1、专题19 几何探究型问题1（2019北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围【解析】（1）如图2，以DE为直径的半圆
2、弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A=90，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC4=2，弧2=（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OA=OC，AOC=90，ACO=45，DEOC，AED=ACO=45，作EGAC交直线FP于G，FG=EF，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，m，综上所述，m或m1如图4，设圆心
3、P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBC，ADE=AOB=90，AE，PD=PE，AED=PDE，AED+DAE=PDE+ADP=90，DAE=ADP，AP=PD=PEAE，由三角形中内弧定义知，PDPM，AE，AE3，即3，解得：t，t0，0t【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题2（2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，ABO=30矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，O
4、D=2（）如图，求点E的坐标；（）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点C，O，D，E的对应点分别为C，O，D，E设OO=t，矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE，ED分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当S5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）【解析】（）点A（6，0），OA=6，OD=2，AD=OA-OD=6-2=4，四边形CODE是矩形，DEOC，AED=ABO=30，在RtAED中，AE=2AD=8，ED4，OD=2，点E的坐标为（2，4）（）由平移的性质得：OD=2，ED=4，M
5、E=OO=t，DEOCOB，EFM=ABO=30，在RtMFE中，MF=2ME=2t，FEt，SMFEMEFEtt，S矩形CODE=ODED=248，S=S矩形CODE-SMFE=8，St2+8，其中t的取值范围是：0tAB以点O为圆心，OB长为半径作O，O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，BPC=90，点P不能再矩形外，BPC的顶点P1或P2位置时，BPC的面积最大，作P1EBC，垂足为E，则OE=3，AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8（3）可以，如图所示，连接BD，A为BCDE的对称中心，BA=50，CBE=120，BD=100，BED=6
6、0，作BDE的外接圆O，则点E在优弧上，取的中点E，连接EB，ED，则EB=ED，且BED=60，BED为正三角形连接EO并延长，经过点A至C，使EA=AC，连接BC，DC，EABD，四边形ED为菱形，且CBE=120，作EFBD，垂足为F，连接EO，则EFEO+OA-EO+OA=EA，SBDEBDEFBDEA=SEBD，S平行四边形BCDES平行四边形BCDE=2SEBD=1002sin60=5000（m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m2【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，
7、属于中考压轴题4（2019海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q（1）求证：PDEQCE；（2）过点E作EFBC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由【解析】（1）四边形ABCD是正方形，D=ECQ=90，E是CD的中点，DE=CE，又DEP=CEQ，PDEQCE（2）PB=PQ，PBQ=Q，ADBC，APB=PBQ=Q=EPD，PDEQCE，PE=QE，EFBQ，PF=BF，在RtPAB中，AF=PF=BF，APF=PAF，
8、PAF=EPD，PEAF，EFBQAD，四边形AFEP是平行四边形；四边形AFEP不是菱形，理由如下：设PD=x，则AP=1-x，由（1）可得PDEQCE，CQ=PD=x，BQ=BC+CQ=1+x，点E、F分别是PQ、PB的中点，EF是PBQ的中位线，EFBQ，由知AP=EF，即1-x，解得x，PD，AP，在RtPDE中，DE，PE，APPE，四边形AFEP不是菱形【名师点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点5（2019江西）在图1，2，3中，已知ABCD，ABC=120，点E为线段BC上的动点
9、，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且EAG=120（1）如图1，当点E与点B重合时，CEF=_；（2）如图2，连接AF填空：FAD_EAB（填“”“”“=”）；求证：点F在ABC的平分线上（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值【解析】（1）四边形AEFG是菱形，AEF=180-EAG=60，CEF=AEC-AEF=60，故答案为：60（2）四边形ABCD是平行四边形，DAB=180-ABC=60，四边形AEFG是菱形，EAG=120，FAE=60，FAD=EAB，故答案为：=如图，作FMBC于M，FNBA交BA的延长线于N，
10、则FNB=FMB=90，NFM=60，又AFE=60，AFN=EFM，EF=EA，FAE=60，AEF为等边三角形，FA=FE，在AFN和EFM中，AFNEFM（AAS）FN=FM，又FMBC，FNBA，点F在ABC的平分线上（3）如图，四边形AEFG是菱形，EAG=120，AGF=60，FGE=AGE=30，四边形AEGH为平行四边形，GEAH，GAH=AGE=30，H=FGE=30，GAN=90，又AGE=30，GN=2AN，DAB=60，H=30，ADH=30，AD=AH=GE，四边形ABCD为平行四边形，BC=AD，BC=GE，四边形ABEH为平行四边形，HAE=EAB=30，平行四边
11、形ABEN为菱形，AB=AN=NE，GE=3AB，3【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键6（2019宁夏）如图，在ABC中，A=90，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x（1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值【解
12、析】（1）MQBC，MQB=90，MQB=CAB，又QBM=ABC，QBMABC（2）当BQ=MN时，四边形BMNQ为平行四边形，MNBQ，BQ=MN，四边形BMNQ为平行四边形（3）A=90，AB=3，AC=4，BC5，QBMABC，即，解得，QMx，BMx，MNBC，即，解得，MN=5x，则四边形BMNQ的面积（5x+x）x（x）2，当x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键7（2019安徽）如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，P为ABC内部一点，
13、且APB=BPC=135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2h3【解析】（1）ACB=90，AB=BC，ABC=45=PBA+PBC，又APB=135，PAB+PBA=45，PBC=PAB，又APB=BPC=135，PABPBC（2）PABPBC，在RtABC中，AB=AC，PA=2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，PF=h1，PD=h2，PE=h3，CPB+APB=135+135=270，APC=90，EAP+ACP=90，又ACB=ACP+PCD=90，EA
14、P=PCD，RtAEPRtCDP，即，h3=2h2，PABPBC，即：h12=h2h3【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAP=PCD是解本题的关键8（2019重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EMAE，垂足为E，交CD于点M，AFBC，垂足为F，BHAE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求ACD的面积（2）若AE=BN，AN=CE，求证：ADCM+2CE【解析】（1）作CGAD于G，如图1所示：设PG=x，则DG=4-x，在RtPGC中，GC2=CP2-PG
15、2=17-x2，在RtDGC中，GC2=CD2-GD2=52-（4-x）2=9+8x-x2，17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即PG=1，GC=4，DP=2AP=4，AD=6，SACDADCG64=12（2）连接NE，如图2所示：AHAE，AFBC，AEEM，AEB+NBF=AEB+EAF=AEB+MEC=90，NBF=EAF=MEC，在NBF和EAF中，NBFEAF，BF=AF，NF=EF，ABC=45，ENF=45，FC=AF=BF，ANE=BCD=135，AD=BC=2AF，在ANE和ECM中，ANEECM，CM=NE，又NFNEMC，AFMC+EC，ADMC+2EC【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键