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专题3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-20届高中数学同步讲义人教版(必修4)

1、第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1两角差的余弦公式(1)公式内容:对于任意角,有cos()=_简记为C()(2)公式推导:利用三角函数线推导利用向量法推导2两角和的余弦公式(1)公式内容:对于任意角,有cos(+)=_简记为C(+)(2)公式推导:在公式C()中,将用来替换,并且注意到cos()=cos ,sin()=sin ,于是cos(+)=cos()=cos cos()+sin sin()=cos cos sin sin 即cos(+)=cos cos sin sin 3两角和与差的正弦公式(1)公式内容:对于任意角,有sin()=_简记为S()(2)公式推导

2、:运用差角的余弦公式C()及诱导公式,可得sin(+)=cos(+)=cos()=cos()cos +sin()sin =sin cos +cos sin 运用差角的余弦公式C(+)及诱导公式,可得sin()=cos()=cos()+=cos()cos sin()sin =sin cos cos sin 4两角和与差的正切公式(1)公式内容:tan()=_(,+k,kZ)简记为T()(2)公式推导:当cos(+)0时,将公式S(+),C(+)的两边分别相除,有tan(+)=,若cos cos 0,将上式的分子、分母分别除以cos cos ,得tan(+)=在T(+)中,将用来替换,可得tan(

3、)=tan+()=5二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2:sin 2=_(2)C2:cos 2=cos2sin2=_=12sin2(3)T2:tan 2=_(k+且+,kZ)6二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用:S2:2sin cos =sin 2;sin =;C2:cos2sin2=2cos21=12sin2=cos 2;T2:=tan 2;=tan 2()(2)配方变形:1sin 2=2sin cos =(sin cos )2(3)因式分解变形:cos 2=cos2sin2=(cos +sin )(cos sin )(4)升幂公式:1+cos =2cos2;1cos =2sin2;

4、1+sin =(sin+cos)2;1sin =(sincos)2(5)降幂公式:sin2=;cos2=;sin cos =sin 2(6)三倍角公式:sin 3=3sin 4sin3;cos 3=4cos33cos ;(简记为:正弦三减四,余弦四减三,立方总在四后边)tan 3=K知识参考答案:1cos cos +sin sin 2cos cos sin sin 3sin cos cos sin 45(1)2sin cos (2)2cos21(3)K重点1熟练应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式;2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余

5、弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;K难点会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;K易错掌握三角函数的和差公式,二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键1两角和与差的正、余弦公式【例1】cos的值为ABCD【答案】C【解析】cos=cos()=cos+sin故选C【解题必备】S():sin()=sin cos cos sin C():cos()=cos cos sin sin 【例2】求值:sin460sin(160)+cos560cos(280)【答案】【解析】sin460sin(160)+cos560cos(280)=sin100sin160+cos200co

6、s280=sin80sin20cos20cos80=(cos80cos20+sin80sin20)=cos(8020)=cos60=2两角和与差的正切公式【例3】已知,则tan=_【答案】【解析】由,得tan=【解题必备】T():tan()=(,+k,kZ)3二倍角的正弦、余弦、正切公式【例4】已知,则tan2=AB2CD【答案】D【解析】,cos2sin2=,又cos2+sin2=1,cos2=,sin2=,tan2=故选D【解题必备】S2:sin 2=2sin cos C2:cos 2=cos2sin2=2cos21=12sin2T2:tan 2=(k+且+,kZ)【例5】若tan(+)=

7、3,则cos2+2sin2=AB1CD【答案】B【解析】由tan(+)=3,解得tan=2,cos2+2sin2=+ +=1故选B4三角函数式的化简(1)三角函数式的化简原则一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的转化,再使用公式二看“函数名”,看函数名之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”三看式子“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等(2)三角函数式的化简要求使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;式子中的分母尽量不含三角函数;尽量使被开方数不含三角函数等(3)三角

8、函数式的化简方法异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化;“1”的代换,三角公式的正用、逆用【例6】已知cos(x)=,则cosx+cos(x)=A1B1CD【答案】B【解析】cos(x)=,cosx+cos(x)=cosx+cosx+sinx=(cosx+sinx)=cos(x)=1故选B【例7】已知cos(+x)=,若x,求的值【答案】【解析】解法一:由x,得x+2又cos(+x)=,所以sin(+x)=,所以cosx=cos(+x)=cos(+x)cos+sin(+x)sin=,从而sinx=,tanx=7则=解法二:由解法一得tan(+x)=又sin2x=cos(+2x)=cos2

9、(+x)=2cos2(+x)+1=+1=则=sin2x=sin2xtan(x+)=()=5求角时选择三角函数类型不当导致错误【例8】已知sin=,sin=,和都是锐角,则+=ABC或D【答案】A【解析】因为和都是锐角,且sin=,sin=,所以cos=,cos=,cos(+)=coscossinsin=又+(0,),所以+=故选A1sin15+cos15的值为ABCD2若sinsin=1,则cos()的值为A0B1C1D13把可化简为ABCD4计算sin15sin75的结果是ABCD5已知,则=ABCD6已知直线3xy+1=0的倾斜角为,则tan(+)=A2BC2D7已知sin(+)=,则co

