于点C已知AB6cm，设A，P两点间的
31、距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm01.212.09m2.992.820y2/cm00.871.572.202.833.616经测量m的值是2.7（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函
32、数图象，解决问题：当ACP为等腰三角形时，AP的长度约为4.2或2.3cm（保留一位小数）【答案】解：（1）经测量：m2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）当ACPC时，即：y1y2，从图象可以看出：x4.2；当APPC时，画出函数：yx的图象，图象与y1的交点处x的为2.3；故：答案为4.2或2.3【点睛】本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可16（2019通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，
33、|mn|），则称点M为P，Q的跟随点（1）若m0，当n3时，P，Q的跟随点的坐标为（3，3）；写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；记函数ykx1（1x1，k0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）A的圆心为A（0，2），半径为1，若A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）把m0，n3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|mn|）（3，|03|）（3，3）故答案为：（3，3）；把m0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|mn|），当n0时，（n，n）；当n0时，（n，n）所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，n）；由可知，当m0时，
34、P，Q的跟随点在函数yx（x0）或 yx（x0）的图象上，且函数yx（x0）或 yx（x0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点令x1，则y1，图形G经过点（1，1）时，k2；令x1，则y1，图形G经过点（1，1）时，k2；由图可知，k的取值范围是2k0或0k2（2）因为A的圆心为A（0，2），半径为1，若A上存在P，Q的跟随点，m的取值范围为：2m2或2m2【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题17（2019昌平区二模）如图，在ABC中，C90，ACBC，AB6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作
35、射线CG，使CGAB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并
36、画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6cm【答案】解：（1）当x3时，点E是AB的中点，易证ECF是等腰直角三角形，EFEC34.24（2）函数图象如图所示：（3）由直线yx与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6故答案为：3.50或5或6【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型18（2019昌平区二模）在数学课上，老师提出如下
37、问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”小明的作法如下：在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：ABAPPQBQ四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）PQl【答案】解：（1）如图所示（2）：ABAPPQBQ四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）PQl故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形【点睛】本题考查作图
38、复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型19（2019房山区二模）如图，在ABC中，ABC90，CAB30，AB4.5cmD是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E设ADxcm，CEycm（当点D与点A或点B重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.65.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对
39、对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE2AD时，AD的长度约为1.9cm（结果保留一位小数）【答案】解：（1）如图1，过E作EFAB于F，由表格可知：AC5.2，AB4.5，RtACB中，A30，BCAC2.6，当x4时，即AD4，BD0.5，EDC90，易得EFDDBC，设EF5a，FD26a，则AE10a，AF5a，AD4，5a+26a4，a，yACAE5.2105.24.0；x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.64.05.2故答案为：4.0；（2）如图2所示：（3）设EFa，则AE2
40、a，AFa，如图，由（1）知：EFDDBC，即，AC2a+y5.2，当CE2AD时，y2x，则2a+2x5.2，a+x2.6，a2.6x，2.6（2.6x）（4.5x）x（2.6x），2.73x219.383x+27.0010，x15.2（舍），x21.9，答：AD的长度约为1.9cm；故答案为：1.9【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大20（2019房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，MON，点A在射线OM上，点B在MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a点P到A，B两点的距离相等；b点P到MON的两边的距离相等小明的作法是：连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；作MON的平分线交EF于点P所以点P即为所求根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，PAPB