1、第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念1数系的扩充计数的需要自然数（正整数和零），负数，分数（分数集有理数集循环小数集），无理数（无理数集无限不循环小数集），虚数2复数的概念（1）复数的引入：为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数，规定：，即使是方程的根；实数可以和数进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立在此规定下，实数与相加，结果记作；实数与相乘，结果记作；实数与实数和相乘的结果相加，结果记作由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运算的结果都可以写成的形式说明：和是方程的两个根（2）复数的概念：我们把集合中的数，即形如的数叫做复数，其中叫做
2、_全体复数所成的集合叫做_（3）复数的代数形式：复数通常用字母表示，即，这一表示形式叫做复数的代数形式对于复数，以后不作特殊说明，都有，其中的与分别叫做复数的_与_3复数相等在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是_且_注意：应用复数相等的充要条件时应先将复数化为的形式，即分离实部和虚部，再应用复数相等的充要条件列方程组求解4复数的分类对于复数，当且仅当时，它是实数；学+科网当且仅当时，它是实数；当时，叫做_；当且时，叫做_显然，实数集是复数集的真子集这样，复数可以分类如下：复数复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示：5复数与复平面内的点的一一对应根据复数相等的定义
3、，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定如图所示，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示_由此可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应即复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数复平面内的点_，这是复数的一种几何意义注意：复数的实质是有序实数对；复平面内的虚轴上的单位长度是，而不是；当且时，是纯虚数，所以虚轴上的点都表示纯虚数；复数中的书写时应小写；复平面内点中的书写时应大写6复数与平面向量
4、的一一对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的这样就可以用平面向量来表示复数如图所示，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定因此，复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的（实数0与零向量对应），即复数平面向量_，这是复数的另一种几何意义为了方便，常把复数说成点或向量，并规定相等的向量表示同一个复数7复数的模的定义向量的模叫做复数的模，记作或如果，那么是一个实数，它的模等于（就是的绝对值）由模的定义可知：_K知识参考答案：2虚数单位 虚数集 实部 虚部3 4虚数 纯虚数5纯
5、虚数 67K重点复数的分类、复数相等K难点复数的几何意义与复数的模K易错对复数分类时忽略复数的实部、虚部要有意义，对纯虚数的概念把握不准复数的分类已知复数，其中为虚数单位，（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若复数是纯虚数，求实数的值【答案】（1）或；（2）【名师点睛】依据复数的分类求参时要先确定定义域，再结合实部与虚部的取值求解要特别注意复数为纯虚数的充要条件是且复数相等求使等式成立的实数的值【答案】，【解析】由复数相等的充要条件可得，解得故等式成立时，【名师点睛】复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相
6、等列方程（组）求解复数与复平面内的点的一一对应当实数取何值时，复平面内，复数的对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线上【答案】（1）；（2）或；（3）（2）点在虚轴上，则，解得或，故当或时，复数的对应点在虚轴上（3）点在直线上，则，即，解得故当时，复数的对应点在直线上【名师点睛】复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值复数与平面向量的一一对应已知平面直角坐标系中是原
7、点，向量，对应的复数分别为，那么向量对应的复数是ABCD【答案】C【解析】向量，对应的复数分别为，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量，由向量减法的坐标运算可得向量，所以向量对应的复数是故选C【名师点睛】（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；（2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化学！科网复数模的几何意义及其应用设，满足下列条件的点的集合表示的是什么图形？（1）；（2）【
8、答案】（1）以原点为圆心、2为半径的圆；（2）以原点为圆心、3和5为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界【解析】（1）因为，即，所以满足的点的集合是以原点为圆心、2为半径的圆，如图1所示图1图2（2）不等式可化为不等式组，不等式的解集是外部所有的点组成的集合，不等式的解集是内部所有的点组成的集合，以上两个集合的交集就是不等式组的解集因此，满足条件的点的集合是以原点为圆心、分别以3和5为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图2所示【名师点睛】根据复数的几何意义及复数模的定义可知，复数的模的几何意义就是复平面内点到原点的距离解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：表示点到原点的
9、距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形；利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决对复数分类时忽略复数的实部、虚部要有意义实数取何值时，复数是实数？【错解】因为复数是实数，所以虚部为0，即，解得或故当或时，复数是实数【错因分析】错解中忽略了实部是分式，分母不为0这一限制条件，产生了增解【正解】因为复数是实数，所以虚部为0，即，解得或又分式有意义时，所以，故当时，复数是实数【名师点睛】讨论一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都是有意义的对纯虚数的概念把握不准实数取何值时，复数是纯虚数？【错解】因为复数是纯虚数，所以实部为0，即，解得或故当或时，复
