1、专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一解答题（共50小题）1（2019北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共点个数2（2019北京）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得
2、到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ONQP，并证明3（2019北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的
3、取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围4（2019北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD4，tanG，求AO的长5（2019怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形，如果在图形上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP2BQ，那么称点A与点B是图形的一对“倍点”已知O的半径为1，点B（0，3）（1）点B到O的最大值，最小值；在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，
4、与点B是O的一对“倍点”的是 ；（2）在直线yx+b上存在点A与点B是O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围6（2019东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）已知A（2，0），B（0，2）（1）求d（点O，直线AB）；（2）T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（T，直线AB）1，直接写出t
5、的取值范围；（3）记函数ykx，（1x1，k0）的图象为图形Q若d（Q，直线AB）1，直接写出k的值7（2019朝阳区二模）MON45，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）（1）如图，若OA1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆若OA1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当
6、线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度8（2019海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得ABC是以BC为斜边且BC2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系（M，N）（1）若图形X为一个点，图形Y为直线yx，图形X与图形Y具有关系（X，Y），则点，P2（1，1），P3（2，2）中可以是图形X的是 ；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X当图形Y为直线yx时，判断图形X与图形Y是否既具有关系（X，Y）又具有关系（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果
7、不是，请说明理由；当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的T时，若图形X与图形Y具有关系（X，Y），求t的取值范围9（2019丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”（1）已知M（3，），N（3，）在点C（2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是 ；点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知O的半径为1，若O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围10（
8、2019房山区二模）如图，在ABC中，ACB90，B4BAC延长BC到点D，使CDCB，连接AD，过点D作DEAB于点E，交AC于点F（1）依题意补全图形；（2）求证：B2BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明11（2019通州区三模）如图，已知线段AB6cm，过点B做射线BF且满足ABF40，点C为线段AB中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律
9、进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x （0x6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm6.04.73.94.15.16.68.4y2/cm6.05.34.74.23.94.1（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为 cm；（4）当x6时，是否存在x的值使得PDB为等腰三角形 （填“是”或者“否”）12（2019石景山区
10、二模）如图，在RtABC中，C90，点O在边AC上，O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DPBC交AB于点P（1）求证：PDPE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC2：1，CP13，求O的半径13（2019丰台区二模）如图1，M是圆中上一定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC已知AB5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C两点的距离为y2cm小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分
11、别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm012345y1/cm2.553.153.954.764.954.30y2/cm2.552.642.67 1.132.55（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为 cm14（2019西城区二模）对于平面内的MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于MAN的“偏率”在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N分别为x轴正
12、半轴，y轴正半轴上的两个点若点P的坐标为（1，5），则点P关于MON的“偏率”为 ；若第一象限内点Q（a，b）关于MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为 ；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）若点C关于AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），T是以点T为圆心，半径为1的圆若T上的所有点都在第一象限，且关于EOF的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围15（2019平谷区二模）如图，点P是半圆O中 上一动点，连接AP，作APC45，交弦AB于点C已知AB
13、6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm01.212.09m2.992.820y2/cm00.871.572.202.833.616经测量m的值是 （保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2
14、的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）16（2019通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|mn|），则称点M为P，Q的跟随点（1）若m0，当n3时，P，Q的跟随点的坐标为 ；写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；记函数ykx1（1x1，k0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）A的圆心为A（0，2），半径为1，若A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围17（2019昌平区二模）如图，在AB
15、C中，C90，ACBC，AB6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CGAB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24（2）在同一平面直
16、角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为 cm18（2019昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”小明的作法如下：在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：ABAP 四边形A
17、BQP是菱形（ ）（填推理的依据）PQl19（2019房山区二模）如图，在ABC中，ABC90，CAB30，AB4.5cmD是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E设ADxcm，CEycm（当点D与点A或点B重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.65.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3
18、）结合画出的函数图象，解决问题：当CE2AD时，AD的长度约为 cm（结果保留一位小数）20（2019房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，MON，点A在射线OM上，点B在MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a点P到A，B两点的距离相等；b点P到MON的两边的距离相等小明的作法是：连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；作MON的平分线交EF于点P所以点P即为所求根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，PA OP平分MON，点P到MON的两边
19、的距离相等 （填推理的依据）所以点P即为所求21（2019昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到C的“圆距离”，记作d（MC）（1）点C在原点O时，记点A（4，3）为图形M，则d（MO） ；点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（MO） ；记函数ykx+4（k0）的图象为图形M，且d（MO）1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记AOB为图形M，且d（MC）1，直接写出t的值22（2019通州区
20、三模）已知：如图，MAN90，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b下面是小东设计的尺规作图过程作法：如图，以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于MAN内部的点C；分别连接BC，DC所以四边形ABCD就是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AB ；AD ；四边形ABCD是平行四边形MAN90；四边形ABCD是矩形（填依据 ）23（2019西城区二模）如图，AB是O的直径，CA与
21、O相切于点A，且CABA连接OC，过点A作ADOC于点E，交O于点D，连接DB（1）求证：ACEBAD；（2）连接CB交O于点M，交AD于点N若AD4，求MN的长24（2019昌平区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AEBC于点E，延长BC至F，使CFBE，连接DF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF8，DF4，求CD的长25（2019通州区三模）如图，在RtABC中，C90，AE是ABC的角平分线AE的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作O，交AB于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若AC2，tanB，求O的半径r的值26（2019房
22、山区二模）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DFAC，CFBD（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD5，BD8，计算tanDCF的值27（2019昌平区二模）如图，在RtABC中，C90，以AC为直径的O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，ADQDOQ（1）求证：PD是O的切线；（2）若AQAC，AD2时，求BP的长28（2019通州区三模）如图，在ABCD中，AEBC于点E，过点D作DFAE，交BC的延长线于点F，连接AF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AD8，tanB，CF，求AF的长29（2019门头沟区二模）如图1，E为半圆O直径A
23、B上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分CAB交BC于点D，连接CE和DE如果AB6cm，AC2.5cm，设A，E两点间的距离为xcm，C，E两点间的距离为y1cm，D，E两点间的距离为y2cm小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请将它补充完整：（1）按表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：x/cm0123456y1/cm2.502.272.47m3.734.565.46y2/cm2.972.201.681.692.192.973.85问题：上表中的m cm；（2）在同一平面直角坐标系x
24、Oy中（见图2），描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；（3）结合函数的图象，解决问题：当ACE为等腰三角形时，AE的长度约为 cm（结果精确到0.01）30（2019昌平区二模）在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到DCF，过点E作EGAC于点G，连接DG，FG（1）如图1，依题意补全图1；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当AGD60时，求BE的长31（2019东城区二模）如图，点B是所对弦DE上一动
25、点，点A在ED的延长线上，过点B作BCDE交于点C，连接AC，已知AD3cm，DE6cm，设A，B两点间的距离为xcm，ABC的面积为ycm2（当点B与点D，E重合时，y的值为0）小亮根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x3456789y04.477.079.008.940（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为 cm32（2019顺义区二模）如图，在半
26、圆弧中，直径AB6cm，点M是AB上一点，MB2cm，P为AB上一动点，PCAB交于点C，连接AC和CM，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，C、M两点间的距离为y2cm小东根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm02.453.464.905.486y2/cm43.743.463.162.832.452（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y
27、1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当ACCM时，线段AP的取值范围是 ；当AMC是等腰三角形时，线段AP的长约为 33（2019朝阳区二模）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交于点M，作射线PN交于点N，使得NPB45，连接MN已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与
28、x的几组对应值；x/cm0123456y/cm4.22.92.62.01.60（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN2AP时，AP的长度约为 cm34（2019顺义区二模）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）|x1x2|+|y1y2|例如：若点M（1，1），点N （2，2），则点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）|12|+|1（2）|3+36根据以上定义，解决下列问题：（1）
29、已知点P （3，2）若点A（2，1），则d（P，A） ；若点B（b，2），且d（P，B）5，则b ；已知点C（m，n）是直线yx上的一个动点，且d（P，C）3，求m的取值范围（2）F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），若F上存在点E，使d（E，O）2，直接写出t的取值范围35（2019平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P是C外一点，连接CP交C于点Q，点P关于点Q的对称点为P，当点P在线段CQ上时，称点P为C“友好点”已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）（1）当O的半径为1时，点A，B，C中是O“友好点”的是 ；已知点M在直线yx+2 上，且点M是O“友好点”，求点M的
30、横坐标m的取值范围；（2）已知点D，连接BC，BD，CD，T的圆心为T（t，1），半径为1，若在BCD上存在一点N，使点N是T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围36（2019顺义区二模）已知：如图，在ABC中，ACB90，以BC为直径的O交AB于点D，E为的中点（1）求证：ACDDEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PBBO，DE2，求PE的长37（2019朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l上一点P求作：直线PQ，使得PQl作法：如图，在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上
31、方相交于点B；作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接BP， AP，点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上APQ90（ ）（填写推理的依据）即PQl38（2019门头沟区二模）如图，点C在O上，AB为直径，BD与过点C的切线垂直于D，BD与O交于点E（1）求证：BC平分DBA；（2）如果cosABD，OA2，求DE的长39（2019东城区二模）如图，O是ABC的外接圆，连接OC，过点A作ADOC交BC的延长线于点D，A
32、BC45（1）求证：AD是O的切线；（2）若sinCAB，O的半径为，求AB的长40（2019顺义区二模）下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程已知：ABC求作：BC边上的高线作法：如图2，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E；作直线DE，与AB交于点F，以点F为圆心，FA长为半径画圆，交CB的延长线于点G；连接AG所以线段AG就是所求作的BC边上的高线根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明证明：连接DA，DB，EA，EB，DADB，点D在线段AB的垂直平分线上（ ）（填推理的依据） ，点E在线段AB的垂直
33、平分线上DE是线段AB的垂直平分线FAFBAB是F的直径AGB90（ ）（填推理的依据）AGBC即AG就是BC边上的高线41（2019朝阳区二模）如图，在ABCD中，ABD90，延长AB至点E，使BEAB，连接CE（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE2，DAB30，求AF的长42（2019门头沟区二模）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程已知：如图1，线段a和线段b求作：ABC，使得ABAC，BCa，BC边上的高为b作法：如图2，作射线BM，并在射线BM上截取BCa；作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；以D为
34、圆心，b为半径作圆，交PQ于A；连接AB和AC则ABC就是所求作的图形根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BCa，ADbPQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，ABAC（ ）（填依据）又AD在线段BC的垂直平分线PQ上，ADBCAD为BC边上的高，且ADb43（2019东城区二模）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程已知：四边形ABCD是平行四边形求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）作法：以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；连接EF所以四边
35、形ABEF为所求作的菱形根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AFAB，BEAB， 在ABCD中，ADBC即AFBE四边形ABEF为平行四边形AFAB，四边形ABEF为菱形（ ）（填推理的依据）44（2019海淀区二模）下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程已知：在ABC中，C90求作：ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上作法：如图，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E所以线段DE就是所求作的中位线根据小宇设计的尺规作图过程，（1）
36、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，PAPC，QA ，PQ是AC的垂直平分线（ ）（填推理的依据）E为AC中点，ADDCDACDCA，又在RtABC中，有BAC+ABC90，DCA+DCB90ABCDCB（ ）（填推理的依据）DBDCADBDDCD为AB中点DE是ABC的中位线45（2019朝阳区二模）如图，ABC内接于以AB为直径的O，过点A作O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CECD，连接AE并延长，交O于点F，连接CF（1）求证：ACCF；（2）若AB4，sinB，求EF的长46（2019丰台区二模）下面是小
37、明主设计的“作一个含30角的直角三角形”的尺规作图过程已知：直线l求作：ABC，使得ACB90，ABC30作法：如图，在直线l上任取两点O，A；以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；连接AC，BC所以ABC就是所求作的三角形根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：在O中，AB为直径，ACB90（ ），（填推理的依据）连接OCOAOCAC，CAB60，ABC30（ ），（填推理的依据）47（2019海淀区二模）如图，AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，连接AC，BC，O
38、P，AC与OP相交于点D（1）求证：B+CPO90；（2）连结BP，若AC，sinCPO，求BP的长48（2019石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足hPQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”（1）已知点A（4，0）；若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；若RtABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y2x5上，则点B的坐标为 ；（2）T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线yx+4上一点，若存在RtMND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与T有公共点，直接写出点N的横坐标xN的取值范围49（2019海淀区二模）已知C为线段AB中点，ACMQ为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQkCP（1）若60，k1，如图1，当Q为BC中点时，求PAC的度数；直接写出PA、PQ的数量关系；（2）如图2，当45时探究是否存在常数k，使得中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由50（2019海淀区二模）如图，在ABCD中，BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE（1）求证：DADF；（2）若ADECDE30，DE2，求ABCD的面积