1、专题06 方程与不等式之解答题参考答案与试题解析一解答题（共48小题）1（2019北京）关于x的方程x22x+2m10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根【答案】解：关于x的方程x22x+2m10有实数根，b24ac44（2m1）0，解得：m1，m为正整数，m1，x22x+10，则（x1）20，解得：x1x21【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键2（2019北京）解不等式组：4(x-1)x+2x+73x【答案】解：4(x-1)x+2x+73x，解得：x2，解得x72，则不等式组的解集为x2【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大
2、中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键3（2019房山区二模）已知关于x的一元二次方程mx2+nx20（1）当nm2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求出此时方程的根【答案】解：（1）n2+8m，当nm2时，（m+2）20，方程有两个实根，（2）方程有实数根，n2+8m0，若n1，m1，则方程变形为x2+x20，解得x11，x22【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根4（201
3、9通州区三模）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m20有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值【答案】解：（1）由题意，得（2m）24（m2+m2）0，m2；（2）m2，且m为正整数，m1或2，当m1时，方程x2+2x0 的根x12，x20不符合题意；当m2时，方程x2+4x+40 的根x1x22符合题意；综上所述，m2【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当0时，方程有两个实数根”5（2019昌平区二模）已知：关于x的一元二次方程x24x+m+10有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）写出一个
4、满足条件的m的值，并求此时方程的根【答案】解：（1）一元二次方程有两个不相等实根，164（m+1）0，124m0，m3；（2）当m1时，x（x4）0，x10，x24【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键6（2019通州区三模）解不等式组4(x+2)6x+9x+1135-x，并写出它的所有非负整数解【答案】解：4(x+2)6x+9x+1135-x解不等式得x-12；解不等式得x1；原不等式组的解集为-12x1，原不等式组的所有非负整数解为0，1【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集7（20
5、19昌平区二模）解不等式组：5x-23(x+2)，x+532x.【答案】解：5x-23(x+2)x+532x，由可得：x4；由可得：x1；所以不等式组的解集为：1x4【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）8（2019朝阳区二模）关于x的方程mx22mx+m+n0有两个实数根（1）求实数m，n需满足的条件；（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根【答案】解：（1）关于x的方程mx22mx+m+n0有两个实数根，m0，（2m）24m（m+n）4mn0，mn0实数m，n需满
6、足的条件为mn0且m0（2）答案不唯一，如：m1，n0此时方程为x22x+10解得x1x21【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根9（2019朝阳区二模）解不等式组2(x-1)4x+1，x+22x，并写出它的所有整数解【答案】解：原不等式组为2(x-1)4x+1，x+22x解不等式得，x-32解不等式得，x2原不等式组的解集为-32x2，原不等式组的所有整数解为1，0，1【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共
7、解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了10（2019东城区二模）关于x的一元二次方程x2mx+m10（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围【答案】（1）证明：依题意，得（m）24（m1）（m2）20，（m2）20，方程总有两个实数根；（2）x2mx+m10，（x1）（xm+1）0，x11，x2m1，方程有一个根大于3，m13，m4m的取值范围是m4【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根11（2019顺义
8、区二模）解不等式组2(x+1)x+5x+73x+3，并写出它的非负整数解【答案】解：解不等式得x3，解不等式得x1，此不等式组的解集是1x3，此不等式组的非负整数解是0，1，2【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键12（2019西城区二模）解方程：xx+1=1+1x【答案】解：去分母得：x2x2+x+x+1，解得：x=-12，经检验x=-12是分式方程的解【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13（2019海淀区二模）关于x的一元二次方程x2（2k1）
9、x+k210，其中k0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当k1时，求该方程的根【答案】解：（1）依题意可知，（2k1）24（k21）54k，k0，0方程有两个不相等的实数根（2）当k1时，方程为x2+3x0解得x13，x20【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根14（2019海淀区二模）解不等式组：4x-82(x-1)，x+1023x【答案】解：4x-82(x-1)x+1023x解不等式，得x3解不等式，得x2原不等式组的解集为x2【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌
10、握运算法则是解本题的关键15（2019平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+14k2=0 有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）当k取最小整数时，求此时方程的解【答案】解：关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+14k2=0 有两个不相等的实数根，（k+1）2414k20，k-12；（2）k取最小整数，k0，原方程可化为x2+x0，x10，x21【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根16（2019平谷区二模）解不等式组：2(x-3)x-4x-2
11、3x并求非负整数解【答案】解：2(x-3)x-4x-23x解不等式得：x2，解不等式得：x1，不等式组的解集为1x2，不等式组的非负整数解是0，1，2【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键17（2019石景山区二模）已知关于x的一元二次方程（m2）x2+3x10有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m，并求出此方程的根【答案】解：（1）由题意可得 b24ac324（m2）（1）0，9+4m80，解得 m-14，又m20，m2m的取值范围：m-14且m2；（2）方程的两个根都是
