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专题19 几何探究型问题(第01期)(解析版)

1、专题19 几何探究型问题1(2019北京)在ABC中,D,E分别是ABC两边的中点,如果上的所有点都在ABC的内部或边上,则称为ABC的中内弧例如,图1中是ABC的一条中内弧(1)如图2,在RtABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,画出ABC的最长的中内弧,并直接写出此时的长;(2)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(0,0),C(4t,0)(t0),在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点若t,求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;若在ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值范围【解析】(1)如图2,以DE为直径的半圆

2、弧,就是ABC的最长的中内弧,连接DE,A=90,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,BC4,DEBC4=2,弧2=(2)如图3,由垂径定理可知,圆心一定在线段DE的垂直平分线上,连接DE,作DE垂直平分线FP,作EGAC交FP于G,当t时,C(2,0),D(0,1),E(1,1),F(,1),设P(,m)由三角形中内弧定义可知,圆心线段DE上方射线FP上均可,m1,OA=OC,AOC=90,ACO=45,DEOC,AED=ACO=45,作EGAC交直线FP于G,FG=EF,根据三角形中内弧的定义可知,圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求,m,综上所述,m或m1如图4,设圆心

3、P在AC上,P在DE中垂线上,P为AE中点,作PMOC于M,则PM,P(t,),DEBC,ADE=AOB=90,AE,PD=PE,AED=PDE,AED+DAE=PDE+ADP=90,DAE=ADP,AP=PD=PEAE,由三角形中内弧定义知,PDPM,AE,AE3,即3,解得:t,t0,0t【名师点睛】此题是一道圆的综合题,考查了圆的性质,弧长计算,直角三角形性质等,给出了“三角形中内弧”新定义,要求学生能够正确理解新概念,并应用新概念解题2(2019天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,ABO=30矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,O

4、D=2()如图,求点E的坐标;()将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E设OO=t,矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S如图,当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时,CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;当S5时,求t的取值范围(直接写出结果即可)【解析】()点A(6,0),OA=6,OD=2,AD=OA-OD=6-2=4,四边形CODE是矩形,DEOC,AED=ABO=30,在RtAED中,AE=2AD=8,ED4,OD=2,点E的坐标为(2,4)()由平移的性质得:OD=2,ED=4,M

5、E=OO=t,DEOCOB,EFM=ABO=30,在RtMFE中,MF=2ME=2t,FEt,SMFEMEFEtt,S矩形CODE=ODED=248,S=S矩形CODE-SMFE=8,St2+8,其中t的取值范围是:0tAB以点O为圆心,OB长为半径作O,O一定于AD相交于P1,P2两点,连接BP1,P1C,P1O,BPC=90,点P不能再矩形外,BPC的顶点P1或P2位置时,BPC的面积最大,作P1EBC,垂足为E,则OE=3,AP1=BE=OB-OE=5-3=2,由对称性得AP2=8(3)可以,如图所示,连接BD,A为BCDE的对称中心,BA=50,CBE=120,BD=100,BED=6

6、0,作BDE的外接圆O,则点E在优弧上,取的中点E,连接EB,ED,则EB=ED,且BED=60,BED为正三角形连接EO并延长,经过点A至C,使EA=AC,连接BC,DC,EABD,四边形ED为菱形,且CBE=120,作EFBD,垂足为F,连接EO,则EFEO+OA-EO+OA=EA,SBDEBDEFBDEA=SEBD,S平行四边形BCDES平行四边形BCDE=2SEBD=1002sin60=5000(m2),所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m2【名师点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的判定和性质,圆周角定理,三角形的面积等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,

7、属于中考压轴题4(2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q(1)求证:PDEQCE;(2)过点E作EFBC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,求证:四边形AFEP是平行四边形;请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由【解析】(1)四边形ABCD是正方形,D=ECQ=90,E是CD的中点,DE=CE,又DEP=CEQ,PDEQCE(2)PB=PQ,PBQ=Q,ADBC,APB=PBQ=Q=EPD,PDEQCE,PE=QE,EFBQ,PF=BF,在RtPAB中,AF=PF=BF,APF=PAF,