10、数是纯虚数【错因分析】错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为0”这一条件，从而产生了增解【正解】因为复数是纯虚数，所以实部为0，虚部不为0，即且，解得故当时，复数是纯虚数【名师点睛】复数为纯虚数的充要条件是且，二者缺一不可1复数的虚部为ABCD2已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3如果为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为ABCD或4已知复数，若，其中为虚数单位，则ABCD5已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是ABCD6已知为虚数单位，若，其中，是实数，则ABCD7已知复数在复平面内对应的点为，则ABC是
11、纯虚数D8若复数的实部与虚部相等，其中是实数，为虚数单位，则ABCD9已知复数，其中为虚数单位，则_10若复数，分别对应复平面上的点，则向量对应的复数为_11已知复数，其中为虚数单位，若是纯虚数，则实数_12已知复数，其中为虚数单位，若复数复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是_13在复平面内，一个正方形的三个项点对应的复数分别是，则该正方形的第四个顶点对应的复数为_学+科网14（1）已知，其中为虚数单位，求实数，的值；（2）如果，其中为虚数单位，求实数，的值15已知复数，其中为虚数单位（1）若复数是实数，求实数的值；（2）若复数是纯虚数，求实数的值16如果复数是纯虚数，其中为虚数单
12、位，则实数的值为ABC或D或17若，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限18已知复数，则“”是“为纯虚数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件19平行四边形中，点，分别对应复数，则点D对应的复数为ABCD20已知复数，其中为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点的轨迹是A圆B椭圆C双曲线D抛物线21已知，为虚数单位，且，则的最小值为ABCD22已知为虚数单位，现有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则；：复数与，在复平面内对应的点关于实轴对称其中的真命题为ABCD23已知为虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点
13、位于第_象限24若复数在复平面内对应的点位于第四象限，其中为虚数单位，则实数的取值范围为_25已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，其中为虚数单位，若，则复数_26已知，复数，其中为虚数单位（1）若复数为实数，求实数m的值；（2）若复数为纯虚数，求实数m的值；（3）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围1【答案】C【解析】因为复数，所以复数的虚部为，故选C2【答案】B【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B3【答案】B【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，故选B5【答案】A【解析】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以，解得，故实数的取值范围是故
14、选A6【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选B7【答案】D【解析】因为复数在复平面内对应的点为，则，所以A错误，D正确；，B不正确；不是纯虚数，C不正确故选D8【答案】D【解析】因为复数的实部与虚部相等，所以，解得，所以故选D9【答案】【解析】因为复数，所以10【答案】【解析】由题可得，所以，所以向量对应的复数为11【答案】【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得12【答案】【解析】因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以，解得，故实数的取值范围是14【答案】（1），；（2），【解析】（1）因为，所以，解得，（2）因为，所以，解得，15【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为复数是实数，所
15、以，解得或（2）因为复数是纯虚数，所以，解得16【答案】A【解析】因为复数是纯虚数，所以且，解得，故选A17【答案】D【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D18【答案】A【解析】若复数为纯虚数，则，解得或；因为是或的真子集，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，故选A20【答案】D【解析】因为，所以，即，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是抛物线故选D21【答案】A【解析】设，因为，所以，易得，因为，所以的最小值为，即的最小值为故选A22【答案】D【解析】对于：由，得，则，故是假命题；对于：因为，根据复数相等的概念可得，即，故为真命题；对于：若复数，则，故是假命题；对于：复数与，的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故是真命题故选D23【答案】四【解析】复数在复平面内对应的点为，因为，所以，点位于第四象限故复数在复平面内对应的点位于第四象限25【答案】【解析】因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以，因为，所以=2，解得或（舍去），所以26【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为复数为实数，所以，解得（2）因为复数为纯虚数，所以当，解得（3）因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得，故实数的取值范围为TheEnd下节见