12、有理数，b2-4ac为有理数且不为0，即4m+1为有理数且不为0，取即4m+1=1，m0，当m0时，原方程化为2x23x+10，解得x11，x22【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键18（2019大兴区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m）x+（m3）0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）请你给m赋一个值，并求此时方程的根【答案】（1）证明：依题意，得（2m）241+（m3）（m4）2（m4）20，方程总有两个实数根；（2）解：当m3时，解方程x2x0解得x10，x21【点睛】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac
13、有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根19（2019大兴区一模）解不等式组：-3x+5212(x+1)13x+1【答案】解：-3x+5212(x+1)13x+1解不等式，得x1，解不等式，得x3，不等式组的解集为x1【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集20（2019怀柔区一模）已知关于x的方程x22x+m20有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值【答案】解：（1）方程有两个不相等的实数根44（m2）0m3；（2）m
14、3 且 m为正整数，m1或2当 m1时，原方程为 x22x10它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m2时，原方程为 x22x0x（x2）0x10，x22符合题意综上所述，m2【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键21（2019丰台区一模）已知关于x的一元二次方程x2（m+3）x+m+20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值【答案】解：（1）（m+3）24（m+2）（m+1）20，方程总有两个实数根；（2）x=(m+3)(m+1)22，x1m+2，x21方程两个根的绝对值相等，m+21m3或1【点睛】本
15、题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键22（2019丰台区一模）解不等式组：3(x-1)2x+1，x-12x+4.【答案】解：由，得x4，由，得x9，此不等式组的解集是9x4【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键23（2019朝阳区一模）解分式方程：3x-2-x2x-4=12【答案】解：去分母得：6xx2，解得：x4，经检验x4是分式方程的解【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验24（2019石景山区一模）解不等式组：x-13(x-3)xx+52【答案】
16、解：解不等式x13（x3），得x4解不等式xx+52，得x5原不等式组的解集为x5【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键25（2019海淀区一模）关于x的一元二次方程ax2+2ax+c0（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根【答案】解：（1）根据题意得，a0且4a24ac0，4a（ac）0，ac；（2）把x0代入原方程得出c0，方程为ax2+2ax0，ax（x+2）0，该方程的另一个根为2【点睛】本题考查了根的判别式b24ac当0，方程有两个
17、不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了解一元二次方程26（2019顺义区一模）关于x的一元二次方程x24x+m10有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值【答案】解：（1）164（m1）4m+20，原方程有两个不相等的实数根，4m+200，解得m5；（2）符合条件的m的正整数值是1，2，3，4，当m1时，该方程为x24x0，根都是整数；当m2时，该方程为x24x+10，根不是整数；当m3时，该方程为x24x+20，根不是整数；当m4时，该方程为x24x+30，根都是整数；所以符合条件的m的值为1，4【点睛】
18、本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将m1，2，3，4分别代入原方程求出x的值27（2019东城区一模）解不等式组：x+2(1-2x)-41+3x2x【答案】解：x+2(1-2x)-41+3x2x由得x2；由得x1；故不等式组的解集为1x2【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键28（2019海淀区一模）解不等式组：5x-12(x+1)3x+24x【答案】解：5x-12(x+1)3x+24x由得x1；由得x2；故
19、不等式组的解集为1x2【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键29（2019西城区一模）解不等式组：4(2x-1)3x+13x-85x【答案】解：4(2x-1)3x+13x-85x，解不等式得：x1，解不等式得：x4，所以不等式组的解集为：4x1【点睛】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了30（2019石景山区一模）关于x的一元二次方程x2（m+3）x+m+20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的
20、两个实数根都是正整数，求m的最小值【答案】（1）证明：依题意，得（m+3）24（m+2）m2+6m+94m8m+1）2（m+1）20，0方程总有两个实数根（2）解：解方程，得x11，x2m+2，方程的两个实数根都是正整数，m+21m1m的最小值为1【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键31（2019北京一模）关于x的一元二次方程x2+（m3）x3m0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根【答案】（1）证明：（m3）241（3m），m26m+9+12m，（m+3）2，无
21、论m取任何实数，（m+3）20，即0，原方程总有两个实数根（2）解：（m+3）2，由求根公式，得x1=-(m-3)+(m+3)221，x2=-(m-3)-(m+3)221，原方程的根为：x13，x2m，方程的两个根都是整数，取m1，方程的两根为x13，x21【点睛】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键32（2019北京一模）解不等式组：3(x-1)x+1x-32-4【答案】解：3(x-1)x+1x-32-4解不等式，得 x2，解不等式，得x，原不等式组的解集为5x2【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找
22、，大大小小解不了33（2019保定二模）已知关于x的一元二次方程x2+（k1）x+k20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围【答案】解：（1）（k1）24（k2）k22k+14k+8（k3）2（k3）20，方程总有两个实数根3（2）x=-(k-1)(k-3)22，x11，x22k方程有一个根为正数，2k0，k2【点睛】考查了根的判别式体现了数学转化思想，属于中档题目34（2019通州区一模）关于x的一元二次方程x2+2x（n1）0有两个不相等的实数根（1）求n的取值范围；（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根【答案】解：（1）根据题意得224（n
23、1）0，解得n0；（2）因为n为取值范围内的最小整数，所以n1，方程化为x2+2x0，x（x+2）0，x0或x+20，所以x10，x22【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根35（2019平谷区一模）解不等式组：2(x+1)3x-1x+121【答案】解：2(x+1)3x-1x+121由得x3；由得x1不等式组的解集为1x3【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解36（2019通州
24、区一模）解不等式组：3x+24xx2-132【答案】解：3x+24xx2-132解不等式得：x2，解不等式得：x5，不等式组的解集为x5【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键37（2019房山区一模）解不等式组：3x-2x2x+15x+12【答案】解：3x-2x2x+15x+12解不等式得x1；解不等式得x3；不等式组的解集是：3x1【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解38（2019延庆区一模）已知，关于x的一元二次方程x2+（a1）xa0（1）求证：方程总有两个实数
25、根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围【答案】（1）证明：x2+（a1）xa0是关于x的一元二次方程，（a1）2+4aa2+2a+1（a+1）20，方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式得，x=-(a-1)(a+1)2，x11，x2a，该方程有一个根是负数，a0，a0【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键39（2019延庆区一模）解不等式组：3(x+1)2x+1x+724x，并写出它的所有整数解【答案】解：3(x+1)2x+1x+724x，解不等式，得x2，解不等式，得x1，不等式组的解集为2x1，原不等式所有
26、整数解为1，0【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键40（2019怀柔区二模）解方程：xx-2+12-x=3【答案】解：方程整理得：xx-2-1x-2=3，去分母，得x13x6，解得：x=52，经检验，原方程的解为x=52【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验41（2019门头沟区二模）已知：关于x的一元二次方程x24x+2m0有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值【答案】解：（1）关于x的一元
27、二次方程x24x+2m0有两个不相等的实数根，0（4）2412m0，解得m2；（2）m2且m为非负整数，m0或m1当m0时，方程为x24x0，解得方程的根为x10，x24，符合题意；当m1时，方程为x24x+0，它的根不是整数，不合题意，舍去综上所述，m0【点睛】考查了根的判别式一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立42（2019怀柔区一模）解不等式组3(x-1)5x+12x9-x4并写出它的所有整数解【答案】解：3(x-1)5x+12x9-x4，解不
28、等式，得x2，解不等式，得x1，不等式组的解集为2x1，不等式组的整数解有2、1、0【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键43（2019门头沟区一模）已知关于x的方程mx2+（3m）x30（m为实数，m0）（1）求证：此方程总有两个实数根（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值【答案】解：（1）（3m）24m（3）m26m+9+12mm2+6m+9（m+3）20此方程总有两个不相等的实数根（2）由求根公式，得x=-(3-m)(m+3)2m，x11，x2=-3m（m0）此
29、方程的两个实数根都为正整数，整数m的值为1或3【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型44（2019东城区一模）若关于x的一元二次方程x23x+a20有实数根（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解【答案】解：（1）关于x的一元二次方程x23x+a20有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得a174；（2）由（1）可知a174，a的最大整数值为4，此时方程为x23x+20，解得x1或x2【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键45（2019顺义区二模）已知：关于x的方程mx2+（m3）
30、x30（m0）（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值【答案】（1）证明：m0，方程mx2+（m3）x30（m0）是关于x的一元二次方程，（m3）24m（3）（m+3）2不论无论m为何值，（m+3）20，即0，方程总有两个实数根（2）解：mx2+（m3）x30，即（x+1）（mx3）0，x1=3m，x21m为正整数，且方程的两个根均为整数，m1或3【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法确定方程的根46（2019丰台区二模）已知关于x的一元二次方程（m2）
31、x2+2mx+m+30有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根【答案】解：（1）由题意知，（2m）24（m2）（m+3）0，解得：m6，又m20，即m2，则m6且m2；（2）由（1）知m5，则方程为3x2+10x+80，即（x+2）（3x+4）0，解得x2或x=-43【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系47（2019朝阳区一模）已知关于x的方程mx2+（2m1）x+m10（m0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值【答案】（1）
32、证明：m0，方程为一元二次方程，（2m1）24m（m1）10，此方程总有两个不相等的实数根；（2）x=-(2m-1)12m，x11，x2=1m-1，方程的两个实数根都是整数，且m是整数，m1或m1【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根48（2019东城区二模）解不等式2x-13-5x+121，并把它的解集在数轴上表示出来【答案】解：去分母得：2（2x1）3（5x+1）6，4x215x36，11x11，x1，在数轴上表示不等式的解集为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中