8、PAF=EPD,PEAF,EFBQAD,四边形AFEP是平行四边形;四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,由(1)可得PDEQCE,CQ=PD=x,BQ=BC+CQ=1+x,点E、F分别是PQ、PB的中点,EF是PBQ的中位线,EFBQ,由知AP=EF,即1-x,解得x,PD,AP,在RtPDE中,DE,PE,APPE,四边形AFEP不是菱形【名师点睛】本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点5(2019江西)在图1,2,3中,已知ABCD,ABC=120,点E为线段BC上的动点

9、,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且EAG=120(1)如图1,当点E与点B重合时,CEF=_;(2)如图2,连接AF填空:FAD_EAB(填“”“”“=”);求证:点F在ABC的平分线上(3)如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求的值【解析】(1)四边形AEFG是菱形,AEF=180-EAG=60,CEF=AEC-AEF=60,故答案为:60(2)四边形ABCD是平行四边形,DAB=180-ABC=60,四边形AEFG是菱形,EAG=120,FAE=60,FAD=EAB,故答案为:=如图,作FMBC于M,FNBA交BA的延长线于N,

10、则FNB=FMB=90,NFM=60,又AFE=60,AFN=EFM,EF=EA,FAE=60,AEF为等边三角形,FA=FE,在AFN和EFM中,AFNEFM(AAS)FN=FM,又FMBC,FNBA,点F在ABC的平分线上(3)如图,四边形AEFG是菱形,EAG=120,AGF=60,FGE=AGE=30,四边形AEGH为平行四边形,GEAH,GAH=AGE=30,H=FGE=30,GAN=90,又AGE=30,GN=2AN,DAB=60,H=30,ADH=30,AD=AH=GE,四边形ABCD为平行四边形,BC=AD,BC=GE,四边形ABEH为平行四边形,HAE=EAB=30,平行四边

11、形ABEN为菱形,AB=AN=NE,GE=3AB,3【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、平行四边形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键6(2019宁夏)如图,在ABC中,A=90,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQBC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x(1)试说明不论x为何值时,总有QBMABC;(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值【解

12、析】(1)MQBC,MQB=90,MQB=CAB,又QBM=ABC,QBMABC(2)当BQ=MN时,四边形BMNQ为平行四边形,MNBQ,BQ=MN,四边形BMNQ为平行四边形(3)A=90,AB=3,AC=4,BC5,QBMABC,即,解得,QMx,BMx,MNBC,即,解得,MN=5x,则四边形BMNQ的面积(5x+x)x(x)2,当x时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键7(2019安徽)如图,RtABC中,ACB=90,AC=BC,P为ABC内部一点,

13、且APB=BPC=135(1)求证:PABPBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2h3【解析】(1)ACB=90,AB=BC,ABC=45=PBA+PBC,又APB=135,PAB+PBA=45,PBC=PAB,又APB=BPC=135,PABPBC(2)PABPBC,在RtABC中,AB=AC,PA=2PC(3)如图,过点P作PDBC,PEAC交BC、AC于点D,E,PF=h1,PD=h2,PE=h3,CPB+APB=135+135=270,APC=90,EAP+ACP=90,又ACB=ACP+PCD=90,EA

14、P=PCD,RtAEPRtCDP,即,h3=2h2,PABPBC,即:h12=h2h3【名师点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,判断出EAP=PCD是解本题的关键8(2019重庆A卷)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,连结AE,EMAE,垂足为E,交CD于点M,AFBC,垂足为F,BHAE,垂足为H,交AF于点N,点P是AD上一点,连接CP(1)若DP=2AP=4,CP,CD=5,求ACD的面积(2)若AE=BN,AN=CE,求证:ADCM+2CE【解析】(1)作CGAD于G,如图1所示:设PG=x,则DG=4-x,在RtPGC中,GC2=CP2-PG

15、2=17-x2,在RtDGC中,GC2=CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-x2,17-x2=9+8x-x2,解得:x=1,即PG=1,GC=4,DP=2AP=4,AD=6,SACDADCG64=12(2)连接NE,如图2所示:AHAE,AFBC,AEEM,AEB+NBF=AEB+EAF=AEB+MEC=90,NBF=EAF=MEC,在NBF和EAF中,NBFEAF,BF=AF,NF=EF,ABC=45,ENF=45,FC=AF=BF,ANE=BCD=135,AD=BC=2AF,在ANE和ECM中,ANEECM,CM=NE,又NFNEMC,AFMC+EC,ADMC+2EC【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键