10、s2=ABCD8=ABCD9已知,为第二象限的角,cos()=,sin(+)=,则sin(+)的值为ABCD10若2tan=1,tan=2,则tan(+)=_11若2tan=tan420,则=_12计算:sin163sin223+sin253sin31313已知sin()=,则cos(+)+sin(+)=A0BCD14化简cos2()cos2(+)=AsinxBsinxCcosxDcosx15已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点P(1,2),则tan2等于ABCD16若=3,则cos2=ABCD17已知sin()=,则cos(2+)=ABCD18若,则的值为ABCD19

11、若,则sin2cos=ABCD20已知cos=,cos()=,且0,那么=ABCD21若,则的值为ABCD22已知,(1)求的值;(2)求tan2的值23(1)设为锐角,若cos()=,求sin(2)的值;(2)已知:cos(+)=3sin(),求的值24已知,(1)求tan2的值;(2)求的值25已知,都是锐角,sin=,sin(2)=(1)求cos的值;(2)求sin()的值262017全国卷文已知sincos=,则sin2=ABCD272016山东卷理函数f(x)=(sinx+cosx)(cosxsinx)的最小正周期是ABCD2282016全国卷文已知是第四象限角,且sin(+)=,则

12、tan()=_292018浙江卷已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(,)(1)求sin(+)的值;(2)若角满足sin(+)=,求cos的值12345678913ABDBBAAABC14151617181920212627ADBDDBCBAB1【答案】A【解析】解法一:sin15+cos15=,故选A解法二:(sin15+cos15)2=,所以sin15+cos15的值为,故选A2【答案】B【解析】由sinsin=1,得coscos=0,cos()=coscos+sinsin=0+1=1故选B3【答案】D【解析】=sinxcoscosxsin(sinxcos+c

13、osxsin)=2cosxsin=cosx故选D4【答案】B【解析】sin15sin75=sin15cos15=sin30=故选B5【答案】B【解析】,故选B6【答案】A【解析】直线3xy+1=0的倾斜角为,tan=3,则tan(+)=2,故选A7【答案】A【解析】sin(+)=cos,则cos2=2cos21=21=,故选A8【答案】A【解析】=sin30=故选A9【答案】B【解析】,为第二象限的角,cos()=,sin(+)=,为钝角,+为钝角,sin()=,cos(+)=,则sin(+)=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()cos()=+()=,故选B10【答案】【解析

14、】2tan=1,tan,又tan=2,tan(+)=故答案为:11【答案】【解析】2tan=tan420=tan60=,tan=,=3,故答案为:12【答案】【解析】sin163sin223+sin253sin313=sin(18017)sin(180+43)+sin(180+73)sin(36047)=sin17sin43+sin73sin47=sin17sin43+cos17cos43=cos(17+43)=cos60=13【答案】C【解析】由于sin()=,则=cos()=,所以cos(+)+sin(+)=2cos()=,故选C14【答案】A【解析】cos2()cos2(+)=cosxc

15、os+sinxsin(cosxcossinxsin)=2sinxsin=2sinxsin=sinx,故选A15【答案】D【解析】角的终边经过点P(1,2),x=1,y=2,r=|OP|=,sin=,cos=,tan=2,则tan2=故选D16【答案】B【解析】若=3,则tan=8,cos2=,故选B17【答案】D【解析】sin()=,则cos(2+)=cos(2+)=cos(2)=1+2,故选D18【答案】D【解析】sin(x)=sin(x)=,sin(x)=,sin(2x+)=sin(2x+)=cos(2x)=cos2(x)=12sin2(x)=12()2=故选D19【答案】B【解析】由,可

16、得sin2coscos2sin=;由,可得sin2cos+cos2sin=两式相加,得2sin2cos=,所以sin2cos=故选B20【答案】C【解析】由0,得到0,因为cos=,cos()=cos()=,所以sin=,sin()=sin()=,则cos=cos()+=cos()cossin()sin=(),所以=故选C21【答案】B【解析】,cos()=,=cos2()=故选B22【答案】(1);(2)【解析】(1),sin,=coscos+sinsin;(2)tan=,tan2=23【解析】(1)因为为锐角,cos()=,所以sin()=,则sin(2)=2sin()cos()=2(2)

17、由已知得cos(+)=3sin(),则sin=3sin(),即sin=3sin(),所以sin()=3sin()+,所以,整理得:24【解析】(1)由,得cos=,;(2),25【解析】因为,都是锐角,所以,且,所以,(1);(2)26【答案】A【解析】将sincos=的两边进行平方,得sin22sincos+cos2=,即sin2=,故选A27【答案】B【解析】通性通法由题意,得f(x)=3sinxcosxsin2x+cos2xsinxcosx=sin2x+cos2x=2sin(2x+)故该函数的最小正周期T=故选B光速解法由题意,得f(x)=2sin(x+)2cos(x+)=2sin(2x+)故该函数的最小正周期T=故选B28【答案】【解析】方法一:因为sin(+)=,所以cos()=sin+()=sin(+)=,因为为第四象限角,所以+2k2k,kZ,所以+2k2k,kZ,所以sin()=,所以tan()=方法二:因为是第四象限角,且sin(+)=,所以+为第一象限角,所以cos(+)=,所以tan()=29【解析】(1)由角的终边过点P(,),得sin=,所以sin(+)=sin=(2)由角的终边过点P(,),得cos=,由sin(+)=,得cos(+)=由=(+),得cos=cos(+)cos+sin(+)sin,所以cos=或